Costruzione di macchine

T

tramite: = + ˛ ◊ ≠

d˛

s d s

˛ d ◊ P O

P T

, nel piano ovviamente si ha che = = = 0, perciò si ha che:

xy dw d◊ d◊

T x y

Q R Q R Q R

0 ≠

du x x

T P O

c d c d c d

c d c d c d

= + (1.1)

c d c d c d

0 ◊

d˛

s ≠

dv y y

c d c d c d

P T P O

a b a b a b

0 0

d◊ z

Q R S T

du î ĵ k̂

T

c d W X

c d W X

= + det (1.2)

c d W X

0 0

dv d◊

c d W X

T z

a b U V

0 0

≠ ≠

x x y y

P O P O

= (du ) ([y ], ]) (1.3)

T T

≠ ≠ ≠[x ≠

, dv d◊ y x

T T z P O P O

, perciò si trova il campo degli spostamenti:

Y

_

_ = (y )

] ≠ ≠

du du d◊ y

P T z P O

_

_ = + (x )

[ ≠

dv dv d◊ x

P T z P O 5

CAPITOLO 1. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

Dato che si vuole trovare un centro di (istantanea) rotazione bisogna imporre che quest’ultimo non possa

muoversi (d˛ = 0

), così facendo si ottiene:

˛

s cir Y

_

_ = +

] dv

≠

x x

T

cir O

d◊

_

_ = +

[ du

y y

T

cir O

d◊

1.4.1 CIR dei vincoli

• L’incastro non ammette CIR, è ben vincolato;

• La cerniera ammette un CIR nel suo polo di rotazione;

• Il carrello ammette una retta di CIR perpendicolare alla sua direzione di scorrimento e passante per

il suo polo di rotazione;

• Pattino e manicotto ammettono uno (due) CIR a distanza infinita, perpendicolari alla loro direzione

consentita di scorrimento;

• Il bipattino ammette infiniti CIR a distanza infinita in qualunque direzione (combinazione lineare

di due rette perpendicolari).

1.5 Studio della labilità

Nel piano, due rotazioni di centri e ampiezze sono equivalenti ad un’unica rotazione

O , O ◊ , ◊

1 2 1 2

di ampiezza + e di centro dir (O ) posto ad una distanza da e inversamente

œ ≠

◊ ◊ C O O O

1 2 1 2 1 2

proporzionale rispettivamente a e .

◊ ◊

1 2

1.5.1 Singoli corpi rigidi

Un singolo corpo rigido è statico quando non è presente un CIR in comune a tutti i suoi vincoli. Un

insieme di corpi rigidi vincolati internamente in modo che GDL=GDV+3 si comporta come un solo corpo

rigido.

6 1.5. STUDIO DELLA LABILITÀ

1.5.2 Bielle cinematiche

Un corpo rigido vincolato ai suoi estremi da due vincoli doppi (uno per ogni estremo) è cinematicamente

equivalente ad un carrello che si collega con il resto della struttura:

1.5.3 Vincoli equivalenti

Quando ci sono più vincoli che agiscono sullo stesso corpo rigido è possibile sostituirli, se possibile, con

un vincolo che abbia come CIR il CIR in comune a tutti i vincoli che si vogliono semplificare:

1.5.4 Mensole cinematiche

Una mensola cinematica è un corpo rigido che si prolunga oltre ai vincoli senza nessun supporto esterno;

essa è paragonabile ad una serie di incastri (rispetto alla parte vincolata di corpo rigido) e perciò si può

rimuovere: 7

CAPITOLO 1. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

1.5.5 Appendici isostatiche

Un’appendice isostatica è un corpo rigido vincolato ad un estremità da un vincolo doppio e all’altra da

un vincolo singolo (ha perciò 3 GDV).

Se i due vincoli non hanno nessun CIR in comune l’appendice può essere rimossa in quanto, di per sé,

non influenza il comportamento del resto della struttura:

1.5.6 Archi a tre cerniere

Un arco a tre cerniere è composto da due corpi rigidi alle cui estremità esterne sono posizioni due vincoli

doppi (uno per ogni estremità), inoltre tra i due corpi rigidi è necessaria la presenza di un vincolo doppio

che si lega soltanto a quei due corpi rigidi.

Se i tre CIR dei vincoli non sono tra di loro allineati l’arco risulta statico e può essere rimosso:

8 1.5. STUDIO DELLA LABILITÀ

1.5.7 Anelli chiusi isostatici

Gli anelli chiusi isostatici sono strutture di più corpi rigidi che si comportano come un unico corpo rigido:

in questi casi il corpo rigido risultante continuerà ad essere sottoposto ai vincoli a terra ed ai vincoli con il

resto della struttura, ma le singole componenti dell’anello non avranno possibilità di movimento reciproco.

Le due tipologie di anelli chiusi isostatici sono:

1. Tre corpi rigidi internamente connessi da tre vincoli doppi (non dev’essere presente allineamento tra

i tre CIR per non provocare labilità interne):

2. Due corpi rigidi internamente connessi da un vincolo doppio ed un vincolo singolo (non devono

essere presenti CIR in comune ai due vincoli per non provocare labilità interne): 9

2

Equilibrio del corpo rigido

2.1 Reazioni vincolari

Le strutture che studiamo sono in equilibrio, perciò non subiscono accelerazioni (anche angolari, ad

esempio un albero di trasmissione di potenza ha velocità angolare costante).

Serve quindi che: Y

_

_ = 0

_

F

_ x

_

_

_

_

_

_ Y

= 0

_

F

_ y

_ _

_ _ = 0

_ _

F

_ _ x

_ _

_ _

= 0

] ]

F z , ed in due dimensioni = 0

F y

_ _

_ _

= 0

_ _

M

_ _

x

_ _

_ _ = 0

_ [

M

_ z

_

_ = 0

_

M

_ y

_

_

_

_

_

_ = 0

[

M z

Se le strutture fossero isostatiche le reazioni vincolari si potrebbero sempre calcolare tramite le equazioni

d’equilibrio, se invece esse fossero iperstatiche ci sarebbero troppe incognite e troppe poche equazioni

disponibili.

Se una struttura è in equilibrio ogni sottostruttura dev’essere necessariamente in equilibrio, e viceversa.

I vincoli da noi considerati saranno:

• Lisci: i movimenti e/o le rotazioni consentite avvengono senza attrito;

• Bilateri: il verso non è importante ai fini del movimento lungo le direzioni consentite;

• Perfetti: possono reagire con forze e/o momenti di modulo, all’occorrenza, infinito.

Tramite il principio di azione e reazione, per studiare le reazioni vincolari, bisognerebbe “aprire” la

struttura isolando tutte le travi e tutti i vincoli interni: si nota però che non è necessario isolare i vincoli

interni a meno che non siano presenti forze esterne applicate direttamente ad essi.

10 2.2. BIELLE STATICHE

A volte può essere comodo, per avere equazioni dei momenti con meno addendi, scegliere come polo il

punto in comune alle direzioni di più reazioni vincolari (indicato nell’immagine con O):

2.2 Bielle statiche

Si considera “biella statica” (è un concetto diverso da quello di biella cinematica) una trave vincolata ai

suoi due estremi da due cerniere (interne o a terra), inoltre non devono essere presenti forze o momenti

esterni applicati lungo la biella.

La caratteristica fondamentale di questi corpi rigidi è che trasmetteranno soltanto forze assiali, infatti una

generica coppia di reazioni in direzione e può essere descritta anche tramite due forze in direzione

û û

x y

e (facendo le equazioni dei momenti agli estremi della biella le componenti normali devono per

û û

N T

forza annullarsi).

2.3 Carichi distribuiti

Non sempre le strutture sono soggette a carichi concentrati, a volte sono presenti carichi distribuiti (ad

esempio la forza peso della neve sul tetto); essi sono modellizzati tramite funzioni (x) e la loro unità di

˛

q

misurà sarà in [N/m].

Il valore dell’infinitesima forza si può calcolare tramite:

=

dF q(x) dx 11

CAPITOLO 2. EQUILIBRIO DEL CORPO RIGIDO

2.3.1 Equipollenza dei carichi distribuiti

Per studiare le reazioni vincolari è necessaria la presenza di soli carichi concentrati, perciò bisogna trovare

un carico concentrato equipollente al carico distribuito.

Per trovare il modulo del carico concentrato equipollente si utilizza:

⁄ ⁄ L

= =

F dF q(x) dx

0

“

Ovviamente però tale forza genererà un momento, infatti:

⁄ ⁄ L

= = generalmente = 0

”

M x dF x q(x) dx

0

“

, perciò per “decidere” la posizione in cui applicare il carico concentrato equipollente bisogna utilizzare la

formula del momento di trasporto considerando come incognita il braccio dello spostamento (applicando

inizialmente la forza in = 0).

x

2.3.1.1 Carico distribuito costante (rettangolare)

Nel caso in cui := il carico concentrato equipollente avrà modulo = e verrà posizionato nel

q(x) q, F qL

baricentro del “rettangolo” (ossia ad =

x L/2):

2.3.1.2 Carico distribuito lineare (triangolare)

Nel caso in cui := il carico concentrato equipollente avrà modulo = (qL)/2 e verrà posizionato

q(x) q x, F

nel baricentro del “triangolo” (ossia ad = (2L)/3):

x

12 3

Azioni interne

3.1 Definizione delle azioni interne

Sotto l’ipotesi di modellizzare la struttura con travi rappresentabili come una traiettoria a cui si associa

una sezione e “creando” le travi posizionando il baricentro della sezione sulla traiettoria, lo studio delle

azioni interne serve a calcolare la distribuzione dei carichi (delle forze, non degli sforzi) all’interno della

struttura.

Proprio perchè se l’intera struttura è in equilibrio ogni sotto-struttura lo deve essere, allora “spezzando”

una trave entrambi i due segmenti devono essere in equilibrio.

Immaginando di dividere in due una trave (in corrispondenza di un ideale incastro interno) verranno

trasmesse forze e momenti fino a bloccare tutti i gradi di libertà (6 reazioni in 3d, 3 reazioni in 2d):

Nel caso tridimensionale si nota che la generica forza ed il generico momento trasmessi all’interno

F M

della trave si possono scomporre in componenti normali alla sezione e tangenziali alla stessa;

rispettivamente si avrà l’assiale ed il momento torcente (torcente perchè ha la stessa direzione

N M t

dell’asse della trave), i tagli , ed i momenti flettenti , .

T T M M

zx zy x y

13

CAPITOLO 3. AZIONI INTERNE

Nel caso bidimensionale sono “trasmissibili” soltanto tre quantità:

• L’azione assiale convenzionalmente positiva se tende a trazionare il concio;

N

• L’azione di taglio convenzionalmente positiva se tende a far girare il concio in senso orario;

T

• Il momento flettente convenzionalmente positivo se tende le fibre tese del concio (rappresentate

M f

tratteggiando un lato del tutto a sce