Equazioni differenziali ordinarie

Metodi Numerici con Elementi di Programmazione (A.A.

2025-2026) [1]

Appunti delle lezioni: Equazioni differenziali ordinarie ai valori iniziali

Docente Vittoria Bruni

Equazioni differenziali

Le equazioni differenziali rappresentano uno strumento efficace per la costruzione di modelli matematici

per la simulazione di sistemi dinamici in diversi ambiti: ingegneria, biologia, chimica, fisica, informatica

e scienze sociali . Sono equazioni che esprimono un legame tra una o più funzioni incognite e le loro

derivate .

Classificazione

• Se le derivate si riferiscono ad una sola variabile, si parla di equazioni differenziali ordinarie

(ODE) . Esempio: ′

y (t) = ay(t)

con y funzione incognita, t variabile indipendente e a costante.

• Se le derivate si riferiscono a più variabili, si parla di equazioni differenziali alle derivate

parziali (PDE). Esempio: −

u au = 0

t xx

con u funzione incognita, t e x variabili indipendenti e a costante.

Equazioni differenziali ordinarie: modello matematico

Oscillatore Armonico Semplice Smorzato

Il moto di una particella di massa m attaccata all’estremità di una molla di costante elastica k è descritto

dall’equazione differenziale lineare del secondo ordine:

2 dx

d x + b + kx = 0

m 2

dt dt

Dove:

• dx

−b : forza di attrito.

dt

• −kx: legge di Hooke.

La soluzione ”esatta” (dall’analisi matematica) è:

−bt/2m

x(t) = x e cos(ω t + ϕ )

m m m

q 2

k b

− . L’ampiezza x e la fase ϕ sono individuate dalle

con pulsazione dell’oscillatore ω =

m m m

2

m 4m

condizioni iniziali. 1

Circuito RLC (Legge di Kirchoff )

Un modello analogo descrive la carica Q(t) di un condensatore C in un circuito chiuso (con resistenza

R, induttanza L, sorgente E e interruttore S). Applicando la seconda legge di Kirchoff:

Q(t)

dI (t) +

E(t) = RI(t) + L dt C

dQ

Poiché I(t) = (t), si ottiene l’equazione:

dt 2 dQ Q

d Q + R + = E(t)

L 2

dt dt C

Problema di Cauchy per ODE

Un problema reale richiede l’assegnazione delle condizioni iniziali (c.i.).

Esempio Oscillatore Armonico (PC)

Il Problema di Cauchy è: 2

 dx

d x + b + kx = 0

m 2

dt dt



 x(0) = x c.i.

0

dx

 (0) = v c.i.

 0

dt

−bt/2m

La soluzione è data da x(t) = x e cos(ω t + ϕ ) [5], dove x e ϕ dipendono dalle c.i.:

m m m m m

x 0

x =

m cos ϕ

m

1 v b

0

−

tan ϕ = +

m ω x 2m

m 0

dx

Esempio di c.i.: x(0) = 1, (0) = 0.

dt

Problemi Complicati (Esempio Pendolo)

Nei problemi reali l’espressione dell’equazione differenziale è spesso complicata e, in genere, non si riesce

a calcolare esplicitamente la soluzione.

Esempio (Pendolo): Le oscillazioni sono descritte dall’equazione differenziale del secondo ordine non

lineare: 2

d θ g

− sin θ = 0

2

dt L ′

Dove L è la lunghezza, g l’accelerazione di gravità e θ l’angolo. Condizioni iniziali: θ(t ) = θ , θ (t ) = v .

0 0 0 0

2

Dati: g = 9.81m/s , L = 0.6m, θ = π/6, v = 0.

0 0

Osservazioni sul Pendolo

• ≈

Per piccole oscillazioni, vale sin(θ(t)) θ(t), permettendo un’approssimazione della soluzione in

forma chiusa.

• Se si include l’attrito dell’aria (forza di smorzamento proporzionale alla velocità), l’equazione

diventa: 2 g

d θ dθ + sin θ = 0

+ b

2

dt dt L

dove b = kL/m. 2

Sistemi di equazioni differenziali: esempi

Modello Preda-Predatore di Lotka-Volterra

È il modello più semplice per la competizione tra due specie (y (t) prede, y (t) predatori). L’interazione

1 2

è proporzionale a entrambe le popolazioni:



y (t)

′ − 2 y (t), t > 0

y (t) = k 1 1

1

 1 µ

2

y (t)

′ −k − 1

y (t) = 1 y (t)

2 2

 2 µ

1

k , k , µ , µ sono costanti positive e y , y sono le condizioni iniziali. Osservazioni: In assenza di

1 2 1 2 1,0 2,0

predatori, le prede crescono esponenzialmente; in assenza di prede, i predatori muoiono rapidamente. Se

y = µ e y = µ , allora (µ , µ ) è un punto di equilibrio. La soluzione può essere periodica per

1,0 1 2,0 2 1 2

particolari valori.

Moto di una Navicella Spaziale

Descritto da un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine:

( GM

′′ ′2 −

r (t) = r(t)θ (t) T

2

r

′ ′

r (t)θ (t)

′′ −2

θ (t) = r

−11 −2

3 24

· ·

G = 6.672 10 m /Kgs (accelerazione gravitazionale), M = 5.9742 10 Kg (massa terrestre),

T

R = 6378.14Km (raggio terrestre). Condizioni iniziali: r(0) = R + H, ṙ(0) = 0, θ(0) = 0, θ̇(0) =

T T

v /r(0). Esempio di studio: v = 6700m/s e H = 772Km.

0 0

Corpo sospeso da una corda elastica ◦

Determinare la lunghezza r della corda quando la posizione θ = 0 viene raggiunta per la prima volta.

Equazioni del moto: ( ′′ ′2 k

− −

r (t) = r(t)θ (t) + g cos(θ(t)) (r(t) L)

m

′ ′ g sin(θ(t))

r (t)θ (t)

′′ −

−2

θ (t) = r r ◦

2

[11, 12] Dati: g = 9.80665m/s , k = 40N/m, L = 0.5m, m = 0.25kg. Rilasciata da θ = 60 a riposo.

Equazioni differenziali di ordine n e riduzione a sistemi del primo

ordine

Forma Generale di Ordine n

( ′ ′′

(n) (n−1)

y (x) = f (x, y(x), y (x), y (x), . . . , y (x))

(k) −

y (x ) = y k = 0, 1, . . . , n 1 Condizioni iniziali

0 k

Ricondurre a un Sistema di n Equazioni del Primo Ordine

′ (n−1)

Si introducono le variabili y (x) = y(x), y (x) = y (x), . . ., y (x) = y (x). Il sistema risultante è:

1 2 n

 ′ (x) = y (x)

y 2

1 

 y = y

 10 0

 ′

y (x) = y (x)

 



 3

2

  y = y

  20 1

con Condizioni iniziali:

... . . .

′

 

y (x) = y (x) 

 n

 

n−1 y = y

 

 n0 n−1

′

 y (x) = f (x, y (x), y (x), y (x), . . . , y (x))

 1 2 3 n

n 3

Esempi di Trasformazione

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