Esercizi svolti di prove di anni scorsi di Analisi 2

E

: =

x

- - ,

cos(πt)

y = u(P)

v()

1 = -

a (3

(b)

= 1

= -

,

p = (a) 1)

10

= , + 3 z(x))

1)

z(1

u(l g

+ + =

= z(z)13

u(p) = 3(11)" +

L (2)

= -

Teorema di

3 Stokes

24 42(E)

F(x (x yz2j

z) (x

+ + +

y =

,

, -

42

x2

1 1 inz

42

2 z 0

=

= + =

- + 42

x2 1

+ =

()xnds = F

(F Fzdz)

-dx F2dy

+ +

=

w 1 () xs

Fedy Fzdz

Fedx + + =

x zudx y2)dz

yz2dy (x

+

w + +

=

parametrizzo

2 z e

+ =

E cost

X = 2T]

[0

te

Sin t

u = ,

0

2 =

dx sintdt

= -

du It

cost

=

2z 0

=

Cost Sint)(-sin 1dt

+

- sint

cost at

C-sint) sint de

- (2 12 Sink -

Sinzt 2

+

- costco

--

= 2224)

2 -

+

+ a

= 2

y2π

Ezπ + π 2 Eπ

zπ

+ =

T - = = -

-

Serie

a 8

+ 3)4

T z(x +

n 1

= 2443

E di

di -3

serie

una centro

potenze Xo = 14

3) =

Lim

Calcolo m

: 2n

+

ne ↓ n +

= 0

1

3 R

teorema ho

di

il

per Convergenza 3

ragglo Che

posto

sul =

, :

1x 0)

xc(

31 3 la 6

serie assolutamente

+ converge - ,

1x la

31 serie

3 converge

non

+

+ 1)134x

07

2 = n2

E di

di

serie potenze centro

una Xo o

=

Calcolo : (1)"34

him Lim 3

=

0442 n +

+ - 0 ho

teorema

per il E

R

di che

posto

Convergenza

sul :

raggio =

le

1x1 assolutamente

&

per serie converge

la

1x1 > non

per converge

serie

3 Place

Trasformata La

di

E cos(t)

u"(t) y(t)

+ =

4(0) 0

=

y() 0

=

L[y(t)](p)

y(p) =

([b(t)](p)

B(p) =

L[y"(t) [cos(t)]

y(t)] L

+ =

([y(t)]

([y"(t)] pa y'()

py()

= - -

L[y(t)] y(F)

=

L[cos(t)] p

= p2 1

+

p2y(p) y(p) p

+ = p2 1

+

Y(P)((P2

1) 1

p

+ = -

1) pa ep2e

+

(p2

+ ?

[spepies] pote(2]

[r[

" =

= ,

Teoria

6 Fx *

B

Versore binormale

1 =

- n ossia

,

[

Laterna e di

alla sistema

intrinsica curva un

: ,

lungo la

riferimento ortonormale che muove curva

si direzione

Il per di

e (E) (t)

il passa

plano

osculatore che

plano e

(t)

Per teorema

il

2 degli zerl :

- Sid

Sia CIRh

E continua

f E-ir

:

connesso

.

Consideriamo y di

X estremi

gli di

arco curva

, .

continua

un

f(x)

Soche f(u)co

o e

> .

Per =E

7 f(z)

teorema

il :

un o

=

/)r End

))

Edxdydz

3- =

. 2

9-f T]

[0 a tratti

IR regolare

-

: , T)

fX(0 :

, + bksin()

ko(x)

H(x)f(x +

@

=

T3

XXE0 :

, +a) b)

ff(T) +

=

Prova intercorso 17/12

Estremi

1 vincolati

42

x2

4)

f(x + x

= -

, 442

x2 13

((X R2

B y)( +

,

: : =

, poiche

e

Il relazione di

da

vincolo uguaglianza

dato

chiuso per

una

funzione

una continua

Tg(x 4) (2x 84)

=

, , (20

E

0)

Vg(x (0

4) Es

=

, , 4 0

=

soddisfa

0)

(0 l'eq del Posso teorema del

il punto applicare il

vincalo

non .

.

, Lagrange

moltiplicatori di b)

4) x(g(x

((x f(x 4) 4)

x = - -

,

, ,

, = x(xz 1)

442

x 42 x +

+ - -

-

& 2xx

2x 1

+ 0

=

- Q

84x

24 0

=

- -

x2 442

+ 1 0

=

-

a S

24(1 4

4x) E

0

+ = = -

- )x

2) -

E 1

2x

-2xx + 0

=

-

x2 442 0

+ 1

0 =

= -

Ex

E x

y S 114

0

= -

= 2x

+

1

2x +

- 0

= =

x2 442

+ 1 0

=

-

& x 16

= - 2/5

X -

= 10

442

2 + =

25

①442 -

1

=

=

E X Eu

215 215

= X

- =

521/10

y 521/10

= = -

Siccome e Weierstrass

compatto 7

il teorema di

vincolo

il per

assoluti

di

punti max min

e 5)

) (z

P3 (-

Pe Pu

0)

( Pa ( 0) 521110

215

1 = -

= =

.

= , , ,

, ,

f(P1) = - di

2 max

punto

f(P2) 0

= 4/25-

f(p3) 7 - -045- punto

= a

=

f(pa) 9/25 2

= - a

-

Integrale doppio

2 42 dxdy

((mx2exz

+

((x 23

x2

4)c1r2 42

C +

: -

:

,

Coordinate polari

in :

0/EIR2

<(9 2n]}

Octo

e

c =

: 2

: ,

,

lede (ecosto e 20)

) cost

12 een

( e3een)(2 ca

+

(co

1 ([ 1.1 cos

et2 2

]

T + .

=

2 t

= 2ede

at =

Xo 0

=

X1 C

=

(e at) 3)

I(4e" (4e [e

+ +

=

- -

↓

En e

(Ge" 1)

+

-

I

et

g = 1)

(3e"

t = +

e

g =

5 Teorema Stokes

di

F(x (4 42z3 3xy2z2)

2xyz3

z) +

+ x

+

z

=

y

, , , ,

I

I

det

x = Fr F3

F2

= E(bxfz

(zFz) + syfe)

(bxFz

JzF1)

(JuF3 - -

- -

= (24

6x422) 2423)

(6x422 34722) 1

(1 +

1 - -

- -

-

-

= 1)

34722

(1 1 +

- -

,

, )F

1) AXFInds =

Fzdy F3dz

1dx

F + +

w = 2π]

E [0

(t) -E

CoS

2

X

= = ,

4 3Sin

=

z 0

=

dx 2Sno

= -

du 3 cst

=

dz 0

=

(Fedx Fady F3dz

+

+

sin(sin

↓ do-cos

*

6/1

-

↓ s[E[zn]] Gi

= -

Gauss-Green

↳ = 2n]

cost [0

1 + e ,

z)

(2) yax

pXd4

= -

+

j

(x

F cost)

(a) (e cost

+

=

= cos)

(1

4 Sin

+

=

dx (1 coso) sing

+

= -

du coso)

(1 + coso

=

Im a

22

costosis

1 do co

+

= +

2020

π

= 3

π

π + +

T =

=

= Serie di

G Potenze

2xX

E di

serie di centro

Potenze

una Xo o

Calcolo : Lim

2k

Lim - =

=

=

k xkz2k k

+ +

+ + = R no

=

raggio che:

teorema

il di

per , posto

convergenza

sul

la

IxI & assolutamente

serie converge Xc( )

,

g

Ix1 la converge

> non

serie

(kx)k

!

K

E di di

Potenze centro 0

serie

una xo =

Calcolo : 1

+

1)k !

Lim (k K

+ /

k (k kk

+

= !

1)

0 +

Lim 1)k(

1)

(k +

+

k +

- #

1)

0 +

Lim (k) e

=

k +

- x R E Lo

teorema posto

il che

di convergenza

sul

per , =

raggio

Ix) Xc( )

/

E la serie assolutamente E

converge -

Ix1 la

E serie converge

non

Serie

7 di Fourier

T 2

= E

f(x) 1 /2

per o X1

= iT/21X π

per =

1

-

La e

funzione Ho

pari che

. :

fky1 bx

: 0

= z)f(x)cos(kx)ax

fkx0 ak

: =

↓

/Ecos(d

= cos(kx) kax

-

[sinkx]

=

↳ sin x

=

= f(x

ao + [sinyk(coskx)

f(x) - k 1πk

=

La funzione Per

tratti

regolare continua

.

e

a cul

π)

Xx(0 :

, ) +

)

f(x f(x Sk(coskx)

+ -

+ =

=

2 3

40

fx , = S(ckx)

-)

)

+ f(π

f(0 + 2

Lavoro

3 di campo

un

F(x e4z xye4z

xze4z 32

z) +

+ 4

y = ,

, , , +

))

r(t) (1 1000m]

[0

Sin(2t) 2t

cos(t)

= - ,

, ,

2 + sin(2 +

Cerco potenziale Ucl-UCP)

L

:

un =

(1-costo) 2004)

dove := (b) o

= , ,

p 0)

(0

(a) 0

= = , ,

24z

S Ux(x z)

4 =

, , xze4z

Uy(x z) 4

+

y =

, , xye4z

Uz(x z) 3z2

+

y =

, , (e4zdx

Ux(x z)

y =

, , ↓ e4zx

euz)dx z)

g(u

+

= ,

Xe4z

Vy(x zxe4z

z

z) z)

(yg(u +

+ u

4 =

=

, ,

, Ju z)

g(y 4

=

, (udu 4

z) h(z)

g(u +

=

=

,

xye4z (zh(z)

Uz(x +

z)

y =

, , (zh(z) 3zz

= 3(z2dz 3

h(z) +

= =

23

xe4z

U(x a +

z) c

+

y = +

,

,

u() (1000T3

L = =

Teoria

Le linee

1 di al

tangenti punto

campo sono curve continue campo ogni

in

-

2-n rux e #

(X-Xo)

dato Call'eg

Il tangente =

= plano :

; . Fuxu

lux (X Xo) 0

=

- .

nelle ipotesi

3- che tratti

regolare continua

sia a e

5 Campo vettoriale

F(X (2xz x2

4y3z 44)

z) 1 +

u +

=

, , ,

,

Firrotazionale =

x

1 8

se 6

det

(

F VX

rot = = [ E(bxfz

(zFz) + Suf

(bxFz

F1)

(JuF3 Jz

= - -

- -

↓ j(4y3 5(2x

443) 0)

E)0

2x) +

- -

-

-

↓ o

IR3

dom

2 F :

e semplicemente Connesse

~ E

Per e conservativo

cui F

Cerco potenziale Du

un : =

E Ux(x z) 2xz

y =

, , 4432

Uy(x z) =

u

, , 44

x 2

Uz(x z) 1 + +

u =

,

, 2z(x(x

Ux(x 2zx

z) z)

g(u

+

y = =

, ,

,

Vy(x z) Jyg(4 443z

z)

4 = =

,

, , 4z(y3(y 4244 4(z)

z)

g(a +

= =

, E

44 (zh(z)

Uz(x z) 44

x =

1

+ + +

y = =

,

, (zn(z) x2

1 +

= x2)dz

h(z) ( x2)z

1 + +

+ =

= c

((x zyk

zxz x2z

z) (1

+ +

+ +

= c

u

, , +3)

3 2

(t 1]

(t) [0

+

1 2t c

= + ,

, ,

u(P)

L u()

= -

a F(b) 1)

(2

= 2

= ,

,

p = 0

(a) (1 0

= , ,

v(a) 4

+

4 1 25

16 +

+

= =

U()