Conoscenze preliminari Elettrotecnica 2

incognita

Dunque è un'equazione

d. - - -

- -

G

H

G

H ( (

condizioni iniziali di molteplicità uguale a 2.

di molteplicità uguale a 1.

MAPPA DEI FONDAMENTALI

Equazioni differenziali del primo ordine F(x; y; yl) =

Un’equazione differenziale del primo ordine si può ricondurre alla forma 0, dove

y x yl

è una funzione nella variabile ed è l’incognita e è la sua derivata.

y

Ogni funzione che soddisfa l’equazione è detta soluzione particolare o integrale

particolare.

Si chiama integrale generale di un’equazione differenziale la famiglia di tutte le sue infinite T

soluzioni.

Un problema di Cauchy del primo ordine è della forma

l

F ( x

; y ; y ) = 0 equazione differenziale TEORIA

* .

y (

x ) = y condizione iniziale

0 0

Risolvere un problema di Cauchy del primo ordine significa trovare la soluzione particolare

y.

dell’equazione differenziale che soddisfa anche la condizione iniziale sul valore di

Equazioni a variabili Equazioni differenziali

separabili del primo ordine lineari

Un’equazione differenziale è a variabili Un’equazione differenziale del primo ordine

l

y = g ( x

) $ h ( y ) ,

separabili se è della forma lineare è della forma y

g h grado di

con e funzioni continue.

› uguale a 1

l 3

y = 4

x $ y

Risolviamo l’equazione . l

y = a (

x ) $ y + b (

x )

y !

⤻

separiamo le variabili supponendo 0

dy dy funzioni continue

"

3 3

= 4 $ = 4

x y x dx

y

dx b (

x

) = 0

Se , l’equazione è lineare

omogenea e diventa a variabili separabili.

dy

y y 3

= 2

x dx b (

x

) ! 0 , l’equazione è completa e,

Se

y posto

" " "

4 4

4 x + c c x

ln y = x + c y = e y = e e y

( ) = ( )

A x a x dx ,

"

4 4

c x x

y = ! e e y = ke , k ! R - { 0

} y !

poiché 0. l’integrale generale è:

l

y = y =

Per 0 abbiamo 0

. y D

:

A (

x

) -

A (

x )

^ h

= +

y e b x e dx c .

4

x

y = ke , k ! R

Quindi, .

Equazioni differenziali risolvibili per sostituzioni A (

x ; y )

l

• y =

Un’equazione del primo ordine è omogenea se si può scrivere nella forma , con

B (

x ; y )

( ; )

A ( x ; y ) B x y

e polinomi omogenei dello stesso grado.

y = tx e sostituendo, l’equazione si riconduce a un’equazione a variabili separabili.

Ponendo l

• a a !

y + a (

x ) y = b (

x ) y

Un’equazione del primo ordine è di Bernoulli se è della forma , con 0

a ! 1 .

e a - a

y z = y

1

, ponendo e sostituendo, si ottiene un’equazione del

Dividendo i due membri per

primo ordine lineare. È

continua

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CAPITOLO 28 EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Equazioni differenziali del secondo ordine lineari

a c