Fluidi

EQUILIBRIO STATICO DI UN FLUIDO IN PRESENZA DELLA FORZA PESO:

• in un fluido inquiete tutti gli elementi hanno accelerazione e velocità nulle rispetto ad un sistema

di riferimento inerziale, le forze agenti devono avere risultante zero. #v

• su ogni elemento di fluido agiscono forze di pressione e forze di volume pertanto: Ep 0

+ =

↑ peso

F =

• prima di trattare il caso generale con forze di volume qualsiasi ci occupiamo del caso

particolare, ma valido ovunque sulla superficie terrestre, in cui la forza di volume è la forza peso.

Considero un elemento di fluido a forma cubica:

base

altezza-dS dSdz

dV

dz area

· volume

·

= = = =

All’interno si trova la massa dm: densità-volume

pdV

am =

=

Le componenti della forza di 0

aFx =

·

volume sono: 0

Fy

· = -pAVg

amg

aFz

· =

= -

Le componenti della forza di SUZ :

pressione sono: ↑ &

pas

facciai cia #(as

,

#

· dz)as

(4z dpdS

si

Risultante deve

>

- + = -

-

inter >

-

opporre ↓

alla Festa in

pressione Corrispond

Differenza di

del distivello az

La condizione di equilibrio si scrive:

pag Forza

Fv di Volume Fpeso

mg

· =

=

= -pasaz

-apdS-paVg Aps

Sviluppando

Equilibrio -dpas-pasazg

: =

:

o

· = = =

Suxey E quindi la pressione non varia lungo X

Su X e y le componenti della forza peso sono nulle per cui:

: 0

= e y ma solo lungo la direzione verticale

lungo la quale agisce la forza di volume

Dunque se in un fluido in quiete agisce la forza peso, la pressione nel fluido non può essere costante: essa deve variare per consentire

l’equilibrio statico. La forza peso tende a spostare verso il basso l’elemento di fluido determinando una reazione del fluido che si

manifesta con una variazione della pressione: questa aumenta lungo il verso della forza peso, cioè al decrescere di z, così che la

risultante delle forze di pressione è opposta alla forza di volume

=-pg

Da dp ricavo

gaz e 22

e In

integrando

esplicitando tra quote

2

=

Questa è la legge con cui varia la pressione in un fluido in equilibrio statico sotto l’azione

bg(z2 21)

D(22) p(z1) della forza peso, solo se la densità è costante in tutto il fluido.

-

= - In un liquidò le variazioni sono apprezzabili, in un gas dato il basso valore della densità la

Applicandola a un pressione può essere ritenuta costante se ci si limita a piccoli dislivelli

Ed e liquido in un

contenitore:

22 . . . (p(a) del

Do liquido

press limite

esterna sulla Sup

agente

·

↓ = . .

Fr pressione profondità h

con

-h 70 abbiamo

z1 per

z2

0 la a

· = · = :

Questa relazione si chiama legge di Stevino e mostra che in un

legge di STEVINO

D(h) po pgh

+

= liquido ideale la pressione cresce linearmente con la profondità

In un bacino d’acqua sottoposto alla pressione atmosferica la pressione cresce con la profondità h: K91m3

103

PH20 =

(105 103h) Pa

D(h) 9 8 Ogni 10 m di profondità la pressione aumenta di circa 10 alla quinta pascal

+

= .

.

m La pressione dovuta al peso di un fluido aumenta all’aumentare della profondità e della

Kg/m3 densità del fluido

PRINCIPIO DI PASCAL: Una variazione Δp di pressione esterna provoca una uguale variazione di pressione in ogni punto del fluido

Ogni volta che si applica una pressione su una superficie qualsiasi che sia a contatto con un fluido, tale pressione si trasmette con lo

stesso valore, su ogni altra superficie a contatto con il fluido. dp

P Do

La struttura della legge di variazione della pressione nel fluido è: = +

Ne segue che ogni cambiamento della pressione esterna dà luogo a un uguale variazione di pressione, questa proprietà è nota come

principio di Pascal

Alcune conseguenze della legge di equilibrio dei liquidi:

SUPERFICI ISOBARICHE: pg(zz

D(z 1)

P(zz) z1)

La pressione di un fluido sottoposto alla forza peso è espresso da: = - -

come funzione soltanto della coordinata verticale

In un piano orizzontale, di equazione z = costante, il valore della pressione è costante: un tale piano si chiama SUPERFICIE ISOBARICA.

pg(z2

In D(z1) z 1)

D(zz) mgz

Ep

=

= -

- 4) unità

l'En. di

gravit

rappresenta massa

Ep ,

per

Dot

gz

gz .

=

m . .

, ha

piano

quindi

dipende in

z z costante

un

da

solo e =

Valore costante

Questo risultato vale per ogni forza di volume conservativa: una superficie isobarica è anche una superficie e equipotenziale, cioè una

superficie nei cui punti Ep,m ha valore costante.

In generale quindi se sul fluido agiscono forze conservative, anche diversa dalla forza peso, possiamo scrivere :

P(z) m(z)

DEp + COSt

= - ,

Questo determina l'importante risultato che le superfici isobariche sono anche equipotenziali, e di conseguenza le forze di volume

agenti sul fluido sono in ogni punto perpendicolari ad esse.

Una conseguenza immediata è che la superficie libera di un liquido in quiete sotto l'azione della gravità deve essere orizzontale. Infatti

la superficie libera, essendo a contatto con l'atmosfera, è automaticamente isobarica ed equipotenziale, ossia perpendicolare alla

forza di volume. .

isobaricana isob

è duque

3 prop lia.

limite

Sup e

7 sup statico

=

↑ .

. .

Ep Orizzontale

St

c

=

m

,

VASI COMUNICANTI: principio vasi comunicanti

Considerando un sistema di recipienti in comunicazione tra loro, riempiti dello stesso liquido e aperti nello

stesso ambiente. Il liquidò nei vari recipienti assume lo stesso livello rispetto al suolo poiché le superficie

libere appartengono tutte allo stesso piano equipotenziale. Questo principio è ricavabile dalla legge di

Stevino, osservando che, in condizioni di quiete, alla stessa profondità le pressioni devono essere

identiche.

MANOMETRO A U: Abbiamo un tubo a forma di U riempito con un liquido.

· Se la pressione p1 e p2 agenti sulle superficie libere sono le stesse, le superfici in base al principio dei vasi

comunicanti si trovano allo stesso livello.

Se però i due rami comunicano con ambienti diversi a pressione diverse, con p1>p2, si produce un

dislivello tra le due superfici libere dato da: P2

Pe -

n In accordo con la legge di Stevino

49h p2 =

=

+ 1

in P9

Ottengo così per esempio la misura della

pressione di un ambiente rispetto a quella

atmosferica

La sensibilità varia in ragione inversa della densità del liquidò contenuto nel manometro: minore è la densità del liquidò, più piccole

sono le differenze di pressione che il manometro è capace di rivelare.

BAROMETRO DI TORRICELLI:

Torricelli fu il primo a sostenere che l’atmosfera esercita una pressione e cercò di misurare il valore con barometri a

mercurio. pang-

Consideriamo prima il manometro ad U con un ramo chiuso e un ramo aperto in un ambiente a

pressione atmosferica.

Se il riempimento con mercurio è effettuato senza far entrare aria nella parte chiusa, si osserva

che il dislivello h tra le due superfici libere è di circa 76 cm.

Una colonna di Hg a T = 0° e h = 0.760 m esercita una pressione pari a quella atmosferica. Patm = 10^5 Pa

PRINCIPIO DI ARCHIMEDE:

Il principio di Archimede stabilisce che un corpo immerso in un fluido subisce una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del liquido

spostato, dove la spinta esercitata dal fluido (liquido o gas) è una forza detta spinta di Archimede (o spinta idrostatica).

Isoliamo un volume V finito di fluido all’interno di un fluido in equilibrio statico e sotto l’azione della gravità.

Ya La risultante delle forze di pressione, esercitate dal resto del fluido sulla parte isolata, è uguale e opposta alla forza

Et peso della stessa. F

p

Per la condizione di equilibrio del volume V: Fp pVo

Fp =

0 mgm

+ mg

+ =

= =

= -

! Vo

p

' =

m

Se sostituiamo al volume V di fluido un identico volume di qualsiasi altra sostanza, la risultante Fp delle forze di pressione esercitate

dal fluido circostante rimane la stessa stessa, mentre varia la forza peso del volume preso in considerazione.

Pertanto non sussiste più la condizione di equilibrio e la forza risultante agente su V vale:

# Ep mig p)vo

m + 0 se pip

(p : La forza risultante ha la stessa

· =

+ =

= - ↑d

- Fr direzione e verso di g e quindi il

corpo introdotto scende nel fluido

p(p =

· Corpo sale

Dunque in conclusione:

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del volume di fluido che viene occupato dal volume di corpo

immerso

- FA

parteimmers

della se

me si deve applicare nel centro di massa del fluido spostato, che in genere

= non coincide con quello del corpo immerso.

Archimede Si può pertanto presentare oltre alla spinta anche un momento risultante,

dovuto al fatto che la spinta di Archimede e la forza peso non hanno la

Densità ~ stessa retta di azione.

fà

se e/1 = un momento ruotare

corpoagisce fa

distinte che

sul

e sono lo

v

FLUIDI IN MOTO e Legge di LEONARDO:

Consideriamo un fluido in moto, per esempio all’interno di un condotto.

Per studiare le caratteristiche del moto,seguiamo una descrizione EULERINA, ovvero fissiamo l’attenzione su un determinato punto

della massa fluida P (x,y,z) e sulla velocità v (x,y,z,t) di un elemento fluido che passa per il punto P all’istante t.

La velocità varia nel tempo, cioè i vari elementi che successivamente passano nella posizione considerata P hanno velocità diverse.

Descrivere il comportamento del fluido vuol dire conoscere v(x,y,z,t) in tutto il fluido (regime variabile) .

Decidiamo di studiare il fluido in regime stazionario ovvero tutti gli elementi di fluido che passano in istanti diversi in P anno in quella

posizione sempre la stessa velocità. In caso contrario si parla di regime variabile.

Zi Tracciamo le linee di flusso, ovvero linee che in ogni punto hanno direzione e verso della velocità cioè sono

tangenti al vettore di velocità. In regime stazionario esse hanno configurazione costante nel tempo e

coincidono con le traiettorie degli elementi fluidi dette LINEE CORRENTE. Le linee corrente in regime

~ staz