Fluidodinamica dei moti convettivi - Domande per esame orale

FLUIDODINAMICA dei MOTI CONVETTIVI

1. TEOREMA del TRASPORTO di RAYNOLDS

• Considero MEZZO CONTINUO
• Ipotesi di LOCALIZZAZIONE

Equilibrio TERMODINAMICO

PROCESSI QUASISTAZIONARI

Sistema CHIUSO con m fissata

Considero la generica proprietà Ψ

e proprietà specifica ψ

allora:

• Ψ(t) = ∫_R
• Ψ(t + Δt) = ∫_Rt+Δt

so che generalmente

dΨ / dt = lim_Δt→0

allora

Ψ(t + Δt) - Ψ(t) = ∫

-∫ _Rt

da cui

dΨ / dt =

dΨ / dt = ∫

allora:

lim_Δt→0

quindi

dΨ / dt =

∫

= ∫

= ∫

2. Bilancio locale della massa

ψ = mm = m_t + m_{t + Δt} allora dψ/dt = 0

∀_R [∂ρ/∂t + ∇(ρu)] dV = 0 → ∂ρ/∂t + ∇(ρu) = 0 → EQ. BIL. LOC. MASSA

per moto incommensibile valle ρ = cost allora ∇u = 0

In generale ∫_R [∂ρ/∂t + ∇(ρu)] dV = 0

dρ/dt + ρu∇ψ = ∂ρ/∂t + ∇(ρu) dV = ∀_R [ ∂ρ/∂t + ∇(ρu) ] dV = 0

∂ / dV → Derivata sostanziale

3. Bilancio della QT. di Moto

ψ = q mu VETTORIALE! Scrivo il bilancio per la i-esima componente ψ_i = q_i = m_i / m = x_i

∀_R F = m · m_i allora dv_i / dt = F_i Somma delle forze

Teo di REYNOLDS ∫_R ∫ Du/Dt dV = F_i = i-esima comp. g

• Distanza (gravita) F_c(b) = ∫_R ρ g_i dV
• Contatto (pressione viscosa) F_c(s) = ∫ dF = µ 〈u〈u)

  risultà

  ∂Du/∂Dt = ρg - ∇p + µ (u μ + _/3 (∇〈u〈))EQ. di Navier-Stokes

  7) POTENZIALE DI FLUSSO

  MOTI BIDIMENSIONALI

  ∇²ψ = 0 ∇²w = 0 ∇x = 0 ∇²φ = 0

  definisco POTENZIALE COMPLESSO DI VELOCITÀ Ω = φ + iψ

  ∇x = 0

  LE LINEE DI CORRENTE => ψ(x,y,t) = cont

  ∇ψ ⊥ al vettore ū (infatti ū · ∇ψ = 0)

  OSS: Se ū non varia nel t (MOTO STAZ.) allora le linee di corrente sono TRAIETTORIE Si ha anche ∇φ · ∇ψ = 0

  PER OSTACOLI SOLIDI la linea di confine (ū x tg) è una linea di corrente (per conv. ψ = 0)

  ES.1

  posta ŷ = x + iy VARIABILE COMPLESSA

  Ɛ = U₀ ŷ = U₀(x + iy) Re {Ω(ŷ)} = φ(x,y) = U₀ x

  allora u = ∂φ/∂x = U₀, v = ∂φ/∂y = β

  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

  (disegno di flusso)

  ES.2

  Ω = -U₀/ℓ ŷ² = -U₀/ℓ (x² - y² + 2ixy)

  φ(x,y) = Re {Ω(ŷ)} = -U₀/ℓ (x² - y²)

  ψ(x,y) = Im {Ω(ŷ)} = -2U₀/ℓ xy

  punto ℓ > 0 allora:

  (disegno di linee)IPERBOLE EQUILATERE

  ATTENZIONE per x = 0 si ha u = 0 OK! IMPERMEABILITÀ

  per / v ≠ 0 NO! DOVREI AVERE

  ADESIONE alla PARETE

  non funziona perché i moti vicini agli ostacoli NON sono irrotazionali come supposto in questo modello

  serve un modello per la piccola regione in cui gli effetti viscini non sono trascurabili (∨ x u ≠ 0)

  STRATO LIMITE

  12) ONDE nei FLUIDI

  allero:

  • ^∂p⁄_{∂t + ∇·(ρμ) = 0}
  • ρ ∂tμ+μ(∇·μ) + ∇P = 0

  definisco — e ved. di prop. onda delle onde di pressione, tale che    c² = (dP)/σ_{cont pi— ∇P picci—}

  ^{∂P_to⁄∂t₂} ∇&middle; c^∂x ∇·c^∂y ∇·cσ^∂x

  utilizzo LINEARIZZAZIONE, ossia assumo che i valore di ρ e P mi

  discontino nel tempo e nello spazio di una quantità_{<< del valo medio}

  MOTO MONODIMENSIONALE

  ρ(x,t) = ρ_o + ˆρ(x,t)

  ρ(x,t) = ρ_o + β¤(x,t)

  ipotizo un _{moto generato}

  ρμ_{o = 0} → o(x,t) = x(x,t) _{x discr.}

  se ˆβμ << ρ_o, μ_o allora il product ˆβn ^oˆμ′μ ρ

  ˆρθ⊕βμ) ⊛∗ = 0 1_diviso

  _{SOTTABA --> 1 diviso - ρ⁄c-ρ½θ⊕μo}

  QUINTA la soluzione del ti—

  F−

  »

  ⊃

  ^{otρ s_n} ⁄∂(∂/)._{½ SOTT..} di seconda eq. Dal ρ(x,t =) &F( o)

  funzioni &gr;>⊃ arit difrakl F(

  ^∂ρ\

  Só - operî

  _{γ↑ρ(y). φ⊃ di '} TRIDIMEN. &⊕&cot;⊂

  Strato limite di Pohlhausen

  con s.l. termico os _{T - T∞} ≤ 0.99Bidimensionale, stazionario, q_g = 0, Φ̅ = 0

  ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0u∂u/∂x + v∂u/∂y = -1/ρ₀ ∂p/∂x + gβ (T - T₀) + υ∂²u/∂y²

  per y → ∞

  ∂θ/∂t = α ∂²θ/∂z² c.c.:IMP: y = 0 → θ = 0, ∂θ/∂y = 0, Ψ_∞ = 1INDIST: y → ∞ x → 0 → ∂t/∂y = 0, θ = 0

  Scelgo opportune G, F per eliminare la dipendenza da x,in particolare G(x) = d (F(x)^m)^1/4

  η → 0 → f’=0, f’’ = 0, Φ = 1 → mischiamo altre due c. per η → 0n → 0 e 1 = 0, θ = 0