Controllo e collaudo delle strutture e del territorio M - Modulo 1

2025 Q

UADERNO APPUNTI

S V

OFIA IGNALI Controllo e Collaudo delle strutture e

del Territorio M

1

C : C C S

ORSO ONTROLLO E OLLAUDO DELLE TRUTTURE E DEL

T M - M 1

ERRITORIO ODULO

By Stefano Gandolfi

Metodi di controllo topografico per il monitoraggio

Monitoraggio

 Tecniche di rilievo:

o Stazioni totali

o Livelli (livellazione geometrica dal mezzo)

o GNSS

o Laser a scansione

o Fotogrammetria

o Remote sensing

Con i sistemi più moderni, soprattutto per quel che riguarda sistemi GNSS

e laser scanner si riescono ad ottenere informazioni molto dettagliate

con dati molto densi che possono riuscire ad aiutarci anche a determinare

condizioni secondarie come le varianti termiche, attraverso l’uso di

serie temporali, cioè, determinate quantità di dati raccolti nel tempo

In generale si ottengono coordinate in quindi con un particolare grado

+ ,

di indeterminazione che da consistenza alla misurazione/stima stessa. Queste

indeterminazioni però non sono come quelle strumentali perché partendo da

misurazioni di angolo, distanze e altezze con i corrispondenti errori, il

risultato finale sono coordinate date dalla “somma” delle singole

indeterminazioni.

La topografia e i sistemi di monitoraggio si applicano a diversi ambiti,

utilizzando diverse scale, diverse entità di movimento e/o possibili

deformazione e questo apre un ventaglio di possibilità tale da inglobare in un

unico argomento tutte le tecniche di rilievo ad oggi disponibili.

La scelta più corretta sulla strumentazione e il modo di impiegarla è quella

che viene presa di volta in volta sulla base del maggior numero di informazioni

possibili e da colui che riesce con spirito critico a combinarla con le

metodologie di rilievo

Anche nelle strategie di elaborazione e trattamento dei dati non vi è un’unica

strada ed anche in questo caso come per il resto anche nelle considerazioni

precedenti è importante disporre del più ampio spettro di possibilità per poter

scegliere quella più corretta. 2

Gli ambiti di interesse considerati sono:

 Ingegneristico (edifici, strutture e territorio)

 Geofisico (moto delle placche, deformazioni crostali, ecc.)

 Geologico (frane, smottamenti, ecc.)

 Architettonico (monumenti, conservazione dei beni culturali)

Le cause generali dei movimenti o delle deformazioni, per quanto riguarda i

fenomeni che si possono osservare sono:

 Naturali = deriva dei continenti, alcuni fenomeni di subsidenza, fenomeni

sismici o vulcanici e frane

 Antropiche = alcuni tipi di subsidenza (dovuti a bacini sotterranei come

quelli del gas), alcune frane, movimenti di strutture e movimenti in fase

di collaudo

I movimenti possono essere:

 Altimetrici

 Planimetrici

 Tridimensionali

Monitorare significa osservare un fenomeno nel tempo, questo avviene attraverso

rilievi ripetuti (in modo discreto o continuo) con strumenti e metodi adeguati

all’entità del fenomeno che si vuole osservare (conoscenza delle entità in

gioco e del tipo di fenomeno) attraverso un trattamento del prodotto finale.

Il numero di ripetizioni e la loro durata e frequenza varia in base

all’importanza dell’oggetto di studio, delle spese sostenibili e dell’entità

della deformazione ipotizzata ed osservata.

La deformazione indica il cambiamento della forma e delle dimensioni di un

oggetto, lo spostamento; invece, indica il movimento globale di un oggetto.

Spesso questi due termini sono erroneamente indistinguibili perché nella realtà

sono termini completamente diversi.

L’oggetto di studio deve essere sintetizzato mediante un numero discreto di

punti (anche molti, nel caso della fotogrammetria e laser scanning) e il

movimento o la deformazione dell’oggetto è data dalla variazione nella

posizione dei punti misurati. I punti possono essere naturali o costruiti ad

hoc (problemi di materializzazione e conservazione dei vertici o dei capisaldi.

I fenomeni deformativi invece possono essere permanenti o reversibili, come nel

caso dei collaudi.

L .

E VIBRAZIONI E LE OSCILLAZIONI NON SONO DI COMPETENZA DEL TOPOGRAFO

3

Una metodologia di monitoraggio si sceglie anche in base alla sua importanza,

all’entità dei movimenti e alle dimensioni dell’area, oltre che da cosa stiamo

misurando. Possono variare gli strumenti, modalità operative (ridondanza,

schema, …), eventuali tipi di materializzazione dei vertici e frequenza. Tutte

queste scelte portano all’esecuzione del rilievo e, infine, al trattamento

delle osservazioni.

E .

SEMPIO

 Individuazione dell’area da studiare

 Individuazione sulla base del problema, della metodologia e della

strumentazione più adatta

 Individuazione dei punti notevoli rappresentativi all’interno dell’area e

la loro materializzazione, se possibile

 Individuazione dei punti notevoli esterni all’area e materializzazione. I

punti esterni devono essere numerosi per non fare errori, se fosse solo

uno potrebbero esserci errori dovuti al movimento del punto perché, se lo

si considera fermo il suo spostamento, sicuramente presente anche se

minimo, si ripartisce nei punti interni.

In caso come questo, ad esempio si avrebbe uno spostamento diagonale,

che, se si pensa ad una frana, risulta addirittura impossibile e porta ad

errore evidente.

Aggiungendo più punti di riferimento esterni si evita anche l’errore sul

perimetro dell’area di interesse. 4

 Costituzione di un sistema di riferimento

 Si eseguono le misure e si ripetono nel tempo

 Trattamento delle osservazioni

 Analisi delle deformazioni

 Stima del movimento/deformazione con relativa incertezza

Esistono casi speciale in cui è difficile effettuare questi monitoraggi e per

fare ciò sono stati creati strumenti “speciali” come quello sviluppato a

Bologna per il monitoraggio GPS in Antartide dove sono presenti forti venti che

rendono impossibile una misurazione corretta “a mano”.

Nel caso invece di monitoraggio di terreni in forte movimento come posso essere

le frane, dove i pali anche se infissi nel terreno, possono inclinarsi, sono

stati sviluppati dei pali alti 1,70 m circa con tubi riempiti di CLS compresi

di un’asta sulla cima, orizzontale, che permette di verificare anche

l’inclinazione del palo stesso attraverso un fio a piombo ad esse legato.

5

Propagazione delle incertezze

Formulario sintetico –

APPUNTI SUL TRATTAMENTO DELLE OSSERVAZIONI PDF

Trattamento delle osservazioni

Nelle misurazione non sempre tutto torna uguale nella pratica, per questo si

afferma che è presente un errore. Come nell’esempio della tabella sotto in cui

sono state fatte 200 misure:

Le misure presentano un’aleatorietà descritta da Gauss e raffigurata attraverso

un istogramma.

 Statistica campionaria: quando è applicata ad un preciso campione di

elementi, ben definito

 Statistica generalizzata: quando il campione tende ad infinito e quindi



diventa standard distribuzione normale di Gauss, curva che interpola al

meglio i dati. Ad ogni misura ci sarà un’indeterminazione con la

differenza tra queste si può arrivare all’errore. Un esempio può essere

la misura di una distanza con distanziometro si misura sia la distanza

che l’angolo ed entrambi hanno una propria indeterminazione che va sempre

indicata insieme alle stime. 6

Ogni singola misura può essere caratterizzata con un incertezza specifica, come

nel caso: (12.1 (13.2 (25.3

= ± 0.1) = ± 0.2) → = + = ± 0.3)

Ma in realtà, i valori non sono equiprobabili, non è vero che la frequenza in

cui la misura capiti pari ad uno dei valori all’interno di quell’intervallo non

è sempre la stessa, il miglior modo per descrivere gli errori e le

indeterminazioni delle misure è l’utilizzo della distribuzione normale

standardizzata.

La scelta dello strumento per effettuare la misura può risolversi a vari

livelli di precisione, ad esempio un angolo può essere misurato con un

tacheometro, o con un teodolite di media o alta precisione; in ogni caso,

quando si esegue la misura di una grandezza ci si aspetta di osservare una

quantità risultante dalla combinazione del valore vero e di un errore

dovuto alla operazione di misura: l = L+e

In una misurazione noi però abbiamo come parametro centrale Il residuo

l.

dovrebbe essere piccolo, ma potrebbe essere anche molto grande a causa di

errori sistematici, grossolani o casuali. Nel momento della misura non si

conosce il valore vero, per questo siamo nel campo delle incertezze casuali:

l ∈ N L, σ

ν ∈ N 0, σ

Gli errori possono essere classificati in tre categorie:

 ERRORI GROSSOLANI: sono quegli errori che stravolgono completamente il

risultato, e poco hanno a che vedere con il valore effettivo delle

grandezze misurate. Sono dovuti a veri e propri sbagli dell’operatore o a

disfunzioni dello strumento, come errori di trascrizione del valore

misurato sul registro, guasti agli strumenti o loro uso scorretto;

bisogna cercare di individuare questo tipo di errore il più in fretta

possibile, prima che i calcoli effettuati sulla base del valore sbagliato

inducano a conclusioni errate; se si riconosce la presenza di un errore

grossolano, la misura va ripetuta, poiché in generale non ci sono

elementi per risalire al valore corretto.

7

 ERRORI SISTEMATICI : sono caratterizzati dal fatto di spostare sempre in

una certa direzione il valore della misura, cioè si trova sempre un

risultato sistematicamente deviato rispetto al valore vero; a causa di un

qualche fenomeno che si sovrappone a quello sottomisura si ottiene sempre

un valore più grande o più piccolo di quello che dovrebbe risultare.

Per esempio, la misura di una lunghezza con un metro starato, diviso in

cento parti ma lungo in realtà 99 cm, darà misure sempre più grandi del

reale. Se non si correggono le distanze misurate con un distanziometro ad

onde per l’effetto atmosferico, si commette un errore proporzionale in

valore assoluto alla lunghezza del tratto.

In questi casi esiste una legge ben precisa, anche se sconosciuta al

momento della misura, che introduce un errore che perturba la misura. Se

si riesce a risalire a tale legge, si è in grado di eliminare tale

errore, o almeno si è in grado di correggere in gran parte la misura,

senza doverla ripetere. Prima di effettuare una campagna di misura sarà

sempre necessario verificare che gli strumenti non introducano errori

sistematici; occorre, cioè, procedere alla verifica delle condizioni di

taratura dello strumento.

 ERRORI CASUALI : sono dovuti ad una serie di cause incontrollabili, non

percepite dall’operatore (limiti strumentali, effetti dell’ambiente ),

che influiscono sulla misura introducendo un errore non eliminabile e non

valutabile che ha l’effetto di spostare il valore della misura in una

direzione o in un’altra: non hanno quindi un andamento preferenziale.

Tali errori sono sempre presenti in tutte le misure, e la loro entità è

legata strettamente alle caratteristiche di precisione dello strumento

impiegato ed alle modalità del suo impiego.

Durante un rilievo non si può fare la stessa misurazione 200 volte per poter

avere un’adeguata statistica campionaria, per questo si effettua la misurazione

e, guardando la precisione dello strumento, si calcola l’indeterminazione della

misura. Ogni casa costruttrice tenta attraverso migliaia di misure, di

standardizzare l’errore e dare i parametri precisi per valutare l’errore.

8

Poiché i due parametri descrivono completamente la distribuzione, la v.c.

normale verrà indicata nel seguito con l’espressione:

)

~( ,

 valore atteso, parametro di centralità, più facile da calcolare

=

 varianza, parametro di dispersione

=

Geometricamente parlando, si può dire che la funzione gaussiana presenta un

flesso a .

( )

1 )

() = ⋅ → ( ≤ ≤ ) = () ∈ ( ,

√2

Per esempio, la v.c. che descrive una distanza misurata darà indicata con:

~(1234.56; 0.004)

Per indicare che la media vale 1234.56 m e la deviazione standard è di 2 cm.

Una funzione densità di probabilità è un’equazione complessa e difficile da

utilizzare, per questo bisogna cercare dei parametri di centralità che

esprimano al meglio alcune caratteristiche della funzione. Le distribuzioni

possono però essere rappresentate da un numero limitato di parametri che ne

consentono comunque una descrizione completa, in quanto rappresentano grandezze

significative dell’ andamento della probabilità.

Nel caso di una misura in particolare, possono realizzarsi valori notevolmente

diversi nelle varie prove, ma quello che interessa è individuare un valore

unico rappresentativo della misura, e un altro valore che indichi quanto i

singoli risultati si disperdono attorno a quel valore rappresentativo.

I parametri più interessanti sono in questo caso i parametri di centralità e

parametri di dispersione della distribuzione.

 Moda

 Media

 Mediana

Per definire tali parametri conviene premettere la definizione di valore atteso

di una v.c. 9

Sia una v.c. continua con f.d.p. Si definisce media teorica o valore

().

atteso della variabile la somma dei valori della variabile per la loro

probabilità ovvero la quantità: () = ()

Per una v.c. campionaria la definizione è:

() = ∑

E rappresenta la media, il valore atteso è il più facilmente calcolabile tra i

parametri di centralità.

La varianza invece è un parametro di dispersione che ci mostra quanto le misure

si discostano dal valore atteso. −

( )

= − () = −1

La varianza si può definire come la dispersione del valore, è definita grazie

alla disuguaglianza di Chebichev senza dipendere dalla funzione densità di

probabilità.

Se si ha = +

Nell’intorno di un certo valore abbiamo una densità di probabilità gaussiana e

il valore atteso passa sulla retta in cui si trovano e anche con

, ,

).

= (

La tendenza della retta funzione è il parametro con cui si va a propagare la

probabilità dall’altra parte: =

[ ] ]

=

⏟ − () = + − ( − ) = [( + − () − )

] ]

( )

= [( + − − ) = [ − = . . .

∈ , → = + +

∈ , 10

Avendo così una combinazione lineare di v.c. distribuite normalmente che dà

origine a una variabile casuale distribuita normalmente.

= + +

] ]

(( ) )

= − () = [ + + − [( + + )] = [ + + − − ( − )

= − + − = + + 2 + + + =

Si è così dimostrata la formula della covarianza.

Se, invece, si parla di una funzione non lineare in una sola variabile

= ()

con )

∈ ( ,

Quindi si può dire che la funzione viene linearizzata in un intorno di :

) ( )

= ( + ⋅ − → = ⋅

Se ci sono due variabili il procedimento è lo stesso, la funzione si linearizza

prima rispetto a una e poi rispetto all’altra variabile.

= +

Questo funziona quando si parla di variabili stocasticamente indipendenti, cioè

quando la covarianza è nulla.

)

= 1, … , ∈ , = ( , … , ⇒ =

E così si trova la varianza. Nel caso in cui le variabili non siano

stocasticamente indipendenti si deve studiare anche la covarianza e, ad

esempio, in statistica campionaria si può avere: ∑

∑ −

̅ = = =

→

… … … ∑

∑ −

= = =

11

PIÙ LE MISURE SONO DISPERSE PIÙ SARÀ GRANDE LA VARIANZA E DI CONSEGUENZA IL SUO QUADRATO

Per capire quanto siano legate la x e la y si può fare:

− −

=

In statistica generalizzata funziona nello stesso modo in termini di varianza e

covarianza. Ad esempio. ∈ ( , ) = cos

→ = sin

∈ ,

= + = cos + + sin

= + = cos + + sin

Conoscendo poi le incertezze delle variabili si riesce a trovare la covarianza:

(− )( )

= + = cos sin +

A cosa serve tutto ciò? Ci aiuta a costruire l’ellisse di errore di ogni

misurazione.

Ellisse di errore ]

)

∈ ( , = [( − ) = () = ()

∈ , )

∈ ( ,

12

Se si hanno funzioni di variabili comuni (basta anche solo 1, in questo caso

sono 2): = cos

= sin

Abbiamo che rappresenta una v.c. a 2 dimensioni con distribuzione binormale,

̅

se composta da v.c. a distribuzioni normale

)

̅ = ̅ ∈ , con = ( , … , ∀ = 1, … , =

∈ , =

Se e condividono le stesse variabili:

)

= ( , … , ⇒ = =

La matrice di covarianza risulterà essere una matrice definita positiva a rango

1

pieno , tale che:

ℰ =

In una misura quindi si può rappresentare l’errore come una “scatoletta” che

comprenda sia l’errore di lunghezza che l’errore di angolo.

Una matrice definita positiva a rango pieno è una matrice invertibile con rango

1

massimo, in cui tutti gli autovalori sono positivi.

13

In una distribuzione binormale invece si taglia un intervallo, non più indicato

da una retta, ma la gaussiana viene tagliata da un piano da cui si forma un

∥

ellisse:

Un’ellisse di questo tipo:

Si descrive con che può venir rappresentato in forma matriciale:

+ = 1 1 0

[ ] =1

1

0

Se si avesse solo la simmetria l’ellisse sarebbe più diagonale:

14

Se, invece, si partisse dall’ellisse base si potrebbe trovare la dimensione del

semiasse maggio e del semiasse minore.

=

L’ellisse di errore è sempre centrata sullo zero a causa dell’aleatorietà, però

è traslato da parametri dati.

[ ] =1

Allora esiste uno spazio vettoriale in cui il tutto diventa:

( )

,

0

[ ]

=1

0

Se si prende e si trovano gli autovalori e gli autovettori, si

riescono poi a trovare i semiassi, maggiore e minore, per disegnare

correttamente l’ellisse di errore: det(ℰ − )

15

E .

SEMPIO

Con dati dalla casa produttrice della strumentazione, si può calcolare

,

l’ellisse di errore ancora prima di effettuare il rilievo, si potrebbe anche

trovare diversi casi di errori, come A,B,C e capire ad esempio quali di questi

è il peggiore.

In questo caso A risulta il peggiore poiché la minore precisione corrisponde al

verso dei movimenti da misurare.

Gli ellissi però devono sempre essere il più circolari possibile per garantire

una miglior precisione nelle misure.

= 1 + 1 = 0,1

,, ò , ,

(10,1

± 0,1)

, … , → (10,3

± 01)

…

Facendo un semplice somma delle incertezze, l’errore risulta:

= = + + ⋯ + = 0,9

16

Utilizzando invece la varianza:

= + ⋯+ = 9 ⇒ 6 = 3 = 0,3

Che risulta del risultato precedente, questo perché non si ha la stessa

probabilità per ogni errore, durante le misurazioni si ha una sorta di

compensazione perché l'errore non può sempre ricadere nel massimo errore

possibile sennò diventerebbe un errore sistematico.

Nella matrice di covarianza può avere oscillazioni troppo grandi per poter

mettere in relazione le grandezze, per questo si utilizza il coefficiente di

correlazione lineare di Pearson:

−1 ≤ = ≤1

Se è vicino a le due grandezze sono correlate inversamente, mentre se tende

−1

a c’è una correlazione diversa, se è vicino allo le variabili non sono

1 0

correlate o il loro legame è molto debole.

Propagazione della varianza in forma matriciale, riesce a unire tutte le

variabili del problema in un’unica matrice: