Esercizi svolti in aula Controlli automatici

Esercizio tipologia 1

Richiesta 1: determinare la funzione di trasferimento tra ingresso ed uscita

Caso 1: circuito elettrico

V_R = i·R = R

V_L = L · di/dt

i = C · dV_C/dt

Ricordiamo che la derivata prima con la laplace trasformata si aggiunge s, W(s) dovrà essere trasformata

RCVIN(s) -> RCVIN(s) -> RCsVIN(s)

La funzione di trasferimento sarà pari a:

W(S) = ^USCITA/_INGRESSO = ^VOUT/_VIN

di solito è presente solo s

di solito è presente solo s (...)

ESERCIZIO:

V_OUT(s) [^L/_R+L] = ^Ls/_R¹+Ls

V_OUT/VIN(s) = ^L/_R+LS = ^R/_R+LS

Caso 2: dinamica

Dinamica della massa: M*ẍ = F_applicate oggetto = Mẍ(t) - ẋ(t) - ...- Bẋ(t) + mgsinθ = ẋ(t) ₁ = mgsinθ = ...

Mẍ(t)+Bẋ(t)+mgsinθ=ẋ(t) - Mẍ(t) + Bẋ - mgsinθ

W(s) = ^USCITA/_INGRESSO x(s)/f(s)

F(s) = s^Mẍt + sBẋ(s)

Richiesta 2: risposta a gradino ẋ^a(t)

ẋ^a(t) = ¹/₃

W(s) = ¹/_s-W(s) essenza precedente (in forma.

In questo caso potremmo procedere con le equazioni elementari che non ci residui per fare l'antitrasformata

Caso 1: equazioni elementari

W(s) = ^e-st/t * [e^s·p/2 - e]...

Caso 2: residui

W(s) = ^g/_a - _ẃ>(s-1) - ¹/₅

Calcolo pol(...)

TROVARE WRY

2 modi:

• WR_Y

Prime richieste

Dimostrare che c'è un unico polo

1. Calcolo il punto doppio
   • a(s) + k b(s)
   • d/dt [a(s) + k b(s)]
2. Calcolo il punto doppio e sostituisco nella seconda equazione o trovo k che verificato nella prima e lo calcolo
3. Calcolo quindi s_1,2 =

1. Individua i piccoli simili agli s₁ stabilendo la posizione
2. Realistiche
3. Immagini

Rappresentazione luogo delle radici

Individuo poli e zeri del nostro denominatore: a(s) + k b(s)

• Poli X
• Zeri O

Mi ricavo il grado m di a(s) e m di b(s) e faccio la differenza tra i due:

• Rappresentare il numero asintoti

M - m

1. Non deve finire
2. In corrispondenza degli asintoti metto un punto doppio fittizio

RICHIESTA 1

Calcola il parametro a conoscendo un polo doppio

1. Calcolo il punto doppio
   • a(s) + k b(s)
   • d/dt [a(s) + k b(s)]
2. Inserisco il valore del polo nelle due equazioni
3. Ricavo k da una delle due equazioni
4. Sostituisco nell'altra e mi calcolo a
5. Il valore di a andrà impostato nell'equazione di partenza a(s) + k b(s)

RICCHESTA 2

• Da rappresentare con la propria molteplicità

• M - m -> 3T1P

4) Come si calcolano dei valori richiesti dal modulo?

Rappresenta sempre come decade ->

Se vogliamo sapere i valori del modulo, abbiamo 2 modi: VIA GRAFICA, VIA ANALITICA

VIA GRAFICA

CASO 1: termini del 1^o ordine

Valore del modulo

• 3 dB

Con poli e zeri del primo ordine con m: alternativa di 3 dB

CASO 2: termini del 1^o ordine (con molteplicità 2)

Valore del modulo

• 6 dB

Con poli e zeri del primo ordine con m: alternativa di 6 dB

CASO 3: termini del 2^o ordine

Valore del modulo

• 20 dB

indB = 20 log (M)

CASO 4: termini del 2^o ordine

Se ε= ₁/√ ₂ i diagrammi variano dove ε= 0 caso deportare a +∞

VIA ANALITICA

Calcolo il modulo di 100 rad/sec

Andiamo a sostituire nell'equazione. S³ = ω₀

ESEMPIO:

• w(s) = ⁄10 ((s+1) ⁄ (s+2))

Sostituendo ottengo:

-20 log|₁⁄^√| ^ ⁄¹ +20 log (⁄^4-J⁄₂₀₀)+20 log (⁄^J+3⁄₂₀₀)+20 log (⁄+⁄_J+3200)

Ora facciamo radice "parte reale x parte immaginaria"

Esercizio 1

Si consideri il sistema elettrico mostrato in figura costituito da una resistenza e un induttore. Sia i(t) la corrente entrante nel circuito e v(t) la tensione ai capi del circuito. Sia v_OUT(t) la tensione ai capi dell'induttore.

Richiesta 2

Determinare la funzione di trasferimento tra l'ingresso v(t) (tensione) e l'uscita v_OUT(t) (tensione) supponendo che l'induttore e la resistenza siano entrambi ideali e con valori pari a R = 10 Ω e L = 10mH. Determinare la risposta v_OUT(t) ad una tensione a gradino v(t) = u_t(t).

Svolgimento:

R = 10 kΩ

L = 10 mH

v_OUT(s)

RICHIESTA 1:

Determiniamo la f.d.t. tra l'ingresso v(t) e l'uscita v_OUT(t) scomponendo ai limiti tra la resistenza serie ideale (considerato pari a R = 10 Ω e L = 10 mH).

Equazioni caratteristiche:

v_f(t):= V_OUT(V):

FLT:

s^0 di

i_C = C dv

Sviluppo con Laplace

v_L(s) =

(1/s) dot -> v_s(t) / s = V(s) 1/s =

V_OUT(t)

RICHIESTA 2:

Determinare la risposta v_OUT(t) ad una tensione a gradino v(t) = ?(t).

R - 1.0

L - 40*

V_L(s) =

s =

se v^(s)(t) -> V(s) - I

V_L^(s) =

V₃ - I_-

R ¹ . ^S

V_L =

1/s² - ? e =

+ p^C -

x =

= 4µs

2μs

Richiesta 3:

Studiare la stabilità del sistema in catena chiusa al variare di k :

c(s)= ^s+k/_s+10

Wry :

• 2(s+k)/(s(s+4)(s+10))
• 2(s+k)
• s³+30s²+(25+2k)s+40k

Uso Routh

Il sistema risulta stabile per

• -20<k<20

Richiesta 4:

Supponiamo che r(t)=0 e che d(t)=^5-(t/2). Determinare l'andamento a regime di y(t) per k=1.

• Wdy(s)=2/((s+2)(s+3))
• Y(s)=Wdy(s)D(s)
• Wdy(s)=(s²+6s+7)/(s²+5s+6)

Per AGS in k^-20 e ¹⁰ Wdy è BIBO STABILE

• y(t) = 4,56

y₀(t)= 4,56 sin(2t - 0,9088)

Esercizio 2

Si consideri l'equazione differenziale

¹/₂y⁽²⁾(t) + 5y⁽¹⁾(t) + ⁹/₂v^(t) = 2u(t)

1. Determinare la funzione di trasferimento G(s) associata all'equazione differenziale.
2. Determinare i poli di G(s) e la risposta impulsiva g(t).
3. Studiare la stabilità del sistema in catena chiusa al variare di K.
4. Supponiamo che r(t) = 0 e che d(t) = δ^(-2)(t). Determinare l'andamento a regime di e(t) per K=1.

si supponga ora che la funzione di trasferimento sia inserita nello schema a blocchi

dove C(s) = ^{s + K}/₈

Richiesta 1: Determinare la funzione di trasferimento G(s) associata all'equazione differenziale

Y(s) = ⁴/_{s² + 4s + 9}

G(s) = ⁴/_{s² + 4s + 9}

Richiesta 2: Determinare i poli di G(s) e la risposta impulsiva g(t)

p₁ p₂ = ^-100/₂ ± ^{36 - 108}

Richiesta 3: Studiare la stabilità del sistema in catena chiusa al variare di K: C(s) = ^{s + k}/_s

CRITERIO DI ROUTH

130 - 4k > 0 -> k < ¹³⁰/₄