Continuo delle onde piane, caso di mezzo senza perdite e con

CONTINUO DELLE ONDE PIANE………

Poichè H ed E sono nulli possiamo dire i campi hanno solo componenti lungo x e lungo y

z Z

ovvero hanno solo componenti perpendicolari alla direzione di propagazione e questo si

traduce dicendo che le onde piane sono onde TEM (trasverse elettromagnetiche)→ sia il

campo elettrico che campo magnetico sono trasversali rispetto alla direzione di

propagazione.

Risolviamo ora il sistema

Deriviamo rispetto a Z primo e secondo membro della prima equazione.

Sto supponendo un mezzo omogeneo quindi μ ed ε non dipendono dal punto dello spazio e

quindi non dipendono da Z e quindi li posso portare fuori dal segno di derivata.

Utilizzo la 2° equazione.

Portando tutto al primo membro e moltiplicando per “-1” avremo:

Ma (nel vuoto uso μ ed ε )

0 0

Avremo che

Otteniamo un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti.

La soluzione generale di quest’equazione può essere scritta o come sovrapposizione di due

esponenziali complessi o anche come combinazione lineare di un seno e di un coseno.

Ci conviene descriverla come combinazione lineare di un esponenziale complesso positivo e

uno negativo,quindi avremo:

(costante per un’esponenziale negativo + costante per

esponenziale positivo)

Devo ricavare H .

y 1

Dalla prima equazione del sistema iniziale ricavo che H =− .

y ωμ

Calcolo la derivata di E x

x+ −jkz x− jkz

= −E e + E e

Vado a sostituire nell’equazione di H y

Mettendo in evidenza k e j e il segno “–” abbiamo che H è

y

(sostituisco k e per la definizione di Zita ho quel risultato)

Le soluzioni per E e H sono:

x y

Effettuando la modifica

⟶

{ ⟶ −

Al sistema

Otteniamo anche

Vediamo cosa rappresentano queste soluzioni.

Concentriamoci sulla prima coppia di soluzioni (tanto per la seconda varranno

considerazioni analoghe)

E è data dalla somma di due termini:

x • il primo termine viene detto ONDA PROGRESSIVA

• il secondo termine viene detto ONDA REGRESSIVA

Vediamo perché sono chiamati così.

Per capirlo dobbiamo tornare nel dominio del tempo e per far ciò faccio l’antitrasformata

Considero l’onda progressiva

Ora dobbiamo capire come è fatta la costante K.

Abbiamo fatto l'ipotesi che il MEZZO SIA NORMALE E OMOGENEO SPAZIALMENTE e non

abbiamo fatto l'ipotesi di mezzo non dispersivo temporalmente quindi ε e μ saranno

dipendenti da ω e saranno anche complessi (in generale) e quindi anche K sarà complessa e

quindi avrà una parte reale che chiamo con beta e una parte immaginaria che chiamo

“meno alfa”

(Piccola nota:

se poi il mezzo è anche senza perdite μ ed ε saranno reali e indipendenti dalla frequenza e

quindi K sarà pari semplicemente beta)

Avremo mentre

Andiamo a sostituire queste espressioni e andiamo a riscriverci E in termini di modulo e

x

fase:

+

cos(ωt) è una funzione sinusoidale rispetto al tempo perché siamo nel dominio dei

fasori e quindi stiamo ragionando con funzioni che variano sinusoidalmente nel tempo.

→ -αz

Se il mezzo è senza perdite α=0 e l’esponenziale e = 1,

+

risulta una funzione sinusoidale anche rispetto a Z , con

Ora in β

mettiamo in evidenza nell’argomento del coseno,“- ”.

Avremo: ω

dove =v (velocità di fase o velocità di propagazione)

f

β

O posso mettere in evidenza ω (qui abbiamo il reciproco di v )

f

Analizziamo v .

f

Consideriamo il caso di mezzo senza perdite (min 22)

• μ e ε sono reali e indipendenti dalla frequenza

β =

• √εμ

k= ω e α=0

• dipende solo dal mezzo

(NOTA:nel caso del vuoto dovrei considerare μ ,ε e v =velocità del vuoto c )

0 0 f

Considero ora

E ne traccio il grafico (o meglio un’istantanea) per t=0 al variare di z

(nota sfasamento)

(Con periodo T= λ).

t=̅

Considero poi un'altra istantanea all’istante

Avremo una funzione che sarà una versione della funzione precedente traslata nel verso

̅

positivo dell'asse Zeta di una quantità “v per ” .

f

L’onda si è propagata,è traslata rigidamente nel verso positivo dell'asse Zeta di una quantità

̅

“ v per ”.

f →avremo

Abbiamo lo spostamento,per ricavare la velocità basta dividere per il tempo v= v f

che è proprio la velocità di propagazione.

Analizziamo la seconda espressione

E ne traccio il grafico (o meglio un’istantanea) e vediamo cosa accade al variare del tempo

quando z=0 Otteniamo anche qui una sinusoide.

Considero poi un'altra istantanea nella posizione z=̅

abbiamo la stessa funzione di prima traslata nel tempo

̅

quindi ritardata di una quantità .

ho un ritardo con velocità v .

f

Ancora una volta concludiamo che quest'onda si sta propagando nel verso positivo dell'asse

Z.Ecco perché viene chiamata ONDA PROGRESSIVA

(il 1° termine viene chiamato onda progressiva).

Se avessimo fatto gli stessi ragionamenti che abbiamo fatto con l'onda progressiva per

→

l'onda regressiva sarebbe cambiato il segno e quindi il verso della traslazione avrei avuto

→

una traslazione nel verso negativo dell'asse Z ONDA REGRESSIVA.

Quindi la soluzione complessiva E può essere vista come la sovrapposizione di due onde

x

• un'onda progressiva (onda sinusoidale) che si propaga nel verso positivo dell'asse z

• un'onda regressiva (onda sinusoidale) che si propaga nel verso negativo dell'asse z

CONSIDERIAMO IL CASO DI MEZZO CON PERDITE quindi è dispersivo nel tempo

α è dipendente da ω

Facendo gli stessi ragionamenti precedenti vediamo che

facciamo un'istantanea al tempo t=0 e mettendoci nella posizione Z e registrando

vediamo come varia la funzione al variare di Z. l'andamento in funzione del tempo

nell'istante t=0 vediamo una funzione otterremo una certa funzione

sinusoidale ma con un'ampiezza che va (vedi in basso)

attenuandosi man mano che ci spostiamo

lungo l'asse Z

se facciamo la stessa istantanea dopo un nella posizione z=̅ avremo la stessa funzione

̅

tempo ,il coseno è traslato rigidamente con ̅

ritardata di (tempo necessario per

velocità pari alla velocità v ,

f ̅

spostarsi da 0 a con velocità v ) ma sarà

ma nel traslare deve rimanere all'interno di f

anche di ampiezza più piccola perché nel

questo inviluppo fatto da una funzione α

- z

esponenziale e quindi va attenuandosi frattempo mentre prima e =1 ora risulta

propagandosi nel verso positivo dell'asse Z minore di 1 (l’esponenziale quindi diminuisce)

Concludiamo che nel caso in cui ci sono le perdite l'onda progressiva si propaga nel verso

positivo dell'asse Zeta cioè trasla nel verso positivo dell'asse Z con velocità pari a v e si

f

attenua. →

Per l'onda regressiva ci sarebbero stati dei cambiamenti nei segni (tra cui alfa positiva) in

questo caso l'onda si propaga nel verso negativo dell'asse Z e procedendo nel verso

→

negativo dell’asse Zeta (diminuisce) si va attenuando nel verso negativo.

Quindi l'onda progressiva si propaga e si attenua procedendo nel verso positivo dell'asse

Zeta mentre l'onda regressiva si propaga e si attenua procedendo nel verso negativo.

Nota:

Quando vado a definire K,poiché è definita come radice moltiplicata per ω

poiché una radice ha sempre due determinazioni devo scegliere la soluzione per cui

Fine nota.

Ora facciamo valere gli stessi ragionamenti per

E avremo un onda progressiva e regressiva ….ok.

Soffermiamoci sull’onda progressiva considerando i due sistemi

e

Mettendo insieme le componenti di H avremo che

Poiché calcolando .

Riassumendo in un’onda piana E ed H hanno componenti nulle lungo Zeta .

.

Inoltre, possiamo scrivere che

. →H

H oltre a essere perpendicolare a i , è perpendicolare anche ad E ed E sono

z

perpendicolari tra di loro.

Ora se vado a moltiplicare ulteriormente per i avremo

z

i i =1 e l’ultimo termine è nullo (non dice il motivo).

z z

Ho considerato la proprietà dell’uguaglianza vettoriale

(nel nostro caso sia c che a sono i ,mentre b=E )

z

(min 45)

Ciò che otteniamo è:

Sostanzialmente E ed H sono perpendicolari a Z e sono anche perpendicolari tra di loro

e se il mezzo è senza perdite il rapporto tra i moduli di E ed H è pari a 1/ζ (zita) mentre

se il mezzo ha perdite il rapporto tra l'ampiezza di E e l'ampiezza di H è pari a 1/ζ.

Se facessimo gli stessi ragionamenti sull'onda regressiva varrebbero le stesse relazioni ma

dobbiamo considerare “-i ”.

z

Al posto di i possiamo mettere un versore generico “i” che rappresenta qual è la direzione

z

e il verso di propagazione dell'onda considerata

(per un’onda progressiva i= i mentre per l'onda regressiva i=- i ).

z z

CONSIDERIAMO ORA DEI SEGNALI GENERICI (non necessariamente sinusoidali)

Le equazioni di Maxwell nel dominio della trasformata di furier sono formalmente uguali a

quelle nel dominio dei fasori perché valgono le stesse proprietà .

Nel caso della trasformata di Fourier i campi dipendono da ω (omega).

Avremo che (ho le stesse relazioni e in più ho dipendenza da ω).

Per ritornare nel dominio del tempo devo fare l’antitrasformata (min 1:16:00)

Nel caso di z=0

Avrei che

+ + +

()

è proprio l’antitraformata di (z,t) con z=0 quindi di (0,t) .

+ +

-jkz

()e ()

Se prima E (z, ω)= ,ora per z=0 abbiamo E (0, ω)= .

x x

Ora ragioniamo separatamente per MEZZO NON DISPERSIVO NEL TEMPO e poi per

MEZZO DISPERSIVO NEL TEMPO. )

Se il mezzo è NON DISPERSIVO NEL TEMPO allora k(ω) è reale (perché sono reali ε ed μ ed

è linearmente dipendente da ω.

(ε e μ sono indipendenti da ω se il mezzo è non dispersivo nel tempo)

Ora nella trasformata di Fourier andiamo a sostituire k(&om