Corso di elettromagnetismo

Forza Gravitazionale

È una forza che agisce a distanza ed è esclusivamente di natura attrattiva. Infatti questo fenomeno porta al concetto di campo

Fg = - (G m₁ m₂) / (R₁₂)²

Consideriamo la configurazione:

In questo caso la massa m₁ è una sorgente che determina l'attrazione della massa m₂. Inoltre il corpo m₁ genera un campo gravitazionale tra:

gR = - (G m₁) / R²

allora

Fg₁₂ = (G m₁ m₂) / (R₁₂)² = gR m₂

mentre

Fg₂₁ = (G m₂ m₁) / (R₂₁)²

Da ciò deduciamo che:

Fg₁₂ = Fg₂₁

Dunque il corpo m₁ genera un campo gravitazionale:

gR = (G m₁) / R²

Fg₁₂ = gR · m₁

Inoltre il corpo m₂ è ed è trasportato dalle cariche q₁ e q₂. Se queste due cariche sono poste ad una certa distanza reciproca tra esse ci sarà un’area elettrica, oltre che la sua gravitazionale.

Forza Elettrica - Forza di Coulomb

È una forza che può essere sia attrattiva che repulsiva. La forza di carica elettrica può assumere due polarità: positiva e negativa.

Legge di Coulomb

Coulomb afferma che la forza elettrica esercitata da un corpo carico su un secondo corpo carico dipende direttamente dal prodotto delle due cariche e inversamente dal quadrato della distanza fra esse.

Dove

ε₀ = costante dielettrica del vuoto = 8.854 * 10^-12

• Legge di Coulomb in forma vettoriale: La forza, essendo direzionata è una grandezza vettoriale. Nel caso della legge di Coulomb la verso della forza è sempre lungo la retta delle due cariche elettriche. Se consideriamo il caso che il corpo 2 esercita sul corpo 1 otteniamo:
F₁₂ = (1/4πε₀) * (q₁q₂ / (R₁₂)²)

Campo Elettrico

La prima carica genera un campo elettrico e la seconda interagisce con tale campo. Simmetricamente, la seconda carica genera un campo elettrico e la prima interagisce con tale campo. Il problema si traduce però in due problemi separati:

1. q₁ = carica sorgente
2. q₂ = carica soggetta
E₂ = (1 / 4πε₀R²) * q₁
3. q₁ = carica soggetta
4. q₂ = carica sorgente
F_e1 = (1 / 4πε₀R²) * q₁q₂ = E₂ * q₁

Campo elettrico di cariche puntiformi

Si prenda una carica q₁ e una carica q₂.

Considero un generico punto P di osservazione in cui calcolo il campo elettrico totale.

dove R, R₁ e R₂ sono rispettivamente i vettori posizione di P, q₁ e q₂.

Nel punto P il campo elettrico E₁ creato dalla carica q₁

E₁ = q₁(R-R₁) / 4πε(R-R₁)³

In modo analogo il campo E₂ generato da q₂ è pari a:

E₂ = q₂(R-R₂) / 4πε(R-R₂)³

Il campo elettrico totale può essere calcolato attraverso il principio di sovrapposizione degli effetti:

E = E₁ + E₂ = q₁(R-R₁) / 4πε|R-R₁|³ + q₂(R-R₂) / 4πε|R-R₂|³

Generalizzando, in caso di N cariche puntuali:

E = 1/4πε ∑_i=1^N q_i(R-R_i)/|R-R_i|³

• Se prendo una carica nell’origine degli assi, questa produce un campo radiale

E = R q / 4πεR²

Differenza di potenziale

Dati due punti P₁ e P₂

La differenza di potenziale tra questi due punti si ottiene integrando la formula di Gauss tra P₁ e P₂:

V₂ = -∫ E ⋅ dl = ∫ dV = ∫_P1^P2 E ⋅ de

dove V_a e V_a sono rispettivamente il potenziale nei punti P₁ e P₂.

La potenza elettrica è indipendente dal percorso tra P₁ e P₂.

Per ottenere la differenza di potenziale in una carica sferica si considera fissare in modo conveniente come punto di riferimento l'infinito, e quindi si attribuisce tensione zero, arrivando al valore massimo che mi rappresenta l'idea sorgente, e parto dal valore potenziale minore.

Perciò questo punto di riferimento viene scelto all'infinito.

V(P) = V₂ - V_a = V₂ = ∫^∞_P E ⋅ de

Approssimare la carica nell'origine.

P(R, θ, ϕ)

E = -CR q/4πεR²

dE = -CRdR =>

=> V(P) = -∫ E ⋅ de = -∫_∞^P(-CRq/4πεR²) dR =>

=> V(P) = -q/4πε ∫_R dR

= -q/4πε ∫_∞^P( 1/R) =>

= q/4πε[1/R₀ - 1/R_∞]

= q/4πεR_∞ - R₀

Man mano che mi allontano dall'origine sorgente il campo è quasi nullo.

LEGGE DI JOULE

Se ora consideriamo la potenza dissipata in un conduttore in presenza di un campo elettrico E:In una placca contenenti solo elettroni e dall’altra solo alcune lacune, con densità di carica volumetrica rispettivamente, Ne, pvr.

La carica degli elettroni e delle lacune contenute in un elemento di volume ΔV è:

qe = Ne ΔV,   qR = pVR ΔVLe forze elettiche agenti su qe e qR sono:

fe = qe E = Ne ΔV E     carica totale elettroniFR = qR E = pVR ΔV E   carica totale lacune

Il lavoro svolto dal campo elettrico per spostare qe di un certo ΔRe e qR di un certo ΔR R è pari a:ΔWe = ΔRe + ΔWe = fe ΔRe + fR ΔR Rmentre la potenza P dissipa come la variazione di energiadell’unità di tempo, è pari a:

ΔP = ΔW / Δt = fe ue   u e   ΔRe      = fe ue + fR UR = Ne ue ΔVUE + pVR ΔVE UR   -metto in evidenza=> ΔP - ΔVE / (Ne UE + pVR UR) = ΔVEJ / J

Perciò dalla legge di Ohm J = G*E ottengoΔP - ΔVE (GE) = ΔVG‖E‖²Ora calcolo la potenza dissipata totale integrando

P = ∫ ∫ ∫ G ||E||² dv = LEGGE DI JOULE    ⇓ P = J² R [W]

Teorema

dovuto totale compiuto è pari a:

W = ∫ dw = ∫₀^q q dq' = ∫₀^q q dq =

= ₁/² q²/_C = ₁/² C ( Q²/_C )

Da Q = q W

Q² = C V² W = ₁/² C V² = [J]

Nel condensatore a piastre piane e parallele :

C = ε_r ε₀ l = l

W = ₁/² C V² = ₁/² C [C/V]

Condensatori in parallelo

Due condensatori sono collegati in parallelo se su entrambe si verifica la stessa differenza di potenziale.

La carica totale è data dalla somma delle cariche elettriche presenti su ciascun condensatore :

C₁ = _Q/_V = => Q = C V

Q = C₁ V

Q_TOT = Ceq V = _NΣ_i=1 C_i

Legge di Ampere

dΦ = Σdq

dΦ x r^2 (cosΘ) x dΩ =

= Φ senΘ dΘ

dH = _I/^{4π Σdq}/_R² =>

= _I/^4π ∫₀^l (Σdq) dΩ

c = RsenΘ => R = c/senΘ

c = 2π a0 => θ = π – Θ => dΘ = dΦ =>

cosΘ = _c/^R = c/(R senΘ)

cosΘ = c/R – c/senΘ

H – Φ _I/^4π ∫₀^Θ2 (cosΘ senΘ)/

sec²Θ – sec²Θ secΦ dΘ =

senΘ/cosΘ dΘ = Φ _I/^4π (cosΘ dΘ) =>

=> H = Φ _I/^4π (– cosΘ2 + cosΘ1)

• cosΘ1 = _c/^√(z2+(R2)) ; cosΘ2 = cos(π – Θ2) =>

= cosΘ1 – cosΘ2 – 2cosΘ - 2z ^R – 1 =

=> cosΘ1 + cosΘ2 – 2cosΘ = 2z/R – 1 =

H = Φ _I/^4π – 2Φ _I/^√(4z2+e2) =

^{Φ I}/_2π = ^I/_2π

Se ℓ è molto più grande di c

l ~ _ℓ/^c ~ l =, I ≠ 0 Φ _I= ^I/_2π

I = _I - Φ de

La legge di Ampere stabilisce che la circolazione

lungo un qualsiasi percorso chiuso è uguale

alla corrente totale che attraversa la superficie di

area percorsa e lo stesso percorso