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DA COSA SI PARTE:
In un sistema spazio continuo di un corpo flessibile elastico lineare le equazioni finali in termini
della variabile di spostamento si esprimonocome segue:
(, )
dove L rappresenta l’operatore lineare strutturale, mentre le condizioni a contorno possono
essere, ad esempio, quelle derivanti dalla presenza di vincoli sulla struttura.
Questa rappresenta laformulazione forte del problema(EDP).
Passo allaformulazione deboledebole del problematramite la legge dei lavori virtuali:
dove lo spostamento virtuale deve essere compatibilecon tutti i vincoli (ad es, sia geometrici
δ
che naturali nel caso delle travi) della struttura.
Si introducono ora le variabili lagrangiane:
Si sostituisce nell'equazione dei lavori virtuali e si ottiene:
Quest’ultima equazione rappresenta un set di infinite equazioni differenziali ordinarie nel tempo a
coefficienti costanti.
METODO DI GALERKIN
Discretizzare vuol dire troncare la sommatoria presente nelle equazioni di Lagrange e il numero
stesso delle equazioni, o in altri termini, limitando ad un numero finito le variabili lagrangiane. Si
passa così dall’analisi di un continuo ad un problema in cui lo spazio è discretizzato.
Questo metodo di discretizzazione prende il nome dimetodo di Galerkin
, il quale, per
un’opportuna scelta delle funzioni che devonosoddisfare tutte le BC , diventa ilmetodo agli
ψ
elementi finiti
. Quindi, troncando la sommatoria nell’espressione2.32, si ottiene
un’approssimazione del campo di moto :
Di conseguenza il sistema di equazioni riportato nella 2.33, può essere riscritto nella seguente
forma compatta:
dove “ ” rappresenta il vettore (Nx1) dei carichiagenti sulla struttura, mentre M e K sono le matrici
di massa e rigidezza, entrambe avente dimensione (NxN).
La 2.35 è un set di equazioni differenziali ordinarie, a coefficienti costanti, del secondo ordine nel
tempo, con condizioni iniziali:
METODO DI RITZ
La condizione necessaria e sufficiente che debbono soddisfare le soluzioni di equilibrio di un
corpo elastico lineare soggetto a forze conservative (nel caso statico) prevede la stazionarietà
del funzionale :
= +
Assumo che la mia soluzione abbia forma:
()
dove le non dipendono più da .
n
Discretizzando il continuo, e quindi, considerando lo sviluppo troncato rappresentato nella 2.34, è
possibile riscrivere la condizione di stazionarietà espressa nella Eq. 2.38 rispetto alle coordinate
generalizzate
che si traduce, ora che J si è trasformato da funzionale a funzione a più variabili, nella seguente
relazione
rappresentante un sistema di n equazioni algebriche.
Si osserva che, avendo discretizzato ora il funzionale, le debbono soddisfare le sole condizioni
ψ
al contorno geometriche.
OSS: Per implementare il metodo di Galerkin è necessario scegliere delle funzioni di forma tali da
soddisfare tutte le condizioni a contorno, sia quelle geometriche che quelle naturali. Mentre, per
l’applicazione del metodo di Ritz, è sufficiente che queste funzioni soddisfino solo le condizioni a
contorno geometriche.
Descrivere ilmetodo agli elementi finiticome metododi discretizzazione di un problema spazio
continuosulla base della scelta delle funzioni diformae delle relative variabili Lagrangiane
(spostamenti nodali).
Discutere il significato delle funzioni interpolanti utilizzate nel metodo degli Elementi Finiti e la
relazione esistente tra il grado di tali funzioni con il numero di gradi di libertà dell'elemento finito
Troncando la sommatoria presente nelle equazioni di Lagrange e il numero stesso delle
equazioni, o in altri termini, limitando ad un numero finito le variabili lagrangiane si compie
un’operazione di approssimazione che consente di passare dall’analisi di un continuo ad un
problema in cui lo spazio è discretizzato, definendo così il metodo di Galerkin il cuiMetodo degli
Elementi Finitine costituirà un caso particolaresulla base di una scelta speciale delle variabili
lagrangiane e per un’opportuna scelta delle funzioni (interpolanti) che devono soddisfare tutte
ψ
le condizioni al contorno.
La combinazione lineare di queste funzioni descrivono il comportamento approssimato delle
variabili come spostamento, temperatura, o pressione all’interno di un elemento finito.
Il grado delle funzioni interpolanti è direttamente legato al numero di gradi di libertà
dell’elemento e determina la precisione dell’approssimazione.
Più è alto il grado delle funzioni interpolanti, più precisa sarà l’approssimazione della soluzione
all’interno dell’elemento. (Tuttavia ciò comporta un aumento dei GDL associati all'elemento il che
aumenta la complessità del calcolo numerico)
Tronco la seguente sommatoria
→
Di conseguenza il sistema di equazioni
può essere riscritto nella seguente forma compatta
Ad esempio, considero un problema spazio continuo di una trave di Eulero Bernoulli di lunghezza l,
dove l’incognita è lo spostamento verticale di ognuno dei suoi punti.
(
, )
0
Faccio un discretizzazione della trave, tale da dividerla in 6 elementi distinti (quindi N = 6).
Per il metodo degli elementi finiti è possibile rappresentare lo spostamento incognito (
, )
0
riferendosi alla 2.34 e scegliendo opportunamente le funzioni di forma . In particolare, queste
ψ
ultime devono avere valore unitario in corrispondenza di un nodo della struttura e valore nullo nei
nodi restanti.
(Il nodo di una struttura è in punto di interfaccia tra due elementi creati in seguito alla
discretizzazione spaziale della struttura stessa.)
In base alla 2.34, è possibile scrivere quanto segue
dove le sono le cosiddette “
funzioni tenda
”del metodo agli elementi finiti.
ψ
Con il metodo degli elementi finiti , è possibile attribuire un significato ben preciso alle variabili
lagrangiane. Infatti, in questo caso, la generica variabile q va a rappresentare il valore dello
n
spostamento verticale nel nodo x e cioè:
n
La sua configurazione deformata, cioè il luogo dei punti in cui lo spostamento verticale è
0
diverso da zero, viene evidenziata in rosso
Il candidato descriva le ipotesi di base della teoria della torsione delle strutture monodimensionali
introducendo la funzione incognita scalare funzione di Prandtl (, ( essendo le variabili
),
spaziali nella sezione della barra), pervenendo alla equazione finale nell’incognita (, e
)
definendo le relative condizioni al contorno
Discutere la struttura dellalegge costitutiva dellegame elastico lineareper un generico
continuo solido e si discuta inoltre il numero ed il significato delle costanti elastiche indipendenti
che ne possono determinare la natura anisotropa, ortotropa, isotropa etc…
Discutere la topologia del legame elastico lineare in un continuo tridimensionale omogeneo ed
isotropo. Discutere il numero delle costanti elastiche indipendenti ed il loro significato
Nella prova di trazione monoassiale effettuata in laboratorio, ad una forza di trazionesul
= σ
provino, ne corrisponde: σ
Una deformazione assialeε
=
Due deformazioni trasversali ;
ε =− ν
ε ε =− ν
ε
Tre scorrimenti angolari dati daγ = η ε
;
γ = η ε
;
γ = η ε
,
,
,
Possiamo quindi dedurre che uno sforzo unidirezionale provoca deformazioni in più direzioni
legate fra di loro per mezzo di una costante.
Eseguendo le restanti 5 prove di stress ottengo costanti elastiche.
6 · 6 = 36
A tal proposito posso generalizzare e scrivere:
Dove è detta matrice di compliance composta da36 costanti e tiene conto di tutte le
combinazioni di sforzi e deformazioni nelle tre direzioni spaziali.
In essa ritroviamo 3 costanti E e G , 6 costanti e e 18 costanti .
ν µ η
ii ij ij ij,ki i,jk
Questi coefficienti rappresentano:
mette in relazione lo sforzo assiale con la deformazione assiale
σ ϵ
i
i ii ii
mette in relazione lo sforzo di taglio con la deformazione angolare
σ γ
i
j ij ij
mette in relazione lo sforzo assiale con la deformazione trasversale
ν σ ϵ
ij ii jj
mette in relazione lo sforzo di taglio con la deformazione angolare
µ σ γ
ij,ki ki ij
mette in relazione lo sforzo di trazione /taglio , con la corrispondente
η σ σ
i,jk ii jk
deformazione angolare /assiale
γ ϵ
jk ii
In realtà, essendo la matrice simmetrica, il numero di costanti incognite si riduce a 21.
Nel caso di materiale ortotropo si avranno 3 piani di simmetria
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