Conoscenze preliminari Elettrotecnica - Parte 4

, 9 3 2 1

'(17,7¬ (7725,$/,( 5235,(7¬'(// 3(5$725( $%/$

RELAZIONI DI MOLTIPLICAZIONE

E, F G 3

5

(D, e sono vettori in , “⋅” indica il prodotto scalare, “×” indica il prodotto vettoriale)

D E F E F D F D E

( ) ( ) ( )

⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×

D E F E D F F D E

( ) ( ) ( )

× × = ⋅ − ⋅

D E F E D F F D E

( ) ( ) ( )

× × = × × − × ×

D E F G D F E G D G E F

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

× ⋅ × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

RELAZIONI DIFFERENZIALI

% ϕ ψ

($ e sono funzioni vettoriali, e sono funzioni scalari)

∇

(L'operatore nabla ( ) opera sulle variabili spaziali)

( )

∇ ϕ + ψ = ∇ϕ + ∇ψ

$ % $ %

( )

∇ ⋅ + = ∇ ⋅ + ∇ ⋅

$ % $ %

( )

∇ × + = ∇ × + ∇ ×

( )

∇ ϕψ = ϕ∇ψ + ψ∇ϕ

$ % % $ $ % % $ $ %

( ) ( ) ( )

∇ ⋅ = × ∇ × + × ∇ × + ⋅ ∇ + ⋅ ∇

$ $ $

( )

∇ ⋅ ϕ = ϕ ∇ ⋅ + ∇ϕ ⋅

$ % % $ $ %

( )

∇ ⋅ × = ⋅ ∇ × − ⋅ ∇ ×

$ $ $

( )

∇ × ϕ = ϕ ∇ × + ∇ϕ ×

$ % $ % % $ % $ $ %

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∇ × × = ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ⋅ ∇ − ⋅ ∇

∇ ⋅ ∇

ϕ = ∇ ϕ

2

∇ × ∇

ϕ = 0

$

∇⋅∇ × = 0

$ $ $

∇ × ∇ × = ∇∇ ⋅ − ∇ 2

( )

∇ ϕψ = ϕ∇ ψ + ∇ϕ ⋅ ∇ψ + ψ∇ ϕ

2 2 2

2

$ $ $ $

( ) ( )

∇ ϕ = ϕ∇ + ∇ϕ ⋅ ∇ + ∇ ϕ

2 2 2

2

$ $ $ $ $ $

( ) ( ) ( ) ( )

∇∇ ⋅ ϕ = ∇ϕ ∇ ⋅ + ϕ∇∇ ⋅ + ∇ϕ × ∇ × + ⋅ ∇ ∇ϕ + ∇ϕ ⋅ ∇

$ $ $ $ $ $ $

( ) ( ) ( ) ( )

∇ × ∇ × ϕ = ∇ϕ × ∇ × − ∇ ϕ + ⋅ ∇ ∇ϕ + ϕ∇ × ∇ × + ∇ϕ ∇ ⋅ − ∇ϕ ⋅ ∇

2 Identità - 1

TEOREMI DI CALCOLO VETTORIALE

$ ϕ ψ

In quel che segue è una funzione vettoriale, e sono funzioni scalari, V è un volume tridimen-

∂V

sionale il cui elemento infinitesimo è dV, è la superficie bidimensionale chiusa che racchiude V,

Q

avente elemento di area infinitesimo dS con versore normale esterno in dS.

$ $ Q

∫ ∫

∇ ⋅ = ⋅

dV dS

∂

V V Q

∫ ∫

∇ϕ = ϕ

dV dS

∂

V V

$ Q $

∫ ∫

∇ × = ×

dV dS

∂

V V Q

( )

∫ ∫

ϕ∇ ψ + ∇ϕ &sdo