Conoscenze preliminari Elettrotecnica 1

A3 - Coordinate curvilinee, cilindriche, sferiche

A3.1 Sistemi di coordinate curvilinee 3

Un sistema di coordinate curvilinee (u , u , u ) nello spazio è definito, con riferimento ad un

R

1 2 3

sistema cartesiano, da 3 funzioni scalari del tipo:

=

⎧ ( , , )

u u x y z

1 1

⎪ = ( , , )

⎨

u u x y z

2 2

⎪ = ( , , )

⎩

u u x y z

3 3

Le 3 funzioni scalari sopra scritte, o, in alternativa, la funzione vettoriale:

→

: (x, y, z) (u , u , u )

u 1 2 3

costituiscono un cambiamento di coordinate. û 3

ds

1

û 1 û

ds

3 2

ds

2

Figura 1 – Generico sistema di coordinate curvilinee

Chiameremo le superfici di equazioni:

superfici coordinate

=

⎧ ( , , )

u x y z c

1 1

⎪ =

( , , )

⎨

u x y z c

2 2

⎪ =

( , , )

⎩

u x y z c

3 3

dove c , c e c sono delle costanti arbitrarie.

1 2 3

Si osservi che su una superficie coordinata variano solo 2 coordinate. Ad esempio, sulla superficie

=c variano solo le coordinate u e u , mentre u è fissata.

coordinata u

2 2 1 3 2

Chiameremo le 3 linee che si ottengono intersecando a due a due le 3 superfici

linee coordinate

coordinate. Lungo tali linee varia solo una coordinata. Ad esempio, la linea coordinata associata alla

coordinata u è definita dall’intersezione delle superfici coordinate u =c e u =c : lungo tale linea

1 2 2 3 3

varia solo la coordinata u , mentre u e u sono fissate.

1 2 3

Si definiscono poi i versori fondamentali , e relativi al generico punto P di coordinate (u ,

û û û 1

1 2 3

, u ): essi sono i versori tangenti alle tre linee coordinate passanti per P, nel punto P stesso.

u 2 3

= =

ˆ ˆ ˆ

⎧ ( P) ( u , u , u )

u u u

1 1 1 1 2 3

⎪ = =

ˆ ˆ ˆ

(P) ( u , u , u )

⎨

u u u

1 1 1 1 2 3

⎪ = =

ˆ ˆ ˆ

(P) (u , u , u )

⎩

u u u

1 1 1 1 2 3

I versori dunque sono in generale funzioni del punto (e in particolare delle coordinate curvilinee

Si noti la differenza rispetto alle

u , u , u ), cioè la loro direzione e verso variano da punto a punto.

1 2 3

coordinate cartesiane, dove i versori fondamentali sono costanti, cioè hanno sempre la stessa

direzione e lo stesso verso.

Si consideri ora la funzione vettoriale: ˆ ˆ ˆ

= + +

x(u , u , u ) y(u , u , u ) z(u , u , u )

r i i i

1 2 3 x 1 2 3 y 1 2 3 z

che chiameremo cambiamento di coordinate inverso.

Differenziando questa funzione si ha: ∂ ∂

∂ r r r

= + +

d du du du

r 1 2 3

∂

∂ ∂

u u u

1 2 3

∂ ∂ ∂

r r r

Le grandezze vettoriali , , costituiscono una (in generale non ortogonale) per il

base

∂ ∂ ∂

u u u

1 2 3

sistema di coordinate curvilinee considerato. Tali vettori non sono necessariamente a norma

∂ r

unitaria, tuttavia si può dimostrare facilmente che il generico vettore risulta essere alla

tangente

∂

u i

∂ ∂ ∂

r r r

i-esima linea coordinata. Perciò i vettori , , sono paralleli ai rispettivi versori

∂ ∂ ∂

u u u

1 2 3

fondamentali a meno di un fattore di scala. Risulta pertanto:

= + +

ˆ ˆ ˆ

d r h u du h u du h u du

1 1 1 2 2 2 3 3 3

e quindi: ∂ r

≡ ⇒

ˆ

h u ∂

i i u i

∂

1 r

= =

ˆ i 1,2,3 (1)

u i ∂

h u

i i

dove: 2 2 2

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ∂

∂

∂ ∂

x y z

r ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ =

+

+

= =

h i 1,2,3 (2)

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

i ∂

∂

∂ ∂

u u u u

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎝ ⎠

i i i i

sono dette

Le quantità h coefficienti metrici.

i

Mediante tali formule è possibile ricavare facilmente le espressioni dei versori fondamentali in

funzione delle coordinate curvilinee del punto P.

Un sistema di coordinate curvilinee (u , u , u ), si dice se i versori , e sono

ortogonale û û û

1 2 3 1 2 3

mutuamente ortogonali in ogni punto. Se tale condizione è verificata, i versori fondamentali

costituiscono quindi una per il sistema di coordinate curvilinee considerato Se

base ortonormale

inoltre tali versori formano nell’ordine una terna ortonormale destrorsa, cioè risulta:

× =

ˆ ˆ ˆ

u u u

1 2 3

si parlerà di sistema ortogonale destrorso.

In un sistema di coordinate curvilinee il generico versore fondamentale risulta essere

ortogonali, û i

sempre ortogonale alla superficie coordinata di equazione u = costante. In altri termini:

i

⊥ = =

ˆ (u ) i 1,2,3

u c

i

i i

Ciò suggerisce un metodo alternativo per la determinazione dei versori fondamentali. Infatti, è noto

( )

= , ,

dall’analisi che il della funzione scalare è sempre ortogonale, per

u u x y z

gradiente i i

definizione, alla superficie u = costante. E’ quindi immediato concludere che risulta:

i ( )

∇ , ,

u x y z

= =

ˆ i 1,2,3

i (3)

u ( )

i ∇ , ,

u x y z

i

Le formule (3) possono essere quindi impiegate, solamente per sistemi di coordinate curvilinee

per la determinazione dei versori fondamentali, in alternativa alle (1).

ortogonali,

Il sistema fondamentale di versori , e è particolarmente importante perché mediante esso

û û û

1 2 3

si possono ricavare le di un generico vettore dello spazio rispetto al sistema di

componenti

coordinate curvilinee (u , u , u ).

1 2 3 ˆ ˆ ˆ

( , , )

Le di un vettore nel riferimento ortogonale definito dai versori si

u u u

componenti v 1 2 3

ottengono proiettando tale vettore lungo ciascuno dei versori fondamentali:

= ⋅ =

ˆ

v (u , u , u ) i 1,2,3 (4)

v u

i 1 2 3

i

In un sistema ortogonale generico, se si incrementa la coordinata u di una quantità infinitesima du ,

i i

senza variare le altre due coordinate, il punto P si sposterà di un arco elementare di lunghezza ,

ds i

in generale non uguale a (come in coordinate cartesiane), ma ad esso proporzionale.

du

i

,ds ,ds gli lungo le 3 linee coordinate.

Chiameremo ds archi elementari

1 2 3

Si può dimostrare che i coefficienti di proporzionalità sono ancora una volta i coefficienti metrici

definiti precedentemente: = =

s u i 1,2,3 (5)

d h d

i i i

I 3 archi individuano una o parallelepipedo elementare (si veda la figura 1), di cui

cella elementare,

essi formano i 3 spigoli. L’arco elementare nell’intorno del punto P risulta quindi :

totale

= = + + = + +

2 2 3 2 2 2 2 2 2

ds d

r ds ds ds h du h du h du

1 2 3 1 1 2 2 3 3

ed è pari, ovviamente, alla lunghezza della diagonale del parallelepipedo elementare.

Le facce del pa