Domande di Algebra e geometria

Concetti fondamentali di algebra lineare

Matrici e determinanti

Considero se A sia una matrice formata da M e le righe aggiunte con le rispettive colonne aggiunto elemento, così una base i.d (C_ij) - questa è un ordine di M che hanno determinante ≠ 0.

Dimensione di uno spazio vettoriale

Cos'è? La dimensione di uno spazio vettoriale è data dal numero di vettori che compongono una base.

Base di uno spazio vettoriale

Cos'è una base? Una base è una sequenza di vettori linearmente indipendenti che combinati linearmente creano i vettori di uno spazio vettoriale.

Combinazione lineare e dimensione delle basi

Verificare che un vettore è una combinazione lineare di una base e che tutte le basi hanno la stessa dimensione. Teorema: Sia X = (X₁...X_m) sequenza libera di vettori. Allora ∀ w̆ ∈ I(X) ∃! (α₁...α_n) tali che w̆ = α₁X₁+...+α_nX_m.

Autovalori di matrici simmetriche

Tutte le matrici reali e simmetriche hanno autovalori reali; dimostra che tutti gli autovalori di una matrice A sono reali. Essendo gli autovalori le soluzioni dell'equazione caratteristica di A: |A - I_n|=0. Se la matrice è reale, tutti i suoi valori sulla diagonale principale saranno reali, quindi gli autovalori che annullano l'equazione |A - I_n| = 0 saranno necessariamente coefficienti reali ∈ ℝ.

Geometria analitica

Cos'è una retta e cosa vuol dire che due rette sono parallele? Cos'è la direzione di una retta? Possibili posizioni di rette reciproche nello spazio... Delle due rette sghembe trovo due piani che le contengono e vengono paralleli. Una retta è il secondo ente fondamentale della geometria e ha equazione ax+by+c=0 nel piano cartesiano oppure, in uno spazio a tre dimensioni, è l'intersezione di due piani. Due rette sono parallele se il fascio di rette che le contiene ha equazione: ax+by+k=0 e k∈ℝ. La direzione di una retta è data dalle componenti del suo vettore direttore: v(l, m, n).

Punti impropri e rette

Cos'è un punto improprio? Cos'è una retta (σ≠2)? In ℝ³ se V(x₂, x₂, x₃) è sottospazio x₃-dimensione. Se x₃=0 ho un punto improprio di Hk₃. Per una retta, il punto improprio è la sua direzione; per due rette sono i medesimi punti se sono rette parallele.

Equazioni lineari e soluzioni

In tre incognite, cos'è l'insieme delle soluzioni di un'equazione impropria? Sia A∈M_n,_n una matrice reale simmetrica, allora tutti i suoi autovalori∈SPEC(A)∈ℝ. Dim: ^tX^tX = ^tX A x = ^tA^tX = ^tXA X = λ^tX^tX x = x₁ ^tx₁ + ... + x_n^tx_mx_i ^tx_i > 0 ne x_i ≠ 0 X_i = α_i + i β_ix^tX = (α_i+iβ_i)(α_i-iβ_i) == α_i²-(i)²β_i² = α_i² + β_i² ai, β_i ∈ ℝ^tX^tX = λ^tX → λ = λ ∈ ℝ.

Teoremi e dimostrazioni

1. Scrive enunciato e dimostrazione di Rouché-Capelli. Cos'è e come si legge una funzione lineare. Come costruisco le matrici rappresentative di una funzione. Se la dimensione dell'immagine = rango di A.
2. Dimostrare che per (v₁ ... v_k) nella matrice associata c'è un minore di ordine k×k con determinante ≠ 0.
3. Dimostrare che avendo una sequenza di n vettori, allora è... Mostra il somma dell'unità. Cosa vuol dire che una matrice è ortogonale? Come devono essere che le righe e le colonne di tale matrice (devono essere un insieme di rette ortogonali e ortonormali!).
4. Cos'è una conica? È una curva algebrica piano e reale del secondo ordine. Che significa? Che costituisce una figura nel polinomio. Che grado ha questo polinomio? Come si rapporta alle coordinate in X e Y? Come si identificano le coniche generali?

Ulteriori teoremi e definizioni

1. Scrive enunciato e dimostrazione di Kleinita (ho scritto Kremer e Kronecker Definizione di rango).
2. Cos'è la dimensione di uno spazio vettoriale? (è la cardinalità di una qualsiasi base di questo spazio).
3. Cosa dice il metodo degli scarti successivi. Definizione di regola di generatori.
4. Cosa dice l'enunciato del teorema di "nullità + rango"?
5. Cos'è un autovettore? E un autovalore? Come trovare autovettori date gli autovalori.
6. Come si scrive un sistema lineare in forma matriciale? Cosa vuol dire che un sistema lineare ha soluzioni solo?

Prove e dimostrazioni

1. Definizione di prodotto scalare e Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare. Cos'è una regola lineare?
2. Dimostrare che se una regola è legata è completamente lineare dei rimanenti. Teorema di Rouché-Capelli.
3. Cosa dice un sistema lineare ammette soluzione?
4. Cos'è un sottospazio vettoriale P(W)? Si ottiene tradizionalmente il punto dato.
5. Cos'è un sottogruppo vettoriale di dimensione = 1? Posizione reciproca di rette.
6. Condizione per cui due rette non appartengono allo stesso piano sono parallele.

Prove personali

1. Scrivere sistema lineare e come funziona l'eliminazione di Gauss? (Far vedere che l'eliminazione di Gauss non cambia il sistema).
2. Cosa dice il Teorema di Rouché-Capelli? Lo dimostra. Cos'è il range di una matrice?
3. Teorema di Kronecker...

Definizioni matematiche

1. Definizione di esse. Dimostrare che una conica è riducibile.
2. Quando una conica è una circonferenza?
3. Un piano e una retta in cosa si possono intersecare?