Statistica – Equazioni

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A( x ) B ( x )

Primo criterio: Data l'equazione aggiungendo (sottraendo) ad ambedue i membri una terza espressione, si ottiene un'equazione equivalente, in formule: Û + = + A ( x ) B ( x ) A( x ) M ( x ) B ( x ) M ( x ) = A ( x ) B ( x )

Tale criterio ci permette di riscrivere una equazione del tipo nella forma C(x)=0 dove C(x)=A(x)-B(x). = A( x ) B ( x )

Secondo criterio: Data l'equazione moltiplicando (dividendo) ambedue i membri con una terza espressione, a condizione che, si ottiene un'equazione equivalente, in formule: A ( x ) B ( x ) = Û × = × Û = A ( x ) B ( x ) A ( x ) M ( x ) B ( x ) M ( x ) . M ( x ) M ( x ) dell'equazione per B(x) D(x) ottenendo così l'equazione equivalente da cui otteniamo l'equazione

Equazione di primo grado b= + = Û = - Û = - P ( x ) ax b 0, ax b x

Si tratta di equazioni del tipo 1 a4+ = Þ = -Es.5 3 x 4 0 x . Possiamo anche verificare che la soluzione è

corretta3 infatti bisogna sostituire all'incognita la radice dell'equazione e se la soluzione è corretta l'equazione si trasforma in una identità: 4√x - √-x + √3 = 4√x - √-x + √3 vera. ÷3 è √x + √-x = ax + b 0 Finora abbiamo escluso il caso in cui nell'equazione il coefficiente a fosse a ≠ 0 nullo. Vediamo ora come affrontare i casi in cui a = 0, b ≠ 0. Caso √x + √-x = 0 x = 0 x = 0 x = 0. L'equazione diventa 0 = 0 che è soddisfatta. Questo è pertanto un esempio di equazione indeterminata. Caso √x + √-x = ax + b 0 x = b 0 L'equazione diventa b 0 = 0 che non è mai soddisfatta essendo b ≠ 0. Questo è pertanto un esempio di equazione impossibile. Esercizio per casa 1. Risolvere l'equazione seguente: (√x - 3)(2√x + 1) - 4√x + 7 Esercizio per casa 2. Risolvere l'equazione seguente: (√x + 8)(6√x - 4) - 7

² + ² =Def.13 P(x) = ax² + bx + c = 0 è un'equazione di secondo grado. Risoluzione dell'equazione di secondo grado: ² + ² = Û + Û = ax² + bx + c = 0 Poiché posso moltiplicare ambo i lati dell'equazione per 4a, ottenendo 4a²x² + 4abx + 4ac = 0 Il passo seguente consiste nell'aggiungere ad ambo i membri dell'equazione -b/2a, ottenendo così 4a²x² + 4abx + b² - b² + 4ac = 0 cioè (2ax + b)² - b² + 4ac = 0 da cui ricavo (2ax + b) = ±√(b² - 4ac) cioè x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a) Def.14 Il termine b² - 4ac prende il nome di discriminante e si indica con la lettera D. Risulta che se D > 0 ci sono 2 radici reali e distinte; D = 0 ci sono 2 radici reali e coincidenti; D < 0 non esistono radici reali. Proprietà delle radici di un'equazione di secondo grado Abbiamo trovato le due seguenti soluzioni: x₁ = (-b + √(b² - 4ac))/(2a) x₂ = (-b - √(b² - 4ac))/(2a) Allora risulta che x₁ + x₂ = -b/a x₁ * x₂ = c/aac b b 4 ac 2b b+ = + = =-x x ;1 2 2 a 2 a 2 a a( )2 2æ ö æ ö - -b b 4 ac2 2- - - - + -b b 4 ac b b 4 ac 4 ac c× = × = = - =x x ç ÷ ç ÷1 2 ç ÷ ç ÷ 2 22 a 2 a 4 a 4 a aè ø è øAbbiamo così provato che: b-La somma delle radici è data dal rapporto .acIl prodotto delle radici è dato dal rapporto .aEq.ne di secondo grado avente per radici due numeri assegnatia b,Siano dati due numeri . Ci chiediamo di determinare un’eq.ne di secondo graoche abbia come radici proprio tali numeri.( ) ( )a b- × - =x x 0E’ sufficiente considerare l’equazione .Inoltre osserviamo che( ) ( ) ( )2a b a b ab- × - = Û - + + =x x 0 x x 02a b ab+ = =s ed p - + =x sx p 0e se pongo ottengo .dalla quale concludiamo dicendo che l’eq.ne avente due dati numeri per radici ha ilprimo coefficiente unitario, il secondo coefficiente uguale alla sommadei due numeri cambia di segno e il terzo è dato dal prodotto dei due numeri. La Regola di Cartesio Tale regola ci permette di determinare il segno delle radici di una equazione di secondo grado senza andare a risolvere l'equazione stessa. Consideriamo l'equazione e i suoi coefficienti nell'ordine a, b, c. Def.15 Diciamo che i coefficienti presentano una permanenza di segno ogni volta che due coefficienti consecutivi hanno lo stesso segno. Def.16 I coefficienti presentano una variazione di segno ogni volta che tra due coefficienti consecutivi c'è un cambio di segno. Es.6 - + = = = - = 4 x 3 x 1 0 a 4, b 3, c 1 ci sono due variazioni. 2 - - = = = - = -3 x 2 x 1 0 a 3, b 2, c 1 c'è una variazione ed una permanenza. 2 - - - = = - = - = -4 x 2 x 3 0 a 4, b 2, c 3 ci sono due permanenze. La regola di Cartesio dice che a, b, c. 1) a ogni permanenza di segno in corrisponde una soluzione negativa, mentre ad ogni variazione corrisponde

una soluzione positiva;

2) se l’equazione ha radici di segno opposto (quindi per punto 1 precedente) icoefficienti presentano (V,P) oppure (P,V) ) la radice positiva ha il maggiore valoreassoluto se la variazione precede la permanenza; viceversa la radice negativa ha ilmaggiore valore assoluto se la permanenza precede la variazione.

In modo schematico ( ) ( )Þ > Þ <V , P | R | | R |; P , V | R | | R | .p n p n

Esercizio 3 Risolvere l’equazione seguente:2( ) ( )( )+ - +2 x 1 x 1 x 1 +10 x 3- =4 2 4

Esercizio 4 Risolvere l’equazione seguente:( ) ( )+ +x 4 x 3 x 5 1- + = 012 4 2

Esercizio per casa 5. Risolvere l’equazione seguente:2( )( ) ( ) .+ - - = - -a x 1 x 1 6 x x 3 11

Esercizio per casa 6. Risolvere l’equazione seguente:2( ) ( )- = - -x 1 2 x 1

Esercizio per casa 7 Risolvere l’equazione seguente:2 - - =4 x 3 x 10 0

Equazioni con modulo:Î ÎDef. 17 a a¡ ¡Per ogni definiamo il valore assoluto o modulo del

numero come segue ³a se a 0ì=| a | í - <a se a 0î= - " Î| a | | a | a ¡Si noti che .Il modulo di un numero può essere interpretato come distanza dall’origine (dallozero).Le eq.ni con modulo sono eq.ni in cui un’espressione contenente l’incognita comparedentro il modulo.

+ ³ - Î - +¥x 4 se x 4 ( x [ 4, ))ì1+ = Û + = + =2 | x 4 | 1 | x 4 | | x 4 |Es.12 í2 - + < - Î -¥ -( x 4) se x 4 ( x ( , 4))îOra distinguiamo i due casi:

³ -x 4Caso otteniamo -1 1 1 8 7+ = ® = - = =-x 4 x 42 2 2 27 7- Î - +¥ Þ = -ma [ 4, ) x è soluzione2 2< -x 4Caso otteniamo +1 1 1 8 9 9- - = ® - = + = = Û =-x 4 x 4 x2 2 2 2 29 9- Î -¥ Þ = -ma ( ,4) x è soluzione.2 2 9 7ì ü= - -S , .Quindi l’insieme delle soluzioni è í ý2 2î þEquazioni di grado superiore al secondoFino al IV grado

Esistono formule per avere le soluzioni delle equazioni. Spesso sono formule difficili da applicare. Tali risultati erano stati conseguiti intorno al XVI secolo.

Nel 1824 Abel dimostra l'impossibilità di trovare una soluzione generale di equazioni di grado superiore al IV. Non ci può essere nessuna formula, espressa in termini di operazioni algebriche sui coefficienti di un'equazione polinomiale, che permette di trovare le radici dell'equazione se il grado è superiore al quarto.

Consideriamo di seguito alcune equazioni di grado superiore al secondo che si risolvono facilmente.

Scomposizione in fattori con raccoglimento a fattor comune:

3x² + 2x + 2 = 0

P(x) = x³ + 5x² + 4x + 0

P(x) = x(x + 5)(x + 4)

3x³ = 0; x = 0

x² + 5x + 4 = 0; x = -4, -1

Equazioni biquadratiche:

4x⁴ - 2x² - 4 = 0

P(x) = x⁵ + 36x³ + 0

P(x) = (x - 5)(x + 5)(x⁴ + 25x² + 144)

Pongo t = x²; t² - 5t + 5 = 0

t = 4 ± √(16 - 20) = 4 ± 2i

x² = 4; x = ±2

x⁴ + 25x² + 144 = 0; non ha soluzioni reali

(t) = t^5 - t^4 + 2t^3 - 9t^2 + 36

t segue t^4

t = 9.4, 2, 1, 2, 1, 222

= -t^4 x 4 non esistono soluzioni

= -t^9 x 9 x 3, x 3.2 1 2

Scomposizione in fattori tramite regola di Ruffini

La regola di Ruffini rappresenta una tecnica per fattorizzare un polinomio in una variabile.

P(x)

Sia k un numero reale e un polinomio, sostituendo il numero k alla variabile x otteniamo un certo valore numerico che indichiamo con P(k).

Def. 18 Si dice che un numero k è uno zero di un polinomio P(x) se P(k) = 0, cioè se k è una radice dell'equazione polinomiale P(x) = 0.

P(x) = A(x) x B(x)

Un polinomio si dice divisibile per un altro polinomio se esiste un terzo polinomio tale che P(x) = A(x) x B(x).

Preso un numero reale k e considerato il polinomio di primo grado -x + k, dalla divisione di P(x) con -x + k risulta che P(x) = -x + k x Q(x) + R(x).

Dove Q(x) è il polinomio quoziente mentre R(x) è il polinomio resto.

Teo. 2:

(Teorema di Ruffini) La divisione di un polinomio P(x) con il polinomio (x-k), dove k è uno zero di P(x), produce un resto R(x) = P(k). Quindi il resto è un numero reale dato dal valore che il polinomio P(x) assume quando x = k.

Ora se k è una radice del polinomio P(k) = 0 quindi la divisione di P(x) con il polinomio (x-k) ci darà un resto R(x)=0.

Quindi dato devo trovare e quindi considerando: