Conoscenze preliminari elettrotecnica - Parte 3

Decomposizione in frazioni semplici e applicazioni

all’integrazione delle funzioni razionali fratte

A cura di Simone Secchi

13 gennaio 2005

Sommario

Questa dispensa vuole fornire un supporto scritto ad alcuni argomenti trat-

tati durante le esercitazioni. In particolare, enunciamo i teoremi che vengono

tacitamente usati nella pratica. Ciò non significa, in alcun modo, che lo stu-

dente debba saper ripetere tali enunciati in sede d’esame. Tuttavia, è richiesta

la capacità di mettere in pratica la teoria, com’è ovvio. Ogni riferimen-

to bibliografico è stato volutamente evitato, e pertanto gli eventuali errori

tipografici o sviste vanno addebitati esclusivamente all’autore della dispensa.

1 Decomposizione di una funzione razionale frat-

ta

Definizione 1. Una funzione reale f , di variabile reale, è detta funzione razionale

fratta quando si può scrivere nella forma P (x)

f (x) = , (1)

Q(x)

dove P e Q sono due polinomi nella variabile x, di gradi rispettivamente deg P e

−1 {x ∈ |

deg Q. Se Q (0) = Q(x) = 0} è l’insieme degli zeri del polinomio Q,

R

−1

\ →

allora f : Q (0)

R R.

Esempio 1. Le seguenti funzioni sono razionali fratte:

1

1. f (x) = x

1−x

2. f (x) = 2

1+x

5 9

−7x

x

3. f (x) = 4

1+πx

Per i nostri scopi, conviene osservare che ci si può ricondurre al caso di una

funzione razionale in cui il grado del numeratore sia strettamente minore del grado

del denominatore. È il contenuto del seguente teorema; la dimostrazione si basa sulla

cosiddetta proprietà del minimo per l’insieme dei numeri naturali, ed è pertinenza

N

di studi algebrici più approfonditi. 1

Teorema 1 (Divisione euclidea). Siano P e Q due polinomi, di gradi rispettivi

≥

deg P e deg Q, con deg P deg Q. Esistono due polinomi S e R, tali che il grado

di R sia minore di deg Q, e inoltre

P (x) = S(x)Q(x) + R(x).

Tali polinomi sono univocamente determinati. Si usa chiamare S il quoziente di P

e Q, mentre R si chiama resto della divisione fra P e Q.

Non cercheremo in questa dispensa di spiegare l’algoritmo con cui si effettua in

pratica la divisione fra polinomi. Essendo una tecnica tipicamente insegnata nel

biennio delle scuole superiori, la supponiamo senz’altro nota allo studente.

Useremo poi, più o meno eplicitamente, il seguente risultato, noto come teorema

fondamentale dell’algebra. Naturalmente, la dimostrazione è omessa.

Teorema 2. Ogni polinomio P a coefficienti reali, di grado n, possiede esattamente

n radici, ciascuna contata con la propria molteplicità.

Osservazione 1. Una precisazione sull’enunciato. È necessario contare le radici

2 −

tenendo conto della molteplicità. Ad esempio, x 1 è un polinomio di grado due,

2 −

dotato di due radici (±1, ovviamente). Anche x 2x + 1 è un polinomio di grado

2 2

− −

due, dotato di una radice doppia x = 1, giacché x 2x + 1 = (x 1) . In altri

termini, x = 1 è una radice del nostro polinomio, e la sua molteplicità è due.

Corollario 1. Se due polinomi n n−1

P (x) = a x + a x + . . . + a

0 1 n

n n−1

Q(x) = b x + b x + . . . + b

0 1 n

dello stesso grando n coincidono in ogni punto: ∈

P (x) = Q(x) per ogni x R,

allora a = b , j = 0, 1, . . . , n.

j j

Sulla scorta del Teorema 1, possiamo restringere d’ora in avanti la nostra at-

tenzione a quelle funzioni razionali fratte che si presentano come rapporto fra un

numeratore di un certo grado, ed un denominatore di grado strettamente minore di

quello del numeratore. Infatti, se f = P/Q, allora

R ,

f = S + Q

dove S e R sono determinati come nel teorema euclideo. Ma sappiamo dalla tesi

di tale teorema, che il grado di R è minore del grado di Q, sicché R si può sempre

scrivere come somma di un polinomio S e di una funzione razionale fratta del tipo

R/Q. 2

Esempio 2. Consideriamo la funzione razione fratta:

1

R(x) = .

2 −

x 1

Si tratta di una funzione razionale fratta in cui il denominatore è un polinomio di

grado deg Q = 2. Sarebbe comodo, per certi versi, poter riscrivere R come somma

di funzioni razionali “più banali”, ad esempio aventi a denominatore dei polinomi di

2 − −

grado uno. Nel caso specifico, se osserviamo che x 1 = (x 1)(x + 2) e cerchiamo

due numeri A e B reali tali che A B

1 = + , (2)

2 − −

x 1 x 1 x +1

facendo il denominatore comune e semplificando i denominatori, arriviamo alla

relazione −

A(x + 1) + B(x 1) = 1

che deve vale per ogni x. Più esplicitamente,

−

(A + B)x + A B = 1.

Siccome questa relazione deve valere per ogni x, il coefficiente della x deve essere

nullo, mentre il termine noto deve essere 1. In breve, abbiamo il sistema, nelle

incognite A e B: (

A + B =0

−

A B =1 −1/2.

L’unica soluzione di tale sistema è A = 1/2, B = Infine,

1

1 1

1 − .

R(x) = −

2 x 1 2 x +1

Ricapitoliamo schematicamente:

• Abbiamo trovato le radici del polinomio a denominatore;

• abbiamo congetturato che si potesse scrivere una identità come (2);

• abbiamo determinato le costanti A e B uguagliando i coefficienti e risolvendo

un sistema lineare di due equazioni in due incognite.

Questo approccio, in realtà, ha portata piuttosto generale, potendosi applicare

in una quantità di casi molto ampia. A puro scopo di curiosità, riportiamo sen-

za dimostrazione l’enunciato dei teoremi che giustificano gli escamotages utilizzati

nella pratica. Le dimostrazioni, qui omesse, richiederebbero ragionamenti piuttosto

astratti di algebra dei polinomi. Sarebbe possibile – e forse preferibile – ambientare

questa teoria nella cosiddetta Analisi Complessa, sebbene gli strumenti necessari

diventino molto raffinati. 3 ≥

Teorema 3. Sia Q un polinomio di grado n 1. Si possono determinare in modo

2 − 4q < 0 per

unico r + 2s numeri reali a , . . . , a , p , . . . , p , q , . . . , q , tali che p j

1 r 1 s 1 s j

j = 1, . . . , s, e r + s numeri interi positivi m , . . . , m , n , . . . , n , e una costante

1 r 1 s

reale c tali che: 2 n

m 2 n

m · · ·

· · · −

− (x + p x + q ) . (3)

(x a ) (x + p x + q )

Q(x) = c(x a ) s

r 1

1 s s

r 1 1

1

Lo studente rifletta brevemente sul significato del teorema precedente: nei fatti,

il polinomio Q si fattorizza come prodotto di polinomi lineari elevati a opportune

potenze, e in prodotti di polinomi di secondo grado privi di radici reali, anch’essi

elevati a opportune potenze. 2 1 1 3

− −

Esempio 3. Come abbiamo visto, x 1 = 1(x 1) (x + 1) . Similmente x + x =

2 1

·

1 x(x + 1) .

Teorema 4 (Decomposizione in frazioni semplici). Siano P e Q due polinomi,

con il grado di Q maggiore o uguale a uno, e supponiamo che Q ammetta la fatto-

h

h`

i ,

, M

, L

rizzazione (3). Si possono univocamente determinare costanti reali K j ` n

n

i

(i = 1, . . . , r; j = 1, . . . , m ; h = 1, . . . , s; ` = 1, . . . , n ) e un polinomio S tali che

i i h h

n

m s

r h` h