Fisica generale I - Fluidi

Forze agenti su un fluido

Le forze agenti sui fluidi si dividono in due categorie: le forze di superficie e le forze di volume.

Su un elemento di volume di un fluido agiscono infatti forze dovute agli elementi a contatto con dV, le quali sono dette di superficie, indicate con d _f^(S), e forze dovute alla massa cm contenuta in dV, che sono dette forze di volume e indicate con _f^(V).

Le forze di superficie possono essere scomposte nella loro componente normale e tangenziale alla superficie:

d _f^(S) = d _f^(S,n) + d _f^(S,T)

• d _f^(S,n) = σ_n dS (forza normale [pressione])
• d _f^(S,T) = σ_T dS (forza di taglio)

mentre le forze di volume possono essere espresse dalla relazione:

d _f^(V) = _G d _m = _G d_γdV = _G ρdxdydz

dove _G è un vettore accelerazione che definisce l'accelerazione cui risultano ciuosi le forze di volume:

Se un fluido è in quiete, allora d _f^(S,T) e _f^(V) = 0; infatti se così non fosse si avrebbero movimenti all'interno del fluido. Per cui le uniche forze agenti sono normali alla superficie, e l'unico sforzo è quello normale (l'unica azione meccanica sulla superficie è la pressione).

Allora si deve verificare che ∫ _f^(S,n) = ∫ d _f^(V) =0

Da questa condizione si ottengono le equazioni fondamentali sulla statica dei fluidi:

• dp/dx = γ G_x
• dp/dy = γ G_y
• dp/dz = γ G_z

Le variazioni di pressione (forze di superficie) sono proporzionali alla forza di volume per unità di volume agenti nella stessa direzione.

Si ha infatti che, considerando un volume dx dy dz, sull'asse y,

d _f y = ρ G_y

d _f y = ( p ( x , y , z ) + ( p ( x , y + dy , z ) dx dz = 0

- ( p₂dy) dx dz + ρ G_y dxdydz = 0

→ dp/dy = ρG_y. Analogamente si procede per gli altri assi.

Inoltre in ogni posizione la pressione ha lo stesso valore indipendentemente dall'orientamento alla superficie su cui essa si esercita:

Considerato un elemento sul fluido di questa forma

dove la superficie s' ha normale h che forma angolo Θ con l'asse y, le forze agenti sono (v)

- p ρ d S' cosΘ +- ρ G_ydS'Δy = 0

per Δy → 0, i termini cure _f^(V) è trascurabili; allora si ha

p d S = p d S' cosΘ, ma S =S' cosΘ

per cui si conclude che deve essere p = p'.

FORZE AGENTI SU UN FLUIDO

le forze agenti sui fluidi si dividono in due categorie: le forze di superficie e le forze di volume.

Su un elemento di volume di un fluido agiscono infatti forze dovute agli elementi a contatto con esso, le quali sono dette di superficie e indicate con _F^(S) e forze dovute alla massa ivi contenuta e che sono dette forze di volume e indicate con _F^(V).

Le forze di superficie possono essere scomposte nelle loro componenti normali e tangenziali allo superficie:

_F^(S) = _F^(S)_Z + _F^(S)_r

per le quali si possono scrivere:

_F^(S)_Z = ^_F(S)_Z/_dS forza normale (pressione)

_F^(S)_T = ^_F(S)_T/_dS forza di taglio

mentre le forze di volume possono essere espresse dalla relazione:

_F^(V) = _G dm = _G ^dm/_dV dV = _{g d}xd^yz

dove _g è un vettore accelerazione che esprime quale risultante alle forze di volume.

Se un fluido è in quiete, allora _F^(S) Ζ e _F^(V)Z = 0; infatti se così non fosse si avrebbero movimenti all'interno del fluido. Per cui le uniche forze agenti sono normali alla superficie, l'unico sforzo è quello normale (l'unica azione meccanica sulla superficie è la pressione). Inoltre si deve verificare che:

∑ F(S) З + ∑ F(V)₃ = 0

Da questa condizione si ottengono le equazioni fondamentali della Statica dei fluidi:

[per un fluido omogeneo]

dp/dx = ɣ Gx

dp/dy = ɣ Gy

dp/dz = ɣ Gz

Sia infatti un considerato un volumetto dx dy dz, sull'asse y:

- df_y(₂) = Gy = 0 = p(x,y+dy,z) dS - p(x,y,z)ds + Gy dz ds + dp p(x,y,z) ds

→ - ^p/₂ d₂ ^Gy + ^G_y dx dy dz = 0;

→ dp = ɣ Gy Aloologamente si procede per gli altri assi

Inoltre, in ogni posizione la pressione ha lo stesso valore indipendentemente dall'orientamento alla superficie su cui essa si esercita:

Considerato un elemento di un fluido di questa forma, dove la superficie si ha normale n'^qui che forma un angolo θ con 1'asse y, le forze agenti sono:

- paS − p(_aS')cosθ + ɣ G (sub>y ν Δy = o (as)

per Δy → o il termine P(F)_i è trascurabile, allora si ha:

p(ΑS) = p(_{asi) cosθ' ma S = s'cosθ}

per cui si conclude cm deve essere p = p'

Idrostatica nel campo della gravità

Nel caso in cui l’unica forza di volume agente sul fluido sia la forza peso, il vettore g è costante ed g = (0,0,-g), assumendo versi e asse z per cui le legge fondamentali dell’idrostatica si riducono a

gradp = -g

La pressione è mantenuta costante su superfici orizzontali: in un fluido in equilibrio questi rappresentano superfici isobariche.

dati z₁ , z₂ si ha che: ∫dp = - ∫g dz = -g∫dz = -g (z₂ - z₁)

da questa relazione si ottiene la legge di Stevino: p_A = p_B + ρg(z₂ - z₁)

Infatti, assunti dati A e B a certe altezze rispettivamente z₁ e z₂, la variazione di pressione è

p_B - p_A = -g∫dz = -g (z₂ - z₁) = -g Δz

La quantità gqΔz viene detta pressione idrostatica; cioè la pressione della colonna di fluido omogeneo di altezza Δz, sulla cui base S₀ ad effetto della forza di gravità.

Principio di Archimede

Il principio di Archimede afferma che un corpo immerso in un fluido riceve, nel campo della gravità, una forza detta spinta di Archimede, verticale e orientata verso l’alto e di modulo pari al peso del volume di fluido spostato.

Il corpo tenuto nel cilindro e la forza di Archimede è minore al peso F_A < P_s, cioè se ρ_l < ρ_s, vanno in equilibrio se la forza di Archimede è uguale al peso F_A = P_s, cioè se ρ_l = ρ_s, il corpo continua a galleggiare se la forza di Archimede è maggiore del peso F_A > P_s, cioè ρ_l > ρ_s.

Il peso di volume immerso da spostare in quel liquido è maggiore per equilibrare il peso totale di volume V_imm : ρ_s/V_tot : ρ_f ed arriva la formula di galleggiamento.

Nel caso semplice di un cilindro omogeneo, di base S e altezza h, le forze di superficie e sono nulle per ragioni di simmetria sulle superfici laterali sul cilindro, mentre sulla faccia superiore A, la forza è diretta verso il basso e vale -p_AS.

Per la legge di Stevino, la pressione sulla superficie B vale p_B = p_A + ρ_l gh con ρ densità del liquido. La forza è diretta verso l’alto e vale (p_B + ρ_l gh) S. Essendo p_B > p_A, la risultante delle forze è rivolta verso l’alto e ha modulo

F_AA = (p_A S + ρ_l ghS - p_AS = ρ_l g V = m_i g

IDROSTATICA IN CAMPI CONSERVATIVI

Nel caso in cui la forza di volume sia una forza conservativa, ad essa è possibile associare una funzione potenziale per unità di massa tale che per cui le equazioni fondamentali dell'idrostatica diventano

• ∂p/∂x = ₀g
• ∂p/∂y = ₀g
• ∂p/∂z = ₀g

ad esempio per il campo gravitazionale totale V(x,y,z) = U(z) = U(z) + g*cost per cuip(x+dx, y+dy, z+dz) - p(x,y,z) = dp = ∂p/∂x dx + ∂p/∂y dy + ∂p/∂z dz = g (dx + dy + dz) = -₀g dz = 0 quindi nel fluido omogeneo ₀dU = -dp dpu = ∫ -gdu = dp = dp - dU = in un fluido omogeneo e superfici isobare ed equipotenziali iacendo.

Da queste considerazioni arriva il teorema di Pascal: in un fluido Omogeneo in quiete, una variazione di pressione prodotta in un punto qualsiasi del fluido si trasmette invariata in ogni altro punto del fluido.Nei casi in cui non siano tensioni tangenziali applicano forze di volume. Non ag. su cui si può superfici, applicando una forza esterna quindi la differenza di pressioni tra due punti non può cambiare.

Nel casi di un fluido Non Omogeneo, l'ottenuto da due liquidi non miscibili, le superfici di separazioneche si generano a causa della forza intermolodica sono equipotenziali nel campo di forzeconsiderato; altrimenti si genererebbero forze tangenziali/mipossibile, in un fluido non equilibrio.

DINAMICA DEI FLUIDI PERFETTI

Il moto di un fluido perfetto (incomprimibile e non viscoso) può essere assicurato attraverso ip apple può considerarsi il campo vettoriale alcune velocità: se non cambia nel tempo, il moto è un recto staziona.Si definisce linea di flusso una curva Orientata nel fluido il cui tangente in ogni punto fornisce la direzione e il verso ad una velocità nel punto. (se la velocità di attraverso particelle, che si ricorrono sui tracciato nel fluido stazionario).Per come sono definite, le linee di flusso non si possono incrociare, nel loro sorgente, nei "Pozzi"altrimenti si annetterebbero con velocità nello stesso punto.Si definisce invece tubo di flusso l'insieme delle linee di flusso che partono da una curva chiusa: un tubo di flusso è impermeabile, infatti, se alcune particelle potesser enter & uscire, le linee di flusso si incrocerebbero.Nel caso del moto stazionario di un fluido perfetto, in un tubo di flusso si ha conservazione della massa,in particolare, la portata Q è data dalla nome

legge di conservazione delle masse

tubo di flusso

sezione del colore del flusso

velocità ortogonale alla sezione

che rappresenta primariamente un volume che passa attraverso una sezione per unità di tempo, è invariata.

Voto

Figura: sezione del fluido, massa, tempo, area, data

dq = ₁v₁da = ₁S₁v₁

se nello stesso intervallo di tempo dt, la stessa massa dm passerà attraverso la sezione ₂ con una velocità ₂dm = ₁v₁ ds = ₁S₂v₂ dt

per cui si può concludere unaS₁v₁ = S₂v₂

TEOREMA DI BERNOULLI

Il teorema di Bernoulli afferma che, per un fluido perfetto che scorre in un tubo di flusso con moto stazionario e soggetto alla forza di gravità vale l'equazione

dinsiot au fluido

pressione altezza velocià au fluido

Consideriamo un tubo di flusso elementare con sezioni ab infinitesime, attraverso le quali scorre un fluido perfetto in moto stazionario.

Il fluido che su instame inizial si trova nel volume AB'CD si sposta

AA' sarà uguale al volume contenuto in CC'B'D'.

Sulla superficie AB agisce la forza ai superficie

mentre su CC' agisce la forza ei superficie

Appiando u teorema aut'energia cinetica al lavoro esercitato dalla forza peso.

tuvi za lavoro compiuto su tubo di flusso non compiono lavoro, p cu

Analogamente al ci aiu altro uena variazione ci velocita' unei massa p tuie

per cui si ottiene

ma

così

Il teorema di Bernoulli spiega anche l'effetto Venturi, per cui in una strozzatura la velocità e maggiore e la pressione minore. Questo prinero vene utilizzato anche per le voi degli aeroplani nel SDR un aeropiano, questa e ferma e l'aria la colpisce con velocità v, ma essendo il corpo asimmetrico, il fluido inontra una "strozzatura", dove la velocità aumenta e la pressione diminuisce. In netta, questo risulta in una forza che

Dinamica dei Fluidi Reali

Nei casi di liquidi reali, essi possono essere considerati incomprimibili ma non trascurabile l'effetto della viscosità. Il comportamento di un liquido reale dipende quindi fortemente dalla velocità che fino ad una certa velocità critica permette un flusso laminare di questo fluido.

Quest'ultimo è caratterizzato da assenza di scambi tra vari strati di flusso e tutti gli strati scorrono gli uni agli altri senza un rimescolamento ma con velocità che è massima al centro e va a diminuire fino ad annullarsi sulle pareti del condotto.

Nel caso di un fluido reale in moto stazionario in un condotto a sezione costante, si osserva una "perdita di carico cioè una diminuzione di pressione per cambiamento della velocità tra centro e le pareti del condotto.

In particolare, per un capillare vale la legge di Poiseuille per la portata attraverso delle quarta potenza del raggio del tubo:

_Qa = ^{π ΔP R4}⁄_{8 η L}

Giunti ad una velocità critica, per un liquido reale, il flusso laminare cessa ed è difficile allocare a causa dei vortici e dei rimescolamenti che avvengono durante il moto: questa condizione è detta di regime turbolento.

Quando un corpo si muove in un fluido, lo strato vicino al corpo aderisce ad esso e si trascina quello adiacente. La resistenza incontrata dal corpo dipende principalmente dalla forma del corpo, dalla sua superficie e da velocità relativa al corpo rispetto al fluido.

A basse velocità il moto è laminare e la resistenza è direttamente proporzionale alla velocità. Per una sfera vale la legge di Stokes: A = 6 η π Rv

Nempe in aria per velocità inferiori a quella del suono vale la formula empirica di Newton:

A = C_S ρV²

In generale ad alta velocità il moto è turbolento e la resistenza va con il quadrato della velocità. Il tipo di moto è più stimato attraverso il numero di Reynolds:

R = ^ρVR⁄_η

Per R < 1000, il moto è sempre laminare

Per R > 10.000 il moto è sempre turbolento.