Domande e Risposte complete - Probabilità e Statistica

1. Differenza tra 2 medie nella normale standardizzata
2. Funzione generatrice di momenti: def + proprietà
3. Probabilità condizionata
4. Stima di una proporzione + ellisse di confidenza
5. Funzione di ripartizione, proprietà + disegno (Bernoulli)
6. Teorema del limite centrale (TLC) + dimostrazione
7. Spazio di probabilità
8. Regressione lineare
9. Disuguaglianza di Cramer-Rao
10. Legge di Poisson e come deriva dalla Bernoulliana
11. Calcolare stimatore di massima verosimiglianza per distrib.
12. Test del X² (d'indipendenza e di adattamento)
13. Test d'ipotesi
14. Legge dei grandi numeri + dimostrazione
15. Disuguaglianza di Chebyshev + dimostrazione
16. Formula di Bayes
17. V.A. continue bidimensionali, densità congiunte e marginali
18. Teorema delle probabilità totali + dimostrazione
19. Varianza, covarianza e coefficiente di correlazione
20. Intervalli di confidenza per campioni gaussiani, definizioni, approssimazioni, derivazione dell'espressione
21. Analisi della Varianza

Differenza tra due medie nella normale standardizzata

X, Y due popolazioni

• X ∼ N(μ₁, σ₁²)
• Y ∼ N(μ₂, σ₂²)

due campioni:

• (X₁, X₂, ..., Xₙ)
• (Y₁, Y₂, ..., Yₘ)

X̄ₙ = (X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n

Ȳₘ = (Y₁ + Y₂ + ... + Yₘ) / m

Stimatori di μ₁, μ₂ per MLE

μ̂₁ - μ̂₂ = X̄ₙ - Ȳₘ ∼ N(μ₁ - μ₂, σ₁²/n + σ₂²/m)

Z = (X̄ₙ - Ȳₘ - μ₁ + μ₂) / √(σ₁²/n + σ₂²/m) ∼ N(0, 1)

Per gli intervalli di confidenza

P(|Z| < Z_α/2) = 1 - α

P(-Z_α/2 < (X̄ₙ - Ȳₘ - μ₁ + μ₂) / √(σ₁²/n + σ₂²/m) < Z_α/2) = 1 - α

P(X̄ₙ - Ȳₘ - Z_α/2√(σ₁²/n + σ₂²/m) < μ₁ + μ₂ < X̄ₙ - Ȳₘ + Z_α/2√(σ₁²/n + σ₂²/m))=[illegible]

σ₁², σ₂² non noti

Z = W = (X̄ₙ - Ȳₘ - (μ₁ - μ₂)) / √(S₁²/n + S₂²/m), S₁², S₂² varianze campionarie

W : molto complicata [illegible] σ = σ₁ - σ₂

• χ²ₙ₋₁ = (n-1) S₁² / σ₁²
• χ²ₘ₋₁ = (m-1) S₂² / σ₂²

=> χ²ₙ₊ₘ₋₂ = χ²ₙ₋₁ + χ²ₘ₋₁

tₙ = Z / √(χ²ₙ / n), tₘ₋₂ = Z / √(χ²ₘ / m)

tₙ₊ₘ₋₂ ∼ [illegible] √(n-1) S₁²/σ₁² + (m-1) S₂²/σ₂² √[illegible]

X̄ₙ - Ȳₘ - (μ₁ - μ₂) / √((n-1) S₁² + (m-1) S₂² / n₊ₘ₋₂ [illegible] √1/n + 1/m)

∼ tₙ₊ₘ₋₂

Stima di una proporzione + ellisse di confidenza

"Consideriamo un campione X₁, X₂, ..., X_n di somma n,

Per n grande per la legge dei grandi numeri, la

proporzione che vogliamo stimare coincide con la p

della variabile di Bernoulli."

Lo stimatore di MLE per la media è:

ς = ^{X₁ + X₂ + ... + X_n}/_n

S_n = ^{ς_n - μ}/_σ/√n, μ = pσ² = (1-p)

S_n = ^{ς_n - p}/_√(1-p)/n

P(|S_n| ≤ z_α/2) = 1-α ⇒ P(^{|ς_n - p|}/_√(1-p)/n ≤ z_α/2) = 1-α

=⇒ P(ς_n - z_α/2√(1-p)/n ≤ p ≤ ς_n + z_α/2√(1-p)/n) = 1-α = 0

P[(ς_n - p)² - p(1-p)/n * z_α/2² ≤ 0] = 1-α = 0

=⇒ P[(1 + ^z_α/2/_n)²p² - 2(ς_n + ^z_α/2/_2n)p + ς_n² ≤ 0] = 1-α = 0

eq ellisse = 0

(n + z²_α/2)p² - 2(ς_n * n + ^z2_α/2/₂)p + ς_n² * n = 0 = ⇒

p_1,2 = p₁, p₂ = 0 P ∈ [p₁, p₂] con p = 1-α

L'ampiezza dell'ellisse dipende direttamente da α e

indirettamente da n

Calcolo varianze

Cov(_Ȳn, β̂) = Cov(₁/_nΔ∑_ⁿi=1Y_i, ₁/_Δ∑_ⁿi=1(x_i-x̄_n)Y_i) =

= ₁/_nΔ∑_i,j=1ⁿ(x_j-x̄_n)Cov(Y_i,Y_j) = ₁/_nΔ∑_i=1ⁿ(x_i-x̄_n) Var(Y_i) =

= _σ²/_Δn∑(x_i-x̄_n) = 0     => scorrelati

Var(β̂) = Var(₁/_Δ∑_i=1ⁿ(x_i-x̄_n)Y_i) = ₁/_Δ²∑_i=1ⁿ(x_i-x̄_n)²σ² = _σ²/_Δ²

Var(α̂) = Var(_Ȳn-x̄_nβ̂) = Var(_Ȳn) + x̄_n²Var(β̂) = _σ²/_n + _x̄n²/_Δσ² =

= _σ²/_nΔ(Δ + x̄_n²n) = _∑x²/_nΔσ²

Conclusione che

β̂ ∼ N(α, _σ²/_Δ) , α̂ ∼ N(β, _∑x_i²/_nΔ σ²)

Test del X²

"Il test del X² è un test di verifica d'ipotesi che utilizza la distribuzione del X² per decidere o meno se rifiutare l'ipotesi nulla".

• Indipendenza
• Il calcolo del X² in un test statistico non parametrico, serve per verificare se la differenza tra frequenze osservate n_ij e frequenze attese N_ij di due caratteri sia dovuto al caso o alla provenienza e al tipo del campione estratto. Il test consiste nel sottoporre a verifica H₀ contro H₁:
• H₀ : i caratteri sono indipendenti (caso)
• H₁ : i caratteri sono dipendenti

Aliamo una tabella che presenta le frequenze osservate n_ij e le frequenze marginali

Calcoliamo le frequenze attese con N_ij = (n_i . n_j) / n

Calcoliamo i gradi di libertà v = (r - 1)(c - 1)

Calcoliamo il X² = ∑_i=1^r ∑_j=1^c (n_ij - N_ij)² / N_ij

Per accettare o rifiutare H₀ :

1. si calcola il p-value = P(S_n ≥ S_n | H₀ vera)
• p > ½ - test non significativo => non rifiuto H₀
• p ≤ ½ => test significativo => H₀ rifiutata ½ può essere α
2. rifiuto H₀ se X² > X²_α

16) Formula di Bayes

• probabilità condizionata

P(B|A) = _{P(B ∩ A)}/^P(A) = _{P(A|B) P(B)}/^P(A)

spesso la formula di Bayes viene usata in combinazione con il teorema delle probabilità totali.

Data una partizione B_i, i = 1, 2, ..., n di A

P(B_i|A) = _{P(A|Bi) P(Bi)}/^P(A) = _{P(A|Bi) P(Bi)}/^{∑_i=1n P(A|B_i)P(B_i)}