Esercizi su matrici e determinanti

Problemi con matrici

Parte 1: Trovare k e g

Stando date le matrici:

A = ^{[2 -3]}_{[k 0]}

B = ^{[4 2]}_{[-1 5]}

C = ^{[8 -4]}_{[g 5]}

Trovare k e g per cui vale 2A + B = C

Calcoliamo 2A:

2A = ^{[4 -6]}_{[2k 0]}

Calcoliamo 2A + B:

2A + B = ^{[4 -6]}_{[2k 0]} + ^{[4 2]}_{[-1 5]} = C = ^{[8 -4]}_{[g 5]}

Equazioni risultanti:

• 2k - 1 = g
• 2k = 10
• k = 5

Parte 2: Possibilità di prodotto

Si indichi con r x s la dimensione di A e k x t la dimensione di B. Stabilire nei seguenti casi se è possibile effettuare il prodotto C = A ・ B e in caso affermativo specificare la dimensione di C:

• (3 x 3), (3 x 6) → 3 x 6
• (3 x 4), (3 x 7) NO
• (4 x 2), (2 x 2) → 4 x 2
• (2 x 4), (4 x 2) → 2 x 2     AB ≠ BA

Parte 3: Operazioni con matrici specifiche

Matrice A:

A =
[ -1 0 2 ]
[ 3 -2 4 ]
(2x3)

Matrice B:

B =
[ 6 1 ]
[ 0 -1 ]
(2x2)

Matrice C:

C =
[ 1 2 ]
[ 0 5 ]
[ -2 1 ]
(3x2)

A + B: NO

Calcolo di BA:

BA =
[ -6+3 0-2 2+4 ] =
[ -3 2 -4 ]

A • C → (1,1)

Calcolo di A • C:

A • C =
[ -1+0-4 -2+0+2 ] =
[ -5 0 ]
[ 3+0-8 6-1+4 ] =
[ -5 0 ]

C • B → 3x2

Invertibilità della matrice B

Discutere al variare di k per l'invertibilità di B:

B =
[ k    3k    0 ]
[ -k-1   4k+4   -2k-2 ]
[ 2k²   0    k² ]

Applicando Sarrus per il calcolo del determinante:

det B = det
[ k    3k    0 ]
[ -k-1   4k+4   -2k-2 ]
[ 2k²   0    k² ] = k det
[ 1    3   0 ]
[ -(k+1)   4(k+1)   -2(k+1) ]
[ 2k²   0    k² ] = k(k+1) det
[ -1    3   0 ]
[ -1    4   -2 ]
[ 2k²   0    k² ]

Proprietà del determinante:

= k((k+1)k²(det [[1 3 0] [-1 4 -2] [2 0 1]])) = -5k³(k+1)

B ammette inversa se det B ≠ 0 ed k ≠ 0 k ≠ -1