Esercizi svolti di Matematica

Esercizi per esame

y = _{1 - x²}/^ex

Iº dominio

• den ≠ 0
• pari: x ∈ ℝ
• x > 0
• ln(x) + x → 0
• Condizioni a sistema

e^x ≠ 0

x ∈ ℝ

D = ℝ

IIº int. assi

• x = 0 asse y
• y = _{1 - x²}/^ex

[x = 0, y = _{1 - 0²}/^e0 = ₁/¹]

[x = 0, y = _{1 - x²}/^ex]

[-x² = 0 → x² - 1 → x = ±1]

(-Δ; 0)

(Δ; 0)

x = ± Δ sono zeri della funzione

IIIº pari/inspai

rapporto rispetto a origine

superficie rispetto all'asse y

g(x) = _{1 - x²}/^ex

_g(x) = _{1 - (-x)²}/^e-x = _{1 - (x)²}/^ex = (1 - x², x = (1 - x², λ = (1 - x², _{÷ e^x}

+

[x > 0]

[x < 0]

IIIº segnico

y = _{Δ - x²}/^ex

[λ: _{1 - x²}/⁰ → [_x²- Δ = 0]

x₂ = 1

x = ±1

ESERCIZI PER ESAME:

y = ^{1 - x2}/_e^x

I^o Dominio:

den ≠ 0part. X ➞ ± ∞X ➞ ± ∞ Y ➞ 0ln (Y) ➞ - X ➞ 0+ Combinazioni + Sistemae^x ≠ 0X ∈ ℝD = ℝ

asse xX = 0Y = ^{1 - x2}/_e^x

II^o Ipt. Assi:

• X = 0Y = ^{1 - x2}/_e^x
• X = 0Y = ^{1 - x2}/_e^x = ^{1 - x2}/₃ = ^{1 - x2}/3

[- (^-Δ;0)]\[- (^{-Δ;0)] X → ± 4 Sono Zeri della funzione}

III^o Parità Esponenziale:

Simmetrica rispetto a origine≠ Simmetrica rispetto all'asse x

• g(x) = ^{1 - x2}/_e^x
• g(-x) = ^{1 - (-x)2}/_e^-x = ^{1 - (x2)}/_e^x = (1 - x²).λ = (1 - x²).

III^o Segno:

Y = ^{Δ - x2}/_e^x

^{Δ - x2} = 0x₂ = 1 x = ± Δ

Calcola area regione ombreggiata

• - ∫₀¹ (x² - x) dx = area 1

• + ∫₁² (x² - x) dx = area 2

- [^x3⁄₃ - ^x2⁄₂ + C ]₀¹ = [¹³⁄₃ - ¹²⁄₂ + C ] - [-¹⁄₆ + C ] = ¹⁄₆

+ [^x3⁄₃ - ^x2⁄₂ + C ]₁² = [²³⁄₃ - ²²⁄₂ + C ] - [¹³⁄₃ - ¹²⁄₂ + C ] =

= [⁸⁄₃ - ⁴⁄₂ + C ] - [¹⁄₃ - ¹⁄₂ + C ] = ⁸⁄₃ - ⁴⁄₂ + ¹⁄₃ - ¹⁄₂ = ⁵⁄₆

Area Totale= ¹⁄₆ + ⁵⁄₆ = 1

Studio di funzione:

f(x) = [ln(x-1)] = (ln(x-1))²

• D: x-1 > 0 -> x > 1
• D: ]1; +∞[

Intersezioni: no

INT. ASSI

• x = 0
• y = [ln(0-1)]

• uss:

ln(x-1)² = 0

1. (ln(x-1))² = 0
2. ln(x-1) = 0
3. x-1 = e⁰
4. x = 2
5. A(2;0)

CRESCITA

f(x) = (ln(x-1))²

• f(x) > 0 -> x Є D x ≠ 2
• f(x) = 0 -> x = 2
• f(x) < 0 -> x Є D: impossibile

Limiti asintoti

lim_{x -> 1⁺ (ln(x-1))² = +∞ X=1 as verticale}

lim_{x -> +∞} (ln(x-1))² = +∞ no asintoto orizzontale

lim_{x -> +∞} f.i. = 0 non es deriva

DERIVATA (ln(x-1))²

Derivata composta

1. f(x) = 2(ln(x-1))
2. 2^-1 * 1/(x-1) = 2[ln(x-1)]¹
3. x-1

dominio derivata x>1 coincide con dominio D: è derivabile in D

• segno: NI 2 ln(x-1) > 0 -> ln(x-1) > -x-1 -> e⁰ -> x-1 > 1
• x > 2

4x < 4 - √30

x > e ^{4 - √30} / 3

x e^{( 4 - √30 )/ 3} ≈ 1,3

4x < 4 + √30

x > e^{( 4 + √30 )/ 3}

x < e^{( 4 + √30 )/ 3} ≈ 10,8

6 funzione presenta 2 relassi in x = e^{( 4 + √30 )/ 3}

max e min esistono e son assoluti

Traslazioni

y = 2x

y = 2x + 3

y = 2(x - 4)

y = x²

y = (x - 2)²

y = (x - 1)² (verso 1 a sinistra)

y = (x - 4) (verso destra di quattro)

y = (x - 2)²

y = (x - 2)²

sx sopra dx sotto

par

y = (-x - 2)²

y = (-x - 2)²

y = (x - 2)²

sx si abbassa -2

y = (x - 2)²

y = (x - 2)²

destra, rotazione par

y = √x

y = √x - 3

y = 5x + 6

sinistra sopra

y = 3x + 5

y = √(x - 2)

disegna e scrivi se le curve seguono le regole.

D: e^x

e^x > 0   ∀x ∈ ℝ

2° Limiti Asintoti

lim_x→+∞ (1 - x²) / e^x = [-∞/∞]

lim_x→+∞ (1 / e^x) ^{convenzione 0*∞} = 0

ASS. Orizz DX: y = 0

lim_x→-∞ x² / e^x = [-∞/∞] = +∞

lim_x→-∞ (e(x) / x) = lim_x→-∞ 1 - x / x² = [-∞/∞] = +∞

non c'è asintoto obliquo

ne par. de dopo:

Positiva, y>0

> x + 4)₀^{∀ x ∊ R}

x > -4

x + 4

x > 2

Segno

x² + 4 > 0

x² + 4

∀ x ∈ R

segno:

x > < 4 > x ∈ D, x ≠ -2

8(x) > 0 ∀ x ∈ D, x ≠ 2

↑

8(x) = 0 x = 1

8(x) < 0 x ∈ D

0

- - +

+ +

determinare: y = - (x + x4)

_{x(x +4 x)}

determinare x + x + 4

Lim → x → +∞

x→

∞

lim → → x x + 4

lim → x2+4

definita → y

lim → x x + 4

definita → x

senq: x + + 4 0 x(x+4x)

x > < x < x >

8 x + 1 = - x 2 + 4

-x + 2

x + 2 x + 2 x2 + 4 + 16

x > -2

senq: x + 4 < x > x ∈ R

x² + 4 x -16

f 0 4 x_x2(x²-4)x

3x + 4 + 4x² - 4(2x²-16)

x2> -2

f(x) = x^1/3

g(x) = x^1/3

∫ ^2x⁄_{x² + 4} dx = ln(|x² + 4|) = ln(x² + 4) = ln(x² + 4) + c

u = ln(^x⁄_{x² + 4})

x ≥ 0x² + 4 > 0

- ux > x ∈ ℝ

x² + 4 > 0x² > -4

5A x ≠ 0x² + 4 ≠ 0

• x² + 4 > 0x² ≧ 0

x² < 0x > 0x 0

Δx₁

x → x >0

Δx₂

ln x -> 0 → x -> e⁰ -> x > 1

Δx₃

3 ln x - 2 -> 0 → g ln x -> ²/₃ → ln x ≥ ²/₃

→

→ x > 3e^2/3 ≉ 1,8

0 1 ^√2

+

+

+

-

-

max ln x = 1min ln x = 3 ^√2

III cat. ass.

x=0f_x=(ln x)³-(ln x)²

y=0f_y=(ln x)³-(ln x)²

(ln x)²(ln x-1)=0

(ln x)²-(ln x)

(λ;0) (e;0)2 intersezioni asse x

La funzione ha 2 zeri: x=1 x=e

IV segno

(ln x)² (ln x-1)

(ln x)² ≥0oppure:(ln x)² >0

ln x > 1

x > e¹=2,71

e^-1

Studio del segno di C'

3e^-t⁄₂ > 0     ∀t

Δ - t > 0

(Δ - t) (Δ - t) > Δ

t - Δ < - Δ     t < 2

_t^-⁄2 < 0

+ t

C'

C

t = 2 ore la funzione concentra...

C(t) = 3t.e^t−t⁄₂

= 3∙2e^⁄₃⁄₂

= 6 mg/l

Ris: la massima concentrazione è di 6 mg/l

esco dopo 2 ore

grafico probabile

c(mg/l)

t(ore)

ES.7 Studio di funzione

g(x) = (log x)³ - (log x)²

log(x) = ℝ > 0

1) Dominio

x > 0

D = (0; +∞)

= {x ∈ ℝ | x > 0}

2) Pari/Dispari: ne pari ne dispai

ES 2: RETTA ASINTOTO

y = 2√x retta tangente in x = 1

In 1

• x = 1
• u = 2
• A (1; 2)

Id.: x > 0

8(1) = m devo cartaggere

8(1) = (1 (3/4 * 3/4 - 1))

1 = 1

• x = 1
• u = 2
• A = (1, 2)

8(1) = l/b - 1 = m

Trova retta passante per (1; 2) e m = 1

• y = mx + q
• 2 = 1 * 1 + q
• 2 = 1 + q
• q = (1)

u = x + 1

y = x + 1

y = 2√x

x > 0

ES. 3

C(t) = (3t * e^{-λ/2 * t}) * t > 0

C(t) = concentrazione di un farmaco nel sangue (mg/L) = k(mg/mL)

1. Trova le max concentrazione

2. Quando viene raggiunta?

C' = segno di C'

C'(t) = (3t * e^{-λ/2 * t}) + (3t) * (λ * e^{-λ/2 * t})

Determinata con hopital => 8:8 => 8/8

= 3(1 * e^{-λ/2 * t}) + 3t

= 3e^{-λ/2 * t} + 3t * e^{-λ/2 * t}) * (0 - λ/2 * t)

= 3e^{-λ/2 * t} + L(t) * t_lb

= (e^{-λ/2 * t}) * (L(t) - λ/2 * t)⁴

Raccogliamo

Dal grafico:

D:

x

x ≠ -2x ≠ 2

D = R \{±2}

8 + 44 ≠ 0IR + 2|3 # 18

Neanche dispariZeri: x = 5

In assi A, B(x, 0) (0, y = 1)

Segno:

• 8(x) > 0 → x < -2 ∨ x > 5
• 8(x) < 0 → -2 < x < 0 ∨ 2 < x < 5
• 8(x) = 0 → x = 5

Asintoti:

Verticale x = -2Orizzontale (∞x, -∞x) y = 1

lim_x→-2 8(x) = +∞

lim_x→2⁺ 8(x) = -∞

lim_x→2^- 8(x) = -3

lim_x→2⁺ 8(x) = -3

lim_x→+∞ 8(x) = 1