Fisica generale (Modulo 1+2)

APPLICAZIONE DELLE LEGGI DI KIRCHHOFF

Determiniamo il numero di maglie che compongono il circuito.

• La maglia 1 è quella che contiene la f.e.m., la resistenza R1 e la resistenza R2.

• La maglia 2 è quella che contiene R2 ed R4.

• La maglia 3 è quella che contiene R3 ed R4.

Su ciascuna maglia fisso il verso di percorrenza e la corrente della maglia.

Il ramo che contiene R2 è comune alla maglia 1 (uno) ed alla maglia 2 (due):

o Come elemento della maglia uno sarà percorso dalla corrente (positiva) i1-i2 (i2 sale mentre i1 scende).

o Come elemento della maglia due sarà percorso dalla corrente (positiva) i2-i1.

• ( )

= + −

Maglia 1: 1 1 2 1 2

• ( ) ( )

0 = − + −

Maglia 2: 4 2 3 2 2 1

• ( )

0 = − +

Maglia 3: 4 3 2 3 3

CARICA E SCARICA DI UN CONDENSATORE ATTRAVERSO UNA RESISTENZA

Supponiamo di chiudere all’istante t=0s l’interruttore in maniera che la batteria sia

collegata attraverso la resistenza R al condensatore C. Si consideri trascurabile la

resistenza interna del generatore di fem. Si stabilisce un flusso di carica attraverso la

resistenza che va a caricare il condensatore C. Ci aspettiamo che man mano che C si

carica la corrente diminuisca. La fem fornita dal generatore deve essere uguale alla somma della caduta di

potenziale attraverso la resistenza più la ddp ai capi del condensatore.

= +

La corrente I può essere espressa in termini della carica q immagazzinata sul condensatore

=

L’equazione di può riscrivere:

+ =

Consideriamo l’omogenea associata. La soluzione generale della completa aggiungendo una soluzione

particolare della completa alla soluzione generale della omogenea associata. La omogenea associata è una

equazione differenziabile a variabili separabili:

+ =0→ =−

Integrando membro a membro da 0 a t

1 1

[ ]

∫ ∫

=− → [ln ] = − → ln − ln = −

0 0

0

0 0

Soluzione generale della omogenea:

− ⁄

ln = − → =

0

0 = ,

Poiché il termine noto della completa è costante, si cerca una soluzione con la cui derivata sarà

nulla. Sostituendo:

+ = → = → =

− ⁄

= +

La soluzione generale della completa sarà: . Con q0 da determinare in base alle

0

= 0 = −.

condizioni iniziali. Poiché a il condensatore è scarico, risulta che Quindi la soluzione

0

− ⁄

= (1 − ).

diventa: .

=

La carica tende a diventare asintoticamente pari a La corrente I invece sarà data da:

1

− − −

⁄ ⁄ ⁄

= = [ (1 − )] = (− ) (− ) =

All’inizio è uguale alla fem diviso la resistenza R e poi decresce esponenzialmente fino ad annullarsi. Il

prodotto RC gioca il ruolo di costante di tempo.

Il lavoro fatto dal generatore è uguale alla carica complessiva trasferita per la fem

La carica invece immagazzinata sul condensatore

Solo la metà del lavoro fatto dal generatore viene immagazzinato come energia potenziale sulla capacità. Il

resto viene dissipato per effetto joule sulla resistenza. ∞ 2

∞ ∞ 2 2 ∞ 2

2 2 (−2

(− ⁄ ) (− ⁄ ) ⁄ )

2

∫ ∫ ∫ [ ]

= = = = − =

2 2 2

0

0 0 0

SCARICA DI UN CONDENSATORE ATTRAVERSO UNA RESISTENZA

Una volta caricato il condensatore, l’interruttore viene commutato nell’altra

posizione, escludendo il generatore di fem. Poiché ai capi della resistenza c’è la

stessa ddp presente tra le armature del condensatore nella resistenza scorrerà una

= /.

corrente in modo che

Poiché in questo caso la carica sul condensatore tende a diminuire, la corrente sarà data

=−

L’equazione si può riscrivere:

− =

− ⁄

=

L’equazione della scarica è uguale alla omogenea associata che abbiamo già risolto .

0

− ⁄

= → =

Con qo da determinare in base alle condizioni iniziali. La soluzione è data da .

0 0

0

− ⁄

= ⁄ → =

Il potenziale ai capi del condensatore: . La corrente:

0

0

− ⁄

= ⁄ → =

. Tutta l’energia inizialmente immagazzinata nel condensatore viene dissipata

1 02

=

2

L’energia dissipata sulla resistenza ∞

∞ ∞ 2 2 ∞ 2 2

2 (−2 2

0 0 0 0

(− ⁄ ) ⁄ ) (− ⁄ )

2

∫ ∫ ∫ [ ]

= = = = − =

2 2 2

0

0 0 0

TRASFERIMENTO DI POTENZA AD UN CARICO

Supponiamo di avere un generatore di fem con resistenza interna r.

Vediamo con quale valore del carico si ha il massimo trasferimento di potenza. La

=

corrente I è data da: +

La potenza dissipata sulla resistenza R

2

2

= = 2

( + )

Per trovare il valore della resistenza R per cui P diventa massima deriviamo rispetto a R e poniamo la

derivata uguale a zero.

2 (

1 2( + ) + ) − 2 +

2 2 2

= ( ) = ( − ) = ( ) = ( )

2 2 4 3 3

( ( ( ( (

+ ) + ) + ) + ) + )

= .

Eguagliando a zero si ottiene Il massimo trasferimento di potenza si ha quando il carico è pari alla

resistenza interna del generatore. MAGNETISMO

La proprietà di attirare la limatura di ferro, mostrata da alcuni minerali e in particolare dalla magnetite, era

nota fin dall’antichità. Il nome magnetite proviene da Magnesia città dell’Asia Minore. Tale proprietà non è

uniforme, ma si manifesta principalmente in determinate parti.

Se si ricava un cilindretto essa è localizzata negli estremi, che prendono il nome di poli. Invece, gli oggetti

che attirano altri pezzi di ferro si dicono magneti.

Consideriamo due magneti, di cui uno sospeso. Un magnete crea un campo e

l’altro ne risente la presenza: tra i due si esercita una forza. Tale forza di

interazione può essere repulsiva o attrattiva, a seconda dei poli che vengono

affacciati. I poli di un magnete sono sempre opposti e possono essere di due tipi:

“positivo” e “negativo”. Stesso segno si respingono, segno opposto si attirano.

Se ad un pezzo di ferro o (pochi) altri materiali, avviciniamo un magnete,

acquistano la proprietà di attirare la limatura di ferro: si dice che diviene

magnetizzato. Se la proprietà resta anche nel pezzo, isolato, esso si dice magnete

artificiale o calamita.

Un ago magnetizzato, libero di ruotare, si dispone lungo una direzione prossima a

quella del meridiano terrestre del luogo. Con questa esperienza osserviamo che

esiste un campo magnetico terrestre e il magnete è un dipolo magnetico. Si

definisce polo nord, il polo che si orienta verso il nord geografico, e polo sud, il

polo che si orienta verso il sud geografico. Non è possibile ottenere un polo

magnetico isolato: i poli magnetici esistono a coppie di egual valore e segno

opposto. Quindi, se si taglia a metà un magnete si ottengono sempre nuovi

magneti, ognuno con entrambi i poli. Con una bilancia di torsione Coulomb

determinò la forza attrattiva o repulsiva che si sviluppa tra le estremità ravvicinate di due sbarre

magnetizzate lunghe e sottili, i cui poli, sede di ipotetiche “masse” magnetiche, si possono ritenere

puntiformi. La forza tra due masse magnetiche puntiformi risultò identica a quella dell’elettrostatica

⇒Determinazione del campo H. È impossibile di isolare in natura monopoli magnetici.

LINEE DI FORZA DEL CAMPO MAGNETICO GENERATO DA UN MAGNETE

In analogia con il campo elettrostatico i poli dei magneti possono venire pensati come masse

magnetiche, di segni opposti, che agiscono come sorgenti del campo. A differenza del campo

elettrostatico che deriva sempre da cariche elettriche, non esiste in natura alcuna carica

magnetica.

IL CAMPO MAGNETICO TERRESTRE

La Terra si comporta come un magnete, il cui asse forma un angolo di circa 11.5° con

l'asse di rotazione terrestre. I poli magnetici sono i punti di intersezione tra tale asse e

la superficie terrestre.

Nord geografico ≡ sud magnetico

Sud geografico. ≡ nord magnetico

ELETTRICITÀ E MAGNETISMO

Con una bilancia di torsione Coulomb determinò la forza attrattiva o repulsiva che si sviluppa tra le

estremità ravvicinate di due sbarre magnetizzate lunghe e sottili, i cui poli, sede di ipotetiche “masse”

magnetiche, si possono ritenere puntiformi. La forza tra due masse magnetiche puntiformi risultò identica a

quella dell’elettrostatica.

Il primo legame tra i fenomeni elettrici e magnetici fu stabilito con la scoperta di Oersted, resa possibile

dalla disponibilità di correnti generate mediante la pila di Volta: un filo percorso da corrente esercita una

forza su un ago magnetico posto nelle sue vicinanze e inoltre un filo percorso da corrente risente l’azione di

una forza se è immerso in un campo magnetico. Gli studi di Oersted e di Ampere hanno portato a

concludere che tutti i fenomeni magnetici sono dovuti a correnti elettriche, cioè a cariche in movimento.

Le forze tra magneti si possono ricondurre ad