Controlli automatici, parte 8 - Luogo delle radici di un sistema di controllo

8-LUOGO DELLE RADICI DI UN SISTEMA DI CONTROLLO

8.1-INDIVIDUARE LUOGO DELLE RADICI PER SISTEMI DEL II ORDINE E SISTEMI DI ORDINE

SUPERIORE ()

Si supponga di avere un sistema con una sua funzione di trasferimento e si supponga

()

di avere un controllore di cui abbiamo fissati poli e zeri, mentre la costante di

guadagno è da determinare (abbiamo un’idea di quanto debba valere per soddisfare le

varie specifiche ma sappiamo che questo valore di può essere modificato leggermente per

modificare le prestazioni del sistema). Cosa cambia nel sistema quando si va a variare e in

() .

particolare la domanda che ci poniamo è come cambiano i poli di al variare di

Mostriamo ciò tramite due semplici esempi

ESEMPIO 1

Abbiamo un sistema: 5

() = +2

Una specifica è che: ()|

lim = 0

|

→∞

La prima cosa che ci viene in mente leggendo la specifica è che sarà necessario utilizzare un

controllore con un polo nell’origine (e consideriamo un controllore integrale per questo

esempio, ignoriamo per semplicità i controllori proporzionali-integrali):

() =

Indipendentemente da la specifica è sicuramente soddisfatta.

Per scegliere andremo ad esaminare i poli del sistema a ciclo chiuso.

Allora: 5

() = 2

+ 2 + 5

I poli a ciclo chiuso sono le radici del polinomio al denominatore di (e sappiamo che

purchè sia positivo i poli saranno stabili). Ci interessa capire se queste radici (i poli) sono

reali o complesse: nel primo caso la risposta al gradino non oscilla, nel caso di radici

complesse invece la risposta può oscillare poco o tanto a seconda del coefficiente di

smorzamento: ∆= 4(1 − 5)

Da qui capiamo subito che se è piccolo le radici sono reali mentre se è grande le radici

sono complesse coniugate. 1

1 − 5 > 0 → < →

5

1

= →

5

1

> →

5

Già sappiamo che se vogliamo una risposta a gradino che non oscilli dobbiamo avere radici

< 1/5

reali o coincidenti e quindi

Nell’eventualità, le oscillazioni saranno ampie o piccole?

A tal fine scriviamo esplicitamente le espressioni delle radici e vediamo cosa succede al

:

variare di √1

= −1 ± − 5

1,2

Quello che chiamiamo Luogo delle Radici è proprio lo studio dei poli a ciclo chiuso al

> 0

variare della costante di guadagno del controllore (per sempre).

> 0)?

Nell’esempio, come variano le radici trovate al variare di (per

• > 0 = −2 = 0,

Per succede che e che sono proprio le radici della funzione di

1 2

trasferimento originaria a ciclo aperto

• = 1/5

Quando cresce entrambi i poli tendono a spostarsi sull’asse reale e quando

= −1

succede che 1,2

Sul piano complesso questi spostamenti:

• > 1/5

Quando il radicando diventa negativo e quindi le radici diventano complesse

coniugate e le possiamo scrivere:

= −1 − √5 − 1

1

= −1 + √5 − 1

2

Notiamo che la parte reale non dipende da mentre la parte immaginaria, per che

> 1/5

cresce, fa si che il radicando diventi sempre più negativo. Quindi per la parte

reale resta costante e quella immaginaria cresce: le due radici si sposteranno su una

−1

retta parallela all’asse immaginario passante per il punto e seguiranno

l’andamento in rosso (ora, non sapremo mai se la radice che viene da sinistra sale

sopra o viceversa, sappiamo solo che una se n’è andata sopra e una se n’è andata

sotto).

Quello che viene illustrato è proprio il luogo delle radici:

Sappiamo che il Luogo nella geometria è l’insieme dei punti che godono di una proprietà, e

la proprietà, in questo caso, è che i punti sono le radici del denominatore (cioè i poli a ciclo

chiuso del sistema).

Ma perché interessa indagare sul luogo delle radici?

Ricordiamo che il coefficiente di smorzamento è:

[]

=− ||

[] = −1 ||,

Ora, nel nostro caso mentre essendo la distanza dall’origine, potrebbe

essere uno di questi casi in verde: ,

Il modulo diventa sempre maggiore al crescere di ma se il modulo cresce e la parte reale

rimane costante, allora il coefficiente di smorzamento diminuisce…

,

Quindi decresce al crescere di il che è un’informazione importantissima perché

sappiamo quali sono le conseguenze di un piccolo (oscillazioni violente).

1. Quante curve sono state disegnate?

Due curve, una per ciascuna radice

2. Da dove nascono queste curve?

Nascono dai poli

3. Sono soggette a qualche vincolo queste curve?

Le curve devono essere simmetriche rispetto all’asse reale (perché le radici sono

sempre complesse coniugate tra di loro, ciascun punto di quelle curve è una radice

)

per un certo valore di

ESEMPIO 2

Supponiamo una: ( + 5)

() = ( + 2)( + 3)

Vogliamo conoscere come variano i poli della funzione di trasferimento a ciclo chiuso al

.

variare di

Calcoliamo: ( + 5)

() = 2 (5

+ + ) + (6 + 5)

,

La prima cosa che notiamo è che essendo sempre positivo, renderà i poli del sistema a

ciclo chiuso stabili.

Vediamo che: 2

∆= − 10 + 1

Allora: ′ ()

∆ = 100 − 4 = 96

10 ± 2√24

= = 5 ± = 9,9 0,1

√24

1,2 2 ,

Ora, la funzione discriminante, che è una funzione di è una funzione di tipo parabolico (di

2

tipo convesso perché il coefficiente di è positivo).

0,1 9,9 0,1 < < 9,9 ∆< 0,

Questa funzione avrà due radici a e e quando succede che

∆> 0:

mentre per valori esterni di succede che ≥ 0,

Siccome abbiamo detto che assumiamo sempre che diremo che:

[0,

∈ 0.1] → ∆> 0 →

(0.1,

∈ 9.9) → ∆< 0 →

≥ 9.9 →→ ∆> 0 →

Capiamo che possiamo avere poli reali, e quindi risposta al gradino (monotona crescente)

che non oscilla, purchè si scelga abbastanza grande.

Vediamo l’espressione esplicita delle radici e capire cosa succede nel piano complesso

):

(come le due radici si spostano al variare di 2

−(5 + ) ± − 10 + 1

√

=

1,2 2

= 0

E’ evidente che per dovremmo ritrovare i poli della e se si esegue tale prova si

ottiene ciò che ci si aspe