Corso completo di Fisica II

E,

non circola corrente e il condensatore è scarico. Al tempo t = O viene chiuso l'interruttore, e il generatore inizia a prelevare cariche dai

conduttori connessi al polo negativo e a portarle al polo positivo di modo che sulle armature del condensatore compaiono le cariche +q e -q. Il

processo continua fino a quando la carica del condensatore raggiunge il valore massimo q = CE, cui corrisponde la differenza di potenziale VA -

o

VB tra le armature, pari alla forza elettromotrice del generatore (il campo elettromotore è eguale in modulo al campo elettrostatico). In un

E

istante generico t valgono le relazioni

supponendo la resistenza interna del generatore trascurabile rispetto alla resistenza esterna ( oppure compresa nel valore di R) e considerando

che c'è una differenza di potenziale anche ai capi del condensatore. Abbiamo pertanto

Integriamo tra l'istante t = O e l'istante generico t, ai quali corrispondono le cariche q= O e q:

Esplicitiamo infine la carica e otteniamo

Quando si carica un condensatore connettendolo ad un generatore, la differenza di potenziale finale ai capi del condensatore è eguale alla forza

elettromotrice & del generatore e la carica finale è q = C&: questi valori massimi sono raggiunti asintoticamente. La corrente nel circuito è

0

massima nell'istante t= O, quando vale &/ R, e decresce esponenzialmente nel tempo annullandosi per t -> L'andamento temporale, è regolato

∞.

dalla costante di tempo = RC

È facile verificare che il prodotto RC ha le dimensioni di un tempo:

Nel processo di carica il generatore compie complessivamente il lavoro:***

siccome , dalla conservazione dell'energia si deduce che sulla resistenza viene dissipato il lavoro . In effetti si potrebbe

2 2

E E

verificare che in ogni istante:

ovvero: la potenza erogata dal generatore viene consumata sulla resistenza e per aumentare l'energia elettrostatica del condensatore.

Scarica di un condensatore FISICA II Pagina 27

Consideriamo ora un condensatore C, con carica iniziale q , un resistore R e un interruttore T inizialmente aperto. La differenza di potenziale ai

0 2

capi del condensatore vale V = q /C e l'energia elettrostatica in esso immagazzinata è U = q /2 C. All'istante t = O si chiude l'interruttore, e le

0 0 e

cariche si muovono dall'armatura a potenziale maggiore a quella a potenziale minore, dando luogo a una corrente positiva lungo il resistore data

da i = - dq/ dt, dove il segno meno è necessario in quanto la carica diminuisce nel tempo. Nell'istante generico la differenza di potenziale Vc ai

capi del condensatore è eguale a quella V ai capi del resistore e valgono quindi le relazioni

R

Le espressioni esplicite sono:

La carica, la differenza di potenziale ai capi del condensatore e la corrente nel circuito diminuiscono esponenzialmente nel tempo con una

rapidità caratterizzata dalla costante di tempo = R C.

La potenza istantanea dissipata su R vale

e nell'intero processo viene dissipata l'energia

pari all'energia elettrostatica iniziale del condensatore.

Corrente di spostamento***

Il concetto di corrente è stato sinora associato a quello di movimento di cariche da una parte e a quello di circuito chiuso dall'altra, lungo cui le

cariche si muovono; però attraverso lo spazio compreso tra le armature di un condensatore non c'è trasporto di carica. Nel processo di carica e

scarica di un condensatore, ovvero in un processo in cui la carica sulle armature varia nel tempo, abbiamo visto che nel circuito circola una

intensità di corrente i(t), variabile nel tempo, ma costante in ciascuna sezione del circuito. Nei conduttori i(t) coincide con la corrente di

conduzione ic e, per chiudere il circuito, si ipotizza che istante per istante tra le armature del condensatore esista una corrente is uguale a iC,

però non dovuta ad un moto di cariche tra le armature. Una spiegazione intuitiva dell'origine della corrente iS , è la seguente: per una variazione

di carica dq, ad esempio sull'armatura superiore del condensatore, c'è una variazione -dq su quella inferiore per effetto dell'induzione

elettrostatica completa***; per lo stesso motivo una carica dq abbandona l'armatura inferiore cominciando a circolare nel conduttore ad essa

collegato. Dunque è come se la carica dq fosse passata attraverso il condensatore. Il ragionamento è valido solo ìn regime variabile: con una forza

elettromotrice costante anche la differenza di potenziale Vc ai capi del condensatore è costante, così come la carica q tra le armature, per cui

non può esserci corrente iS nel senso detto e di conseguenza nel circuito non circola corrente. Calcoliamo la corrente iS nell'ipotesi iS = iC

ricordando che per un condensatore piano C = / h e E = Vc/ h:

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l'origine della corrente i è la variazione nel tempo del flusso del campo elettrico attraverso la sezione del condensatore.

s

Per un campo elettrostatico

Questa corrente, nota come corrente di spostamento. Il termine corrente di spostamento, introdotto dallo stesso Maxwell, non sta tuttavia ad

indicare spostamento di materia.

si può definire una densità di corrente di spostamento, in modulo

diretta parallelamente al campo elettrico.

Si può in generale definire una corrente i e una densità di corrente in un circuito RC come:

Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche ***

circuiti con geometrie più complicate, che non possono essere ridotti ad un unico resistore equivalente soltanto con operazioni di serie e

parallelo. Sia il caso più semplice che quelli più complessi sono particolari esempi di rete elettrica.

Gli elementi geometrici distintivi di una rete sono i nodi e i rami. Un nodo*** è un punto nel quale convergono almeno tre conduttori; i nodi sono

collegati da rami***, in cui possono esserci componenti attivi (generatori) e componenti passivi (resistori). All'interno di una rete è possibile

individuare determinati cammini chiusi, detti maglie***, costituiti da più rami; un dato ramo può pertanto appartenere a più maglie. L'analisi

delle reti elettriche, è semplificata dall'uso di due leggi generali, dette leggi o principi di Kirchhoff, relative ai nodi e alle maglie: esse

sintetizzano quanto abbiamo finora esposto sui circuiti elettrici resistivi percorsi da corrente elettrica stazionaria. La prima legge di Kirchhoff, o

legge dei nodi, dice che la somma algebrica delle correnti che confluiscono in un nodo è nulla, se prendiamo, con riferimento alla figura , con un

dato segno le correnti che escono dal nodo e col segno opposto quelle che entrano

Consideriamo ora una maglia di una rete, nella quale fissiamo arbitrariamente un verso di percorrenza; in ogni ramo della maglia viene a sua

volta fissato un verso della corrente che lo percorre; la seconda legge di Kirchhoff, o legge delle maglie, stabilisce che:

la somma algebrica delle forze elettromotrici presenti nei rami della maglia è eguale alla somma algebrica dei prodotti Rk ik, cioè delle

differenze di potenziale ai capi dei resistori Rk situati nei rami della maglia (nella somma sono compresi anche i contributi delle resistenze

interne dei generatori). I segni dei vari termini, devono soddisfare le seguenti regole:

a) se nel ramo k-esimo la corrente ik è concorde al verso scelto nella maglia, Rk ik ha segno positivo;

b) in caso contrario Rk ik ha segno negativo;

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b) in caso contrario Rk ik ha segno negativo;

c) se la sorgente di f.e.m. &k viene attraversata dal senso di percorrenza fissato nel verso che va dal polo negativo al polo positivo, essa va presa

col segno positivo;

d) in caso contrario &k va presa col segno negativo.

Interazione magnetica. Campo magnetico

le parti in cui si localizza la proprietà di attrazione si chiamano i poli del magnete.

Un'analisi sistematica porta a stabilire che la forza di interazione tra i due magneti è attrattiva o repulsiva a seconda dei poli dei magneti che

vengono affacciati e che esistono soltanto due specie di poli, detti poli positivi e poli negativi; inoltre si trova che i poli di uno stesso magnete

sono sempre di segno opposto.

L'esperienza mostra l'esistenza di un campo magnetico naturale, il campo magnetico terrestre

Il polo dell'ago che si orienta approssimativamente verso il nord geografico, viene chiamato polo nord (N) e gli si attribuisce segno positivo, l'altro

è chiamato polo sud ( S) e gli si dà segno negativo

e l'interazione tra poli magnetici dello stesso segno è repulsiva, quella tra poli magnetici di segno opposto attrattiva

Una carica elettrica, positiva o negativa, può sempre essere isolata e ciò è una conseguenza dell'esistenza della carica elementare positiva

portata dal protone e della carica elementare negativa portata dall'elettrone: la possibilità di separazione esiste cioè già a livello elementare.

Invece non è mai stato possibile ottenere un polo magnetico isolato: i poli magnetici sembrano esistere sempre a coppie di egual valore e

segno opposto, cioè si manifestano solamente sotto forma di dipoli magnetici.

possiamo definire le linee di campo magnetico, cioè quelle linee che in ogni punto sono tangenti al campo magnetico esistente in quel punto.

Tale vettore viene indicato con il simbolo B. Il verso delle linee di B può essere individuato ponendo un piccolo ago magnetico in ciascun punto in

cui esiste il campo B. Esso infatti si orienterà parallelamente a B e il verso sarà quello che va dal polo Sud al polo Nord dell'ago magnetico.

Valgono per il campo magnetico B le proprietà per le linee di forza del campo elettrostatico E e inoltre pure la proprietà che un campo

magnetico B uniforme sia rappresentato da linee parallele ed equidistanti.

il filo percorso da corrente produce un campo magnetico Be che l'ago e i grani di limatura di ferro si orientano parallelamente al campo

magnetico esistente nel punto in cui sono posti. In seguito Ampère dimostrò che anche due fili percorsi da corrente interagiscono e intuì che le

azioni magnetiche non sono altro che la manifestazione dell'interazione tra cariche elettriche in movimento

e in ogni atomo o in ogni molecola devono esistere delle correnti microscopiche locali, che prendono il nome di correnti molecolari di Ampère o

correnti amperiane, l'interazione tra un circuito percorso da corrente e un magnete è il risultato delle interazioni tra gli elettroni liberi in moto

nel conduttore e le microcorrenti presenti nel materiale magnetizzato. Infine l'interazione tra due ,magneti è il risultato delle interazioni tra le

correnti microscopiche in essi presenti.

Si sa che anche i costituenti elementari degli atomi, il protone, il neutrone e l'elettrone, possiedono un momento magnetico: attualmente ai

primi due si attribuis