Esercizi su matrici e determinanti

1) Stando date le matrici A = ^{[2 -3]}_{[k 0]} B = ^{[4 2]}_{[-1 5]} C = ^{[8 -4]}_{[g 5]}

Trovare k,g per cui vale 2A + B = C

2A = ^{[4 -6]}_{[2k 0]}

2A + B = ^{[4 -6]}_{[2k 0]} + ^{[4 2]}_{[-1 5]} = C = ^{[8 -4]}_{[g 5]}

2k - 1 = g    2k = 10    k = 5

2) Si indichi con r x s la dimensione di A e k x t la dimensione di B. Stabilire nei seguenti casi se è possibile effettuare il prodotto C = A ・ B e in caso affermativo specificare la dimensione di C

a) (3 x 3), (3 x 6) → 3 x 6

b) (3 x 4), (3 x 7) NO

c) (4 x 2), (2 x 2) → 4 x 2

d) (2 x 4), (4 x 2) → 2 x 2    AB ≠ BA

3)

A = [ -1 0 2 ] [ 3 -2 4 ] (2x3)

B = [ 6 1 ] [ 0 -1 ] (2x2)

C = [ 1 2 ] [ 0 5 ] [ -2 1 ] (3x2)

A + B NO

BA = [ -6+3 0-2 2+4 ] = [ -3 2 -4 ]

A • C → (1,1)

A • C = [ -1+0-4 -2+0+2 ] = [ -5 0 ] [ 3+0-8 6-1+4 ] = [ -5 0 ]

C • B → 3x2

Discutere al variare di k per l'invertibilità di

B = [ k    3k    0 ] [ -k-1   4k+4   -2k-2 ] [ 2k²   0    k² ]

Applicando Sarrus x il calcolo dei det

det B = det [ k    3k    0 ] [ -k-1   4k+4   -2k-2 ] [ 2k²   0    k² ]

= k det [ 1    3   0 ] [ -(k+1)   4(k+1)   -2(k+1) ] [ 2k²   0    k² ]

= k(k+1) det [ -1    3   0 ] [ -1    4   -2 ] [ 2k²   0    k² ]

Proprietà del determinante

= k((k+1)k²(det [[1 3 0] [-1 4 -2] [2 0 1]])) = -5k³(k+1)

B ammette inversa se det B ≠ 0 ed k ≠ 0 k ≠ -1