Appunti di Teoria di teoria dei segnali

Segnali Di Telecomunicazione

Deterministico Aleatorio

Varia nel tempo: energia finita: ^-∞ʃ^+∞|a(T)|dT < a Potenza finita P_s = lim_T→+∞ 1/2T ^-T+0ʃ^+T+0|a(T)|dT < ∞

• Segni Tempo-Continui

• Segni Canonici

1. a) Gradino unitario → discontinuity finitch t = 0

u(t)

U(t) = { 0 se t < 0 1 se t > 0 1 se t = 0: convenzionalmente }

1. b) Rettangolo

rect(t)

A rect(t) = { 1 se |t| < D/2 0 se |t| > 1/2 } => A rect(t/D)

Traslato al t_o: s(t) = A rect(t-t_o/D)

Moltiplicare un segnale per rect vuol dire finstrare un segnale

Supponiamo A=

a(t) = s(t) rect(tx-to/D) = limD→01 rect(tx-to/D) Vuol dire aumentare l'eta e impiccidere inzaie ottengo un rettangolo degenere ᵨ(t-to) Impulso unitario ∗ -∞ʃ+∞ᵨ(t-to)dt = 1 A=∗ (ᵨto = 1)t1ʃt2(ᵨ(t-to)dt = { 1 se t1 ⟩ t ⟨ t2 0 altrimenti })

^-∞ʃ^+∞s(t)ᵨ(t-t_o) dt = ^-∞ʃ^+∞s(t_o)ᵨ(t-t_o)=s(t_o)^-∞ʃ^+∞ᵨ(t-t_o) dt = δ(t_o)

In questo modo ho discretizato le segnace propossonamento

c) Seno cardinale o Sinc

funz oscillante { 1 su 1 e  }

zeri equispaziati

val. max nello zero

sinc(t) = sin(πt) / πt

Anche qui l’Asinc(

CONVOLUZIONE

x(t) = x(t) * y(t) = ∫_-∞^+∞ x(α) y(t - α) dα

• Commutativa x(t) * y(t) = y(t) * x(t)
• Distributiva (somma): x(t) * [h₁(t) + h₂(t)] = x(t) * h₁(t) + x(t) * h₂(t)
• Associativa x(t) * [y(t) * z(t)] = [x(t) * y(t)] * z(t)

Come si procede:

1. RIBALTAMENTO di uno dei segnali (y(«))
2. TRASLAZIONE del segnale ribaltato (y(«−t)) di un Valore (t)
3. MOLTIPLICAZIONE dei due segnali (x(t), y(«−t))
4. CALCOLO dell’area del prodotto 3

Tx = Ty+T condizione limite s₀

[x = Ty+t] ⇒ a(t) = 0 NO sovrapposizione

[Tx−Ty] t = [0⇒] a (t) l O⇒ (A): t ≤ Tx + Ty

Ma può accadere anche diversamente:

se [Ty+t] ⇒ Tx a(t)

(B): ∃ t > Tx+Ty

Quindi:

a(t) ≠ 0 ⇒ (Tx, Ty 0 (s t Tx + Ty

(1) Conv: Tra un segn Finito e uno Infinit.

Sarà un ssn periodico di periodo T.

(2) Conv: Tra 2 Sgn 00.

Non si può calcolare perché otterrei ss

di un qualcosa che non si annulla mai

son o. Esempio: (bonly)

Se per x(t) abbiamo dato delle esp per trovare x, per Sₓ(j) è possibile ricavare unaformula che permette di trovare x̂() a partire da x(t):

Sₓ(j)=∫x(t)e^-j. Quindi: Sₓ(j): t.c. di Fourier di x(t)x(t): antitràs. di Sₓ(j)

Ed inoltre:Sₓ(t)=∫_-∞^∞ x(t)e^-j

Anche in questo caso quindi valgono dei proprietà:

1. x(t) SOLO REALE. Allora:Sₓ(j) =∫_-∞^∞ x(t) [(2ft) - j sin (2ft)] dt =∫_-∞^∞ x(t) cos (2ft) dt - j∫_-∞^∞ x(t) sen (2ft) dt

Sₓ(-j) = S*ₓ(j)Sym. Hermitianus

Sₓ(j) = Re (ℰ) - j Im (ℰ)Sₓ(-j) = Re (ℰ) + j Im (ℰ)

2. x(t) REALE e PARISₓ(j) =∫_-∞^∞ x(t)cos(2ft)dt - j∫_-∞^∞ x(t)sen(2ft)dtSp(j) = anch’esso reale e pariè l’unico caso in cui Re e I di F continuano ad essere R e P
3. x(t) REALE e DISPARISₓ(j)=∫₀^∞x(t)cos(2ft)dt - j∫₀^∞ x(t) sen (2ft) dtSₓ(t) è dispari e puramente immaginario

-> La di F di un rect. è sempre un Sinc-> Portendo da un segnale, x(t) → aumento finial tempo un segnale al estensione infinitoNON VALE IL VICEVERSA (x, )

1. x(t) durata finita → Sₓ(j) estensione infinita
2. x(t) ∞ infinito → Sₓ(j) ∞ finitiva
3. Sₓ(j) est finita → x(t) durata finita

DERIVAZIONE NEL TEMPO

1) s(t) ↔ S(P)   (HP)

2(t) = d/dt s(t)   ↔  2(f) = S(P) (j2πf)  (Th)   e in generale  (dⁿ/dtⁿ) = [s(t) ↔ S(P) (j2πf)ⁿ] L2(P) = ⌠_-∞^+∞ 2(t) e^-j2πft dt   =  ⌠_-∞^+∞   (d/dt  s(t)) e^-j2πft dt   = = [s(0)2(t) e^-j2πft_-∞^+∞ - ⌠_-∞^+∞ s(t) d/dt (e^-j2πft) dt = [limitatore]

segn. ad energia finita (HP), che tende a 0 per t →±∝ = 0 per t. (emitt.f.)   f s(t)  2(f) = ⌠_-∞^+∞ s(t) e^-j2πft dt  ⇒ 0 ∫(f) = j2πf ∫(f)  ⌠_-∞^+∞ s(t) e^-j2πft dt cioè

INTEGRAZIONE NEL TEMPO

3(t) ↔ S(P)  (Her)

2(t) = ⌠_θ⊃o  dθ  ↔  2(f) = S(P)/j2πf  perchè l'è ext.sup  or posto che ⌠_-∞^+∞ λ(θ) dθ = 0 ⌠_-∞^+∞ λ(θ) dθ = 0  (Th)

L2(P) = ⌠_-∞^+∞ 2(t)e^-j2πft dt = [2(t)e^-j2πft_-∞^+∞ - ⌠_-∞^+∞ e^-j2πft d2(t)/dt dt / (d/dt) (e^-j2πft)] = ⌠_-∞^+∞ 2(t)e^-j2πft dt = = [2(t) e^-j2πft / j2πf]_-∞^+∞ - ⌠_-∞^+∞ e^-j2πft {[d2(t)/dt]/[d(t)/dt]} dt

limbota

2(+∝) - ⌠_θ⊃o  λ(θ)dθ = 0  2(+∝)=⌠_θ⊃o  λ(θ)dθ = 0 per |_HP

2(f) = 1/j2πf  ⌠_-∞^+∞ s(t) e^-j2πft dt cioè

Vogliamo rispondere alla (2), cioè del grafico b) vogliamo tornare ad a). Questo equivale a rimuovere i triangoli non centrali e “riscalare” quello centrato di T (_Px1 = 4) in b).

Moltiplico Sc(P) per un rett. di valore T; dove il rett. è nullo, il prodotto è nullo, quindi elimino le altre infinite repliche. Chiamo Sc(P) in freq:

S(P) = Sc(P) ⋅ Trect(₂/_Pc) con fe: P. di taglio

Spettro. rett.: “FILTRAGGIO”

Quindi, (2) Sì, ma c’è un limite: questo discorso vale se le repliche sono spaziate tra loro:

OK ⇨ ⇗ Aumento T _T1 > T

Le repliche spostati si sovrappongono. dalle 3 sappiamo che si devono sommare quindi viene questo

Un aumento del passo di campionamento comporta all'avvicinamento delle repliche spettrali, imponendoci la (2) ⇨ ALIASING

Qual è la condizione limite? ⇨ Le repliche si toccano in un solo punto

f_max dello Sdipat. = f_m

⇨ -1/_T0 = 2f_{m T0} = 1/_2fm c. lim.

Il filtro avrà f_c = f_m; in questo modo recupero x(t)

Quindi: _T ≤ 1/_2fm OK ; T ⧹ 1/2f_m ALIASING

N.B.

f_c > 2f_m

f_c < f_m

Quindi:

1/T = f_s = FREQU. DI CAMPIONAMENTO

f_m = FREQU. MAX di o(t) (banda)

non sono sovrapposti tra loro: ⧹1/_T = f_s > 2f_m

Se f_s = 2f_m = Frequ. di NYQUIST

f_c = FREQ. DI TAGLIO DEL FILTRO

In questo caso, allora f_c = f_m = f_s = 2f_m = 2f_c campionam. a f._limite