Esercizi di controlli automatici (esami svolti)

Controlli Automatici M e T

Scritto del 12 settembre 2017

Lo studente deve consegnare tutti i fogli compilati con nome, cognome e numero di matricola, inclusi i fogli utilizzati per eventuali calcoli. La prova consiste di 6 esercizi e una domanda di teoria. La prova scritta si intende superata con un punteggio maggiore o uguale a 18 punti ottenuto nei 6 esercizi.

La domanda di teoria, con cui si ottengono fino a quattro punti aggiuntivi, permette di evitare il sostenimento dell'orale. L'orale resta obbligatorio nel caso non si risponda o si risponda in maniera errata alla domanda di teoria.

La durata della prova è di 2 ore e 30 minuti.

Esercizio 1

(punti 8)Dato lo schema a blocchi della figura seguente, si calcolino le funzioni di trasferimento tra r(t) e u(t) e tra r(t) e y(t).

Ponendo F₁ = 1, F₂ = F₃ = 1 e F₅ = ¹/_1+s si calcoli la risposta y(t) quando in ingresso è applicato il gradino unitario.

Esercizio 2

(punti 8)Dato un sistema in retroazione unitaria con funzione di anello:

L(s) = ^s+4/_(k+s)(s²+1);

si studi tramite luogo delle radici la stabilità del sistema in retroazione per k ≥ 0. Si progetti una rete correttrice

R(s) = ^τ_cs+1/_(τps+1) ;

tale che il sistema in retroazione con funzione di anello L'(s) = L(s)R(s) risulti stabile per ogni valore di k ≥ 0.

Esercizio 3

(punti 4)Si traccino i diagrammi asintotici dei termini elementari ed il diagramma di Bode complessivo della funzione di trasferimento:

G(s) = ^{1000 (s+3)}/_{s(s+30)(s²−100)}

Esercizio 4

(punti 6)Per un sistema con funzione di trasferimento G(s) = ^s+10/_s(s²+1) si vuole progettare un controllore in retroazione C di minima complessità in maniera che il sistema in retroazione soddisfi le seguenti specifiche:

• errore a regime nella risposta a gradino inferiore allo 0.5%;
• frequenza di attraversamento della funzione di anello pari a 20 rad/s;
• margine di fase maggiore o uguale di 60°.

Si valuti la possibilità di un progetto in cancellazione.

Esercizio 5 (punti 6)

Per lo stesso sistema dell'esercizio precedente si vuole progettare un controllore in retroazione C di minima complessità in maniera che il sistema in retroazione soddisfi le seguenti specifiche:

• errore a regime nullo nella risposta a gradino;
• frequenza di attraversamento della funzione di anello pari a 10 rad/s;
• margine di fase maggiore o uguale di 60°.

Si valuta la possibilità di un progetto in cancellazione.

Domanda (punti 4)

Dati due segnali periodici u₁(t), u₂(t) con periodi rispettivamente T₁ = 2π s e T₂ = 3π s, si mostri che il segnale somma u₁(t) + u₂(t) è sviluppabile in serie di Fourier e si calcoli la pulsazione della sua armonica fondamentale. Si trovi la relazione tra le componenti in continua del segnale somma e dei due segnali di partenza. La stessa relazione vale anche per le altre componenti?

Cosa succede se il periodo del secondo segnale u₂(t) è invece T₂ = 3 s? La somma dei due segnali è ancora sviluppabile in serie di Fourier?

Dato due segnali periodici u_P(t), u_(t) con periodi T₁ = 2π s e T₂ = 3π s, la somma u₁(t) + u₂(t) è periodico con periodo T = T₁ = T₂ = 6π s.

La stessa relazione per le altre componenti vale per tutte le componenti.

La somma è data da f(t) = f₀ + 2∑_n=1^∞ |F_n| cos(nω₀t + φ_n).

Non vedendo per le altre componenti perché varia la pulsazione.

12/5/2017. Esercizio Regolatore PID [5]

G(s)= ₅₊₁₀ / _(s+1)² specifica f.c.o.

w _c = 10 rad/s f.g=60°

+ Regolatore PID

All'u.c. di semiano ang G(jw _c ) = α _c (1) - arctg(1) - arctg(w _c ) = -125.6°

M’AM = 60 + arg G(jw _c ) = 56.4° Non soddisfa la specifica → semiano B Regolatrice PID → semiano la base

semiano la fase → α _c = 56.4° → M’AM=60-56.4=3.6°

PID(s) = K _p (1+ ₁ / _Tis) _Tis L + (1+ ₁ / _L)

→ P(L) ≈ Kj + _1+s / _s = arg {PI(jw_c) = α(tan ω_c)-arctan(α)= 5.7°

Quindi la base di Antirɸ dovrebbe per recuperare l’invaco- ψ _max-arg {PI(jw _c)

3.6-(5.7)=3.6+5.7=9.3 Recuperabile

ϕ: detta R(a) = 9.3-5.7

R(a)= → L+(sub)= α+ _1-Sin(λ) / _1+Sin(λ) = 9.72

T _i= ₁/ _ωc√ 10(8,722)

= 0,482

Imposo |L(jw)_c| = 1 per risonanze k_p

K_{p 1+s/5 1+0,1185/s+10 (5+4)²} = 1

K _p = _√(10²+1)([1+(0,085ᵐ10)²] _10²+0²

= 6,03

Controllo B.S. 1 08/06/2017

G(s) = ¹⁰/_{(s+1)(0.1s+1)²}

d(k) = 19 K_m > ¹⁹/_G(0)

Analisi dello scenario b | ∠G(jω_u) = -arctan(1) - 2 arctan (10) = -213.6°

G(s) = ²⁰/_{(s)(1+0.5s)²}

Esercizio 6

(punti 7)

Per lo stesso sistema dell'esercizio precedente si vuole progettare un controllore in retroazione C di minima complessità in maniera che il sistema in retroazione soddisfi le seguenti specifiche:

• errore a regime nullo nella risposta a gradino;
• frequenza di attraversamento della funzione di anello pari a 1 rad/s;
• margine di fase maggiore o uguale di 70°.

Domanda

(punti 6)

• Si discuta il concetto di spettro di un segnale periodico e la definizione di banda di un segnale.
• Dato un sistema con funzione di trasferimento G(s) con banda passante [ω₀, ω₁], che relazione esiste tra la banda del segnale di ingresso u(t) e quella del segnale di uscita y(t)?

Risposta alla domanda:

I segnali periodici si ripetono ad ogni periodo T. Essi sono sviluppabili in serie di Fourier.

Sono infatti: f(t) = Σ_n E_n e^jωnt con F_n = 1/T ∫ f(t) e^-jωntdt

Le E_n sono chiamate coeff detta serie, e il loro insieme viene chiamato spettro.

Nel dominio di frequenza, quindi, l'effetto di un passaggio nel dominio temporale è quello di amplificare.

Ogni passaggio definisce quindi ad ogni frequenza (pulsazione) e ad un'ampiezza. Essa può essere limitata (detta banda passante).

La banda è l'intervallo delle pulsazione è compreso tra la massimo e la minime pulsazione onde armonica non nulla.

L'intervallo può essere limitato e delimitato, si parla quindi di banda limitata, o dei mutato.

I sistemi lineari descritti da eq differenziali ordinarie, hanno una funzione di trasfi- mento associato che può funzionare da filtro.

La banda passante è l'intervallo di pulsazioni in cui il diagramma di Bode della frequenze è compreso in una fascia ampia 6 dB,centrate sul valore massimo.

Se abbiamo una Fdt con Banda Passante [ω_u1, ω_u2], allora il suo diagramma di Bode

dB

Un segnale in ingresso u(t) ha in uscita le medesime componenti frequenziali con ampiezze modulata della Fdt.