Compendio di Termodinamica: principi, cicli e applicazioni, appunti di Fisica

T T T

1 2

7.1.3 Seconda Legge di Gay-Lussac (Trasformazione Isocora)

A volume costante (V costante), la pressione di una data massa di gas è direttamente

=

proporzionale alla sua temperatura assoluta.

P P P

1 2

costante

= =⇒ =

T T T

1 2

7.2 Equazione di Stato e Calori Specifici

7.2.1 Equazione di Stato dei Gas Perfetti

Combinando le tre leggi con il si ottiene l’equazione di stato dei

Principio di Avogadro,

gas perfetti: P V = nRT

• = Pressione [Pa]

P

• = Volume [m ]

3

V

• = Numero di moli [mol]

n

• = Costante universale dei gas J mol K

−1 −1

≈ · ·

R 8.314

• = Temperatura assoluta [K]

T 15

Principi di Termodinamica Damiano

7.2.2 Energia Interna di un Gas Perfetto

L’energia interna di un gas perfetto dipende unicamente dalla sua temperatura:

Questo perché l’energia interna è data solo dalla somma dell’energia cinetica

U = U (T ).

delle sue molecole, che è proporzionale alla temperatura. La variazione di energia interna

per un gas perfetto è sempre data da:

∆U = nC ∆T

V

Questa formula è valida per qualsiasi trasformazione.

7.2.3 Calore Scambiato e Calori Specifici Molari

Il lavoro è nullo (L Dal primo

• = = 0).

Trasformazione Isocora (V cost):

principio: Q = ∆U = nC ∆T

V V

è il

C calore specifico molare a volume costante.

V

• Il gas compie lavoro (L ).

= = P ∆V

Trasformazione Isobara (P cost):

Q = ∆U + L = nC ∆T + P ∆V

P V

Usando l’equazione di stato (P ):

∆V = nR∆T

Q = nC ∆T + nR∆T = n(C + R)∆T

P V V

Si definisce e il calore scambiato è:

C = C + R,

P V Q = nC ∆T

P P

è il

C calore specifico molare a pressione costante.

P

Relazione di Mayer

La relazione fondamentale tra i due calori specifici è:

−

C C = R

P V

Questo significa che, per aumentare la temperatura di una mole di gas di 1 K, a

pressione costante è necessario fornire una quantità di calore aggiuntiva pari a R

rispetto al caso a volume costante, per compiere il lavoro di espansione.

16

Principi di Termodinamica Damiano

C C γ = C /C

Tipo di Gas V P P V

Monatomico (He, Ne, Ar) 3 5 ≈

R R 5/3 1.67

2 2

Biatomico (N , O , H ) 5 7

R R 7/5 = 1.40

2 2 2 2 2

Tabella 2: Valori dei calori specifici molari per gas ideali.

8 Analisi Dettagliata delle Trasformazioni

8.1 Trasformazione Isocora (Volume costante)

• L = 0.

Lavoro:

• .

Q = nC ∆T

Calore: V V

• .

∆U = Q

Energia Interna: V

8.2 Trasformazione Isobara (Pressione costante)

• .

L = P ∆V = nR∆T

Lavoro:

• .

Q = nC ∆T

Calore: P P

• .

∆U = nC ∆T

Energia Interna: V

8.3 Trasformazione Isoterma (Temperatura costante)

• ∆U = 0.

Energia Interna:

V .

• P

f = nRT ln

Q = L = nRT ln

Calore e Lavoro: i

V P

i f

8.4 Trasformazione Adiabatica (Senza scambio di calore)

Definizione

Non c’è scambio di calore tra il sistema e l’ambiente (Q Il processo avviene in

= 0).

un contenitore isolato o molto rapidamente.

• costante, costante, costante,

γ γ−1 γ 1−γ

P V = T V = T P =

Equazioni di Poisson:

dove è il coefficiente adiabatico.

γ = C /C

P V

• Q = 0.

Calore:

• −L.

∆U =

Energia Interna: 17

Principi di Termodinamica Damiano

−P

P V V .

• i i f f

−∆U −nC

L = = ∆T =

Lavoro: V γ−1

9 Le Macchine Termiche

Definizione

Una macchina termica è un dispositivo ciclico che converte in

calore lavoro mec-

Opera scambiando calore con una (T ) e una

canico. sorgente calda sorgente

C

(T ).

fredda F

9.1 Principio di Funzionamento

1. Assorbe calore dalla sorgente calda a .

|Q | T

C C

2. Converte parte di questa energia in lavoro utile, L.

3. Cede il calore residuo alla sorgente fredda a .

|Q | T

F F

Dal primo principio per un ciclo (∆U = 0):

|Q | − |Q |

L = C F

Il Secondo Principio della Termodinamica (enunciato di Kelvin-Planck) implica che è

impossibile convertire il 100

9.2 Rendimento

Il (η) di un motore termico è il rapporto tra il lavoro prodotto e il calore

rendimento

assorbito: |Q | − |Q | |Q |

L C F F

−

= =1

η = |Q | |Q | |Q |

C C C

Poiché si ha sempre

|Q | > 0, η < 1.

F

10 La Macchina di Carnot

Concetto Chiave

La macchina di Carnot è una macchina termica e che definisce

ideale reversibile

il tra due temperature e .

T T

massimo rendimento possibile C F

18

Principi di Termodinamica Damiano

10.1 Il Ciclo di Carnot

È composto da quattro trasformazioni reversibili:

1. : Assorbe calore

→ |Q |.

T

Espansione Isoterma (A B) a C C

2. La temperatura scende da a .

→ T T

Espansione Adiabatica (B C): C F

3. : Cede calore

→ |Q |.

T

Compressione Isoterma (C D) a F F

4. La temperatura risale da a .

→ T T

Compressione Adiabatica (D A): F C

10.2 Rendimento di Carnot e Teorema

Il rendimento della macchina di Carnot dipende solo dalle temperature assolute delle

sorgenti: T

F

−

η = 1

Carnot T

C

Rendimento di Carnot

Per una macchina di Carnot, si dimostra che vale la relazione:

|Q | T

F

F =

|Q | T

C C

Sostituendo nella formula generale del rendimento:

|Q | T

F F

− −

η =1 =⇒ η = 1

Carnot

|Q | T

C C

Teorema di Carnot

1. Nessuna macchina termica reale (irreversibile) può avere un rendimento

maggiore di una macchina di Carnot che opera tra le stesse temperature.

≤

η η

reale Carnot

2. Tutte le macchine reversibili che operano tra le stesse due sorgenti hanno lo

stesso rendimento di Carnot.

Per ottenere un rendimento del 100%, servirebbe una sorgente fredda a

Osservazione:

0 K, il che è impossibile per il Terzo Principio della Termodinamica.

19

Principi di Termodinamica Damiano

11 Secondo Principio della Termodinamica

Il secondo principio della termodinamica è un principio fondamentale che stabilisce la

dei processi termodinamici spontanei e i di conversione del calore in

direzione limiti

lavoro.

11.1 Enunciati Fondamentali

Esistono due enunciati storici, ma equivalenti, del secondo principio:

Enunciato di Clausius

È impossibile realizzare un processo il cui unico risultato sia il passaggio di calore da

un corpo più freddo a uno più caldo. Per far avvenire tale passaggio, è necessario

compiere un lavoro dall’esterno (come nel caso di un frigorifero).

Enunciato di Kelvin-Planck

È impossibile realizzare una macchina termica, operante in un ciclo, il cui unico

risultato sia la conversione in lavoro di tutto il calore assorbito da un’unica sorgente a

temperatura uniforme. Ciò significa che nessuna macchina può avere un rendimento

del 100%.

11.2 Dimostrazione dell’Equivalenza degli Enunciati

I due enunciati sono due facce della stessa medaglia. Si può dimostrare che se uno è falso,

lo è anche l’altro. 20

Principi di Termodinamica Damiano

La violazione di Clausius implica la violazione di Kelvin-Planck

Supponiamo, per assurdo, di possedere un frigorifero "impossibile" che

Ipotesi:

viola l’enunciato di Clausius. Questo frigorifero trasferisce spontaneamente una

quantità di calore da una sorgente fredda a una sorgente calda senza

Q T T

F F C

richiedere lavoro esterno (L = 0).

Costruzione del sistema combinato:

• Accoppiamo il frigorifero impossibile con una normale macchina termica che

opera tra le stesse sorgenti e .

T T

C F

• La macchina termica assorbe un calore dalla sorgente calda, compie un

Q C

lavoro e cede il calore alla sorgente fredda.

−

L = Q Q Q

C F F

Analisi del sistema combinato:

La sorgente fredda cede al frigorifero impossibile e riceve dalla

• Q Q

F F

macchina termica. Il suo bilancio termico netto è nullo.

• La sorgente calda cede alla macchina termica e riceve dal frigorifero.

Q Q

C F

Il calore netto scambiato dalla sorgente calda è .

−

Q = Q Q

netto C F

• Il sistema combinato (frigorifero + macchina) produce un lavoro netto L =

.

−

Q Q

C F Il sistema combinato si comporta come un unico dispositivo che

Conclusione:

assorbe il calore netto da un’unica sorgente (quella calda) e lo converte

Q

netto

interamente in lavoro Questo contraddice l’enunciato di Kelvin-Planck. Pertanto,

L.

se Clausius fosse falso, anche Kelvin-Planck sarebbe falso.

21

Principi di Termodinamica Damiano

La violazione di Kelvin-Planck implica la violazione di Clausius

Supponiamo, per assurdo, di avere una macchina termica "impossibile"

Ipotesi:

che viola l’enunciato di Kelvin-Planck. Questa macchina assorbe calore da una

Q

sorgente e lo converte integralmente in lavoro L = Q.

Costruzione del sistema combinato:

• Utilizziamo il lavoro prodotto da questa macchina per alimentare un

L

frigorifero ordinario che opera tra una sorgente fredda e la stessa sorgente

T

F

(ora calda) .

T

C

• Il frigorifero assorbe calore dalla sorgente fredda e, utilizzando il lavoro

Q

F

cede un calore alla sorgente calda.

L, Q = Q + L

C F

Analisi del sistema combinato:

• Il lavoro totale scambiato dal sistema combinato con l’esterno è nullo.

• La sorgente calda cede calore alla macchina impossibile e riceve calore

Q

dal frigorifero. Poiché il calore netto ricevuto dalla

Q = Q + L L = Q,

C F

sorgente calda è .

−

(Q + Q) Q = Q

F F

Il sistema combinato agisce come un unico dispositivo il cui solo

Conclusione:

risultato è trasferire una quantità di calore dalla sorgente fredda alla sorgente

Q T

F F

calda senza alcun apporto di lavoro esterno. Questo viola l’enunciato di Clausius.

T

C

Pertanto, se Kelvin-Planck fosse falso, anche Clausius sarebbe falso.

11.3 Dimostrazione del Teorema di Carnot

Il Teorema di Carnot