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Statistica – Equazioni Appunti scolastici Premium

Appunti di Statistica Equazioni. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Teorema fondamentale dell’algebra, Conseguenza del Teorema fondamentale dell’algebra, Equazioni equivalenti, Criteri di equivalenza fra equazioni, Equazione di primo grado, ecc.

Esame di Statistica docente Prof. G. D'Amico

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dalla quale concludiamo dicendo che l’eq.ne avente due dati numeri per radici ha il

primo coefficiente unitario, il secondo coefficiente uguale alla somma dei due numeri

cambiata di segno e il terzo è dato dal prodotto dei due numeri.

La Regola di Cartesio

Tale regola ci permette di determinare il segno delle radici di una equazione di

secondo grado senza andare a risolvere l’equazione stessa. a , b , c

.

2

Consideriamo l’equazione e i suoi coefficienti nell’ordine

+ + =

ax bx c 0

Def.15 Diciamo che i coefficienti presentano una permanenza di segno ogni volta

che due coefficienti consecutivi hanno lo stesso segno.

Def.16 I coefficienti presentano una variazione di segno ogni volta che tra due

coefficienti consecutivi c’è un cambio di segno.

2

Es.6 - + = = = - =

4 x 3 x 1 0 a 4, b 3, c 1 ci sono due variazioni.

2 - - = = = - = -

3 x 2 x 1 0 a 3, b 2, c 1 c’è una variazione ed una permanenza.

2

- - - = = - = - = -

4 x 2 x 3 0 a 4, b 2, c 3 ci sono due permanenze.

La regola di Cartesio dice che a , b , c

.

1) a ogni permanenza di segno in corrisponde una soluzione negativa, mentre

ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva;

2) se l’equazione ha radici di segno opposto (quindi per punto 1 precedente) i

coefficienti presentano (V,P) oppure (P,V) ) la radice positiva ha il maggiore valore

assoluto se la variazione precede la permanenza; viceversa la radice negativa ha il

maggiore valore assoluto se la permanenza precede la variazione.

In modo schematico ( ) ( )

Þ > Þ <

V , P | R | | R |; P , V | R | | R | .

p n p n

Esercizio 3 Risolvere l’equazione seguente:

2

( ) ( )( )

+ - +

2 x 1 x 1 x 1 +

10 x 3

- =

4 2 4

Esercizio 4 Risolvere l’equazione seguente:

( ) ( )

+ +

x 4 x 3 x 5 1

- + = 0

12 4 2

Esercizio per casa 5. Risolvere l’equazione seguente:

2

( )( ) ( ) .

+ - - = - -

a x 1 x 1 6 x x 3 11

Esercizio per casa 6. Risolvere l’equazione seguente:

2

( ) ( )

- = - -

x 1 2 x 1

Esercizio per casa 7 Risolvere l’equazione seguente:

2 - - =

4 x 3 x 10 0

Equazioni con modulo:

Î Î

Def. 17 a a

¡ ¡

Per ogni definiamo il valore assoluto o modulo del numero

come segue ³

a se a 0

ì

=

| a | í - <

a se a 0

î

= - " Î

| a | | a | a ¡

Si noti che .

Il modulo di un numero può essere interpretato come distanza dall’origine (dallo

zero).

Le eq.ni con modulo sono eq.ni in cui un’espressione contenente l’incognita compare

dentro il modulo. + ³ - Î - +¥

x 4 se x 4 ( x [ 4, ))

ì

1

+ = Û + = + =

2 | x 4 | 1 | x 4 | | x 4 |

Es.12 í

2 - + < - Î -¥ -

( x 4) se x 4 ( x ( , 4))

î

Ora distinguiamo i due casi:

³ -

x 4

Caso otteniamo -

1 1 1 8 7

+ = ® = - = =-

x 4 x 4

2 2 2 2

7 7

- Î - +¥ Þ = -

ma [ 4, ) x è soluzione

2 2

< -

x 4

Caso otteniamo +

1 1 1 8 9 9

- - = ® - = + = = Û =-

x 4 x 4 x

2 2 2 2 2

9 9

- Î -¥ Þ = -

ma ( ,4) x è soluzione

.

2 2 9 7

ì ü

= - -

S , .

Quindi l’insieme delle soluzioni è í ý

2 2

î þ

Equazioni di grado superiore al secondo

Fino al IV grado esistono formule per avere le soluzioni delle equazioni. Spesso sono

formule difficili da applicare. Tali risultati erano stati conseguiti intorno al XVI

secolo.

Nel 1824 Abel dimostra l’impossibilità di trovare una soluzione generale di equazioni

di grado superiore al IV. Non ci può essere nessuna formula, espressa in termini di

operazioni algebriche sui coefficienti di un’equazione polinomiale, che permette di

trovare le radici dell’equazione se il grado è superiore al quarto.

Consideriamo di seguito alcune equazioni di grado superiore al secondo che si

risolvono facilmente.

Scomposizione in fattori con raccoglimento a fattor comune:

3 2 2

= - + = Û = - + =

P ( x ) x 5 x 4 x 0 P ( x ) x ( x 5 x 4) 0

3 3

Es.13 ± -

5 25 16

= = = =

x 0; x segue x 4; x 1

1 2,3 2 3

2

Equazioni biquadratiche

Es.14 4 2 2 4 2 2 2 2

= - - = = Þ = × = × = - = -

P ( x ) x 5 x 36 0 pongo t x x x x t t t ; 5 x 5

t

4 ± +

5 25 144

2

= = - - = = = - =

ottengo P ( x ) P (

t ) t 5

t 36 0; t segue t 4; t 9.

4 2 1,2 1 2

2

2

= - Û = -

t 4 x 4 non esistono soluzioni

1 2

= Û = Þ = = -

t 9 x 9 x 3, x 3.

2 1 2

Scomposizione in fattori tramite regola di Ruffini

La regola di Ruffini rappresenta una tecnica per fattorizzare un polinomio in una

variabile. P ( x )

Sia k un numero reale e un polinomio, sostituendo il numero k alla variabile x

otteniamo un certo valore numerico che indichiamo con P(k).

Def. 18 Si dice che un numero k è uno zero di un polinomio P(x) se P(k) = 0, cioè se

k è una radice dell’equazione polinomiale P(x)=0.

P ( x ) A ( x )

Un polinomio si dice divisibile per un altro polinomio se esiste un terzo

= ×

B ( x ) P ( x ) A ( x ) B ( x )

polinomio tale che . ( )

-

x k

k

Preso un numero reale e considerato il polinomio di primo grado , dalla

( )

P ( x ) -

x k

divisione di con risulta che

( )

= - × +

P ( x ) x k Q ( x ) R ( x ) .

Q ( x ) R ( x )

Dove si dice polinomio quoziente mentre è il polinomio resto.

Teo. 2: (Teorema di Ruffini) ( )

-

x k

La divisione di un polinomio P(x) con il polinomio , dove k è uno zero di

P(x), produce un resto R(x) = P(k).

Quindi il resto è un numero reale dato dal valore che il polinomio P(x) assume

quando x = k.

Ora se k è una radice del polinomio P(k) = 0 quindi la divisione di P(x) con il

polinomio (x-k) ci darà un resto R(x)=0. ( )

=

P ( x ) k : P ( k ) 0 -

x k

Quindi dato devo trovare e quindi considerando si ha

¸ - = = - ×

P ( x ) ( x k ) Q ( x ) P ( x ) ( x k ) Q ( x )

e cioè vale la fattorizzazione .

Come individuare k ??????

Esiste un caso semplice (l’unico che esce ai compiti scritti) che è quello in cui il

polinomio e del tipo seguente: n n-1 n-2

P (x)=x +a x + a x +…. +a x+ a

n 1 2 n-1 n

dove i coefficienti a , a ,… a sono numeri interi. In tal caso le radici di P (x)=0 sono

1 2 n n

divisori del coefficiente a .

n

A questo punto esponiamo la regola di Ruffini attraverso un esempio:

4 3 2

= + - - + =

Es.15 P ( x ) x 2 x 16 x 2 x 15 0 . Considero i divisori del termine noto e

4

vedo se uno di essi è radice del polinomio:

± ± ± ±

1; 3; 5; 15; = + - - + =

P (1) 1 2 16 2 15 0

i divisori sono: inoltre noto che 4

P ( x )

cioè 1 è radice allora posso dividere il polinomio per il polinomio di grado 1

4

-

( x 1) × -

P ( x ) P ( x ) ( x 1)

cosi da ottenere una fattorizzazione di = . Il procedimento

4 3

che mi permette di fare tale scomposizione è la regola di Ruffini:


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AUTORE

flaviael

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DETTAGLI
Esame: Statistica
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in chimica e tecnologia farmaceutiche
SSD:
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof D'Amico Guglielmo.

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