Dimostrazioni complete di Analisi 1

Allora esiste tale che

lim () = −∞ lim () = +∞

Supposti e

→+∞ →−∞ ∈ ∀ < : () > 100

Scelto un numero a caso (100), esiste per il quale

∈ ∀ > : () < −100

Allo stesso modo esiste per il quale

[, ]

Applichiamo il teorema all’intervallo

100 = () > 0 > () = −100

è continua e

() ()

Dunque e sono discordi (, )

∈ ) ( = 0

Le ipotesi del teorema sono verificate, quindi esiste tale che

0 0

45. Dimostrazione del secondo corollario del teorema dell’esistenza degli zeri

() () =

Se è un polinomio di grado dispari, allora ha almeno uno (ossia ha almeno una radice)

2+1 2

() = + + ⋯ + ≠ 0

Sia 0 1 2+1 0

> 0

Supponiamo 0 lim () = +∞ lim () = −∞

Questo comporta che e

→+∞ →−∞

Da qui ci ricolleghiamo al corollario 1

Questo non vale per i polinomi di grado pari perché per esempio

2

() = + 1

lim () = +∞

→+−∞

46. Dimostrazione del terzo corollario del teorema dell’esistenza degli zeri

[,

, ], , ∈

Siano continue su con ) )

() < () () > (), ∈ (, ) ( = (

Se e allora esiste tale che

ℎ() = () − ()

Sia continua

ℎ() = () − () < 0

ℎ() = () − () > 0 (,

∈ ) ℎ() = 0,

Questo implica l’esistenza di un tale che per il teorema dell’esistenza degli zeri.

) )

= ( = (

Quindi posto abbiamo

0 0 0

47. Dimostrazione del teorema dei valori intermedi

[,

], , ∈ () ()

Sia continua su assume tutti i valori compresi fra e

() = ()

Se il risultato è banale.

() > () () > > ()

Supponiamo e un qualsiasi punto tale che

() = ≥ ≥

Sia per ogni

() < () = () > () =

e ) )

∈ (, ) ( = (

Quindi per il corollario 3 del teorema dell’esistenza degli zeri esiste tale che

0 0 0

48. Dimostrazione del teorema della continuità della funzione inversa

Sia continua e invertibile su un intervallo

−

= (),

Sia allora è continua su

Applichiamo questo risultato alle funzioni inverse delle funzioni elementari

 2+1

: |−→ è continua su R

1

−1

: |−→ è continua su R

2+1 1

2 −1 −1 [0,

() )

: |−→ ≥ 0; = ( = +∞)

Restringiamo il codomio a ;

2

1

−1

: |−→ è continua sul suo dominio

2

 −1 [0,

() = ; = log +∞)

che è continuo su

 −1 −1 [−1,1]

sin cos

e sono continue su

 −1

tan è continua su R

49. Dimostrazione che se è derivabile in allora è continua in

)

lim () = (

Vogliamo dimostrare che 0

→ 0 )

()−( 0

)) ( ))

lim − ( = lim ∗ −

(() (

0 0

−

→ → 0

0 0

)

()−( 0

lim ( )

è un rapporto incrementale, quindi la derivata di in 0

−

→ 0

0 ) )

()−( ()−(

0 0

( ))

lim ∗ − = lim ( )∗0 =0

(

Però 0

− −

→ →

0 0

0 0

′ ′ ′

( ( ) ( )( ) ) ( )

∗ ) = + (

50. Dimostrazione che (formula di Liebniz)

,

Siano derivabili in 0

Dimostriamo la formula valendoci del rapporto incrementale

)( )

( +ℎ)( +ℎ)−(

0 0 0 0

lim ℎ

ℎ→0 )(

( + ℎ)

Aggiungo e sottraggo 0 0

1 )( ))

lim + ℎ)( + ℎ) − ( =

((

0 0 0 0

ℎ

ℎ→0 1 )( )( )( ))

lim + ℎ)( + ℎ) − ( + ℎ) + ( + ℎ) − (

((

0 0 0 0 0 0 0 0

ℎ

ℎ→0

Raccolgo e semplifico

1 ))( ))( ))

lim ((( + ℎ) − ( + ℎ) + + ℎ) − ( =

((

0 0 0 0 0 0

ℎ

ℎ→0 )) ))

+ℎ)−( +ℎ)−(

(( ((

0 0 0 0 ))

lim ( + ℎ) + (

( 0 0

ℎ ℎ

ℎ→0 ),

lim ( + ℎ) = (

Sapendo che perché è continua e derivabile in , possiamo semplificare

0 0 0

ℎ→0 )) ))

+ℎ)−( +ℎ)−(

(( ((

0 0 0 0

scrivendo come derivate e

ℎ ℎ

)) ))

+ℎ)−( +ℎ)−(

(( (( ′ ′

0 0 0 0 )) ( )( ) ) ( )

lim ( + ℎ) + ( = + (

( 0 0 0 0 0 0

ℎ ℎ

ℎ→0 ()

|−→

51. Teorema della derivabilità di

Sia derivabile, e quindi continua, in . Possiamo applicare a il teorema della permanenza del segno,

> () ≠ − < () < +

che dice che esiste tale che se

()

|−→

Quindi è definita e ha senso calcolarne la derivata

)−( )

1 1 1 1 ( +ℎ) 1 ( +ℎ)−(

0 0 0 0

Lim ( − ) = lim ( ) = lim (− ) =

) ) )

ℎ ( +ℎ) ( ℎ ( +ℎ)( ℎ ( +ℎ)(

ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0

0 0 0 0 0 0

1 1 )))

lim ∗ + ℎ) − (

(− ((

0 0

)

ℎ ( +ℎ)(

ℎ→0 0 0

1

− ℎ

non dipende da quindi lo posso portare fuori dal limite

)

( 0

1 1 1 )))

− lim ∗ + ℎ) − ( =

( ((

0 0

)

( ℎ ( +ℎ)

ℎ→0

0 0 ))

+ℎ)−(

((

1 1 0 0

= − lim ( ∗ )

)

( ( +ℎ) ℎ

ℎ→0

0 0 ))

+ℎ)−(

((

1 1 ′

0 0 ( )

→

e è scrivibile come 0

)

( +ℎ) ( ℎ

ℎ→0

0 0 ′

)) ( )

+ℎ)−(

((

1 1 1 1

′

0 0 0

( )

− lim ( ∗ ) = − ∗ ∗ =−

0 2

) ) )

( ( +ℎ) ℎ ( (

ℎ→0 ))

((

0 0 0 0 0

()

|−→

52. Dimostrazione del corollario della derivabilità di

() ≠

Siano e derivabili in e sia

′ ′

( )( )−( ) ( )

( )

( ) =

Allora è derivabile in e

))

((

)

( 1

0 )

= ( ∗ . Quindi per la formula di Liebniz

0

) )

( (

0 0

1 1 1

′

) ( ) )

(( ∗ ) = + ( ( ) =

0 0 0

) ) )

( ( (

0 0 0

′ ′ ′ ′ ′

( ) ( ) ( )( ) ( )( )− ( )( )

1

′ 0 0 0 0 0 0 0 0

( ) )

+ ( ( ) = + =

0 0 2 2 2

) )

( (

)) )) ))

(( (( ((

0 0

0 0 0

53. Dimostrazione della regola della catena )

( =

Sia definita in un intorno di e definita in un intorno di

°

Se è derivabile in e derivabile in , allora è derivabile in ed è uguale a

′ ′ ′

(°) ( ) )) ( )

= ((

°,

Dobbiamo calcolare la derivata di ossia:

)

°( +ℎ)−°( 1

0 0 )))

lim = lim ((( + ℎ)) − ((

0 0

ℎ ℎ

ℎ→0 ℎ→0

) ), )

( = (ℎ) = ( + ℎ) − ( ( + ℎ) = (ℎ) + ( =

Dall’enunciato , chiamo quindi

0 0 0 0 0 0

Sostituisco nel limite

1 1

))) ))

lim ((( + ℎ)) − (( = lim (( + (ℎ)) − (

0 0 0 0

ℎ ℎ

ℎ→0 ℎ→0

(ℎ),

Moltiplico e divido per per ottenere due rapporti incrementali

))

(( +(ℎ))−(

1 (ℎ) (ℎ) 0 0

))

lim (( + (ℎ)) − ( ∗ = lim ∗

0 0

ℎ (ℎ) ℎ (ℎ)

ℎ→0 ℎ→0

(ℎ)

Esplicito nel primo fattore della moltiplicazione

))

(( +(ℎ))−(

)

( +ℎ)−( 0 0

0 0

lim ∗

ℎ (ℎ)

ℎ→0 )

(ℎ) = ( + ℎ) − (

Osservo che è continua su perché derivabile in quel punto. Quindi:

0 0 0

)

lim (ℎ) = lim ( + ℎ) − ( = 0

0 0

ℎ→0 ℎ→0

Da questo deduco che posso effettuare un cambiamento di variabile e mettere il secondo fattore sotto

forma di rapporto incrementale:

))

(( +(ℎ))−( ))

+)−(

((