Equazioni differenziali ordinarie

ODE Equazioni differenziali ordinarie

Per equazione differenziale si intende un'equazione che ha come incognite una funzione e che mette in relazione tra loro un certo numero di derivate della funzione stessa.

x variabile indipendentey(x) incognita

f(x, y(x), ẏ(x), …, y⁽ⁿ⁾(x)) = 0   eq. differenziale

Esempio più semplice di eq. differenziale è

ẏ(x) = f(x)   dove f(x) è una funzione continua in [a, b]

le soluzioni sono   y(x) = ∫_x₀^x f(t) dt + C   x₀, x ∈ [a, b]

"Ordine" o "grado" di una ODE è il grado più alto tra le derivate in essa presenti.

Se le derivate di ordine superiore si può ricavare in funzione delle altre, ovvero:

y⁽ⁿ⁾ = g(x, y(x), ẏ⁽¹⁾(x), …, y^(n-1)(x))   l'eq. si dice in forma normale

ODE Equazioni differenziali ordinarie

Per equazione differenziale si intende un'equazione che ha come incognite una funzione e che mette in relazione tra loro un certo numero di derivate della funzione stessa.

• x variabile indipendente
• y(x) incognita

f(x, y(x), ḋy(x),..., y^(m)(x)) = 0   eq. differenziale

Esempio più semplice di eq. differenziale è

ḋy(x) = f(x)   dove f(x) è una funzione continua in [a, b]

le soluzioni sono   y(x) = ∫_x₀^x f(t) dt + C   x₀, x ∈ [a, b]

"Ordine" o "grado" di una ODE è il grado più alto tra le derivate in essa presenti.

Se le derivate di ordine superiore si può ricavare in funzione delle altre, ovvero:

y^(m) = g(x, y(x), ḋy¹(x), ..., y^(m-1)(x))

L'eq. si dice in forma normale

Alcuni esempi di ODE

L u^″(t) + g u(t) = 0   pendolo semplice

x^″(t) + ω² x(t) = 0   oscillatore armonico

F = - k x   k costante elastica

F_e = m e = m x^″(t)   -k x = m x^″

x^″ + ^k⁄_m x = 0

ω = √^k⁄_m

x^″(t) + ω² x(t) + μ x′(t) + F(t) = 0

Eq. Raffreddamento

T_e Temperatura esterna (dell'ambiente)

T(t) Temperatura del caffè al tempo t

^{Δ Q}⁄_{Δ t} = κ (T_e - T)   C = ^{Δ Q}⁄_{Δ T}

^{Δ T}⁄_{Δ t} = k (T_e - T)   T′(t) = - k T(t)

k = ^κ⁄_C > 0

T′_e = 0

Soluzioni sono T(t) = C e^-kt

Se la temperatura iniziale è T(0) = T₀ allora T(t) = T₀ e^-kt

F(x, y, y^', y^'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 Una ODE di ordine n si può sempre riscrivere come un sistema di I^o ordine composto da n equazioni.

Esempio x^'' + u² x = 0 eq. II^o ordine

ponendo x^'(t) = V(t) si ha { V^' + u² x = 0 I^o ordine

{ x^' - V = 0 I^o ordine

y⁽³⁾(x) = x³ + 3 y^'(x) + y(x) y^''(x) III^o ordine

ponendo y^'(x) = u(x)

y^''(x) = v(x)

{ y^'(x) = u(x) I^o ordine

{ u^'(x) = v(x) I^o ordine

{ v^'(x) = x³ + 3 U(x) + Y(x) V(x) I^o grado

y^'(x) = f(x, y(x)) Eq. diff. ordinario del I^o ordine in forma normale

Per Problema di Cauchy, si intende un problema composto da un'ODE e una condizione iniziale, ovvero:

{ y^'(x) = f(x, y(x)) (1)

{ y(x₀) = y₀ (2)

dove i valori x₀ e y₀ sono stati assegnati.

Una soluzione del P.d.C. è una y(x) che soddisfa (1) e (2).

2 soluz. dello stesso problema

{ y' = 2√y

y(0) = 0

y₁(x) = x²

y₂(x) = 0

y₁' = 2x = 2√y₁

y₁(0) = 0

y₂' = 0 = 2√y₂

y₂(0) = 0

g(x) è Lipschitziana in I intervallo di ℝ

se ∃L>0 : |g(x₁)-g(x₂)| ≤ L|x₁-x₂| ∀x₁,x₂ ∈ I

Teorema di esistenza ed unicità local

T. di Cauchy

y' = f(x,y) considero (x₀,y₀) ∈ ℝ²

Se esiste un intorno di (x₀,y₀) I x J

I = ]x₀-a , x₀+a[

J = ]y₀-b , y₀+b[

tale che f(x,y) è continue in I x J

e lipschitziana nelle variabile y, uniformante rispetto ad x

ovvero: ∃L>0 tale che |f(x,y₁)-f(x,y₂)| ≤ L|y₁-y₂|

∀y₁,y₂ ∈ J e ∀x ∈ I

Allora esiste un S>0 e una unica funzione y(x)

continua e derivabile in ]x₀ - S, x₀ + S[

soluzione del problema di Cauchy

{ y'(x) = f(x, y(x))

y(x₀) = y₀

Teorema di Esistenza ed Unicità Globale

f continua in [a,b] × ℝ

∃ L > 0 : |f(x,y₁) - f(x,y₂)| ≤ L |y₁ - y₂|   ∀x ∈ [a,b]

    ∀y₁,y₂ ∈ ℝ

∀x₀ ∈ [a,b] e ∀y₀ ∈ ℝ esiste un’unica funzione y(x)

continua e derivabile in [a,b] soluzione del problema di Cauchy

{ y' = f(x,y)

y(x₀) = y₀

Se f(x,y) è continua in un intorno di x₀, y₀ e se

∂f/∂y è continua in un intorno di x₀, y₀

allora f(x,y) è continua e lipschitziana in y in un intorno di (x₀,y) e possiamo applicare il T. di Cauchy

Infatti detto L il max che |∂f/∂y| assume in un intorno di (x₀,y₀)

Applicando Lagrange |f(x,y₁)-f(x,y₂)|=|∂f/∂y(x,c)||y₁-y₂|

< L |y₁-y₂|

T'(t) = -k T(t)

y' = -k y

y' = f(x, y) = -k y

_∂f/_∂y = -k

quindi y' = -k y soddisfa le ipotesi di Cauchy

{ y' = -k y

Y(x₀) = y₀

C e^-kx = y(x)

Y(x₀) = C e^-kx₀ = y₀

C = y₀ e^kx₀ y(x) = y₀ e^kx₀ e^-kx = y₀ e^-k(x-x₀)

\[ \]

unica soluzione

del problema

y' + a(x) y = 0

y'(x) = -a(x) y(x)

\(\frac{dy}{dx}\) = -a(x) y(x)

\(\frac{1}{y}\) \(\frac{dy}{dx}\) = -a(x)

\(\frac{y'}{y}\) = -a(x)

\(\int \frac{1}{y} \, dy = \int -a(x) \, dx\)

\(y = y(x)\) \(\frac{dy}{dx}\) = y'

\(dy = y' \, dx\)

\(\int \frac{1}{y} \, dy - \int a(x) \, dx\)

log |y| =