Chimica analitica

CHIMICA ANALITICA

AA 2020-2021

01/03/21

Chimica analitica quantitativa: non ci interessa cosa c’è dentro ma quanto. Ogni misurazione ha un errore associato,

che dovremo saper calcolare.

L’esame è classificato come orale ma è presente un esercizio numerico in cui viene richiesto di costruire una curva di

titolazione. In seguito, si effettua la prova orale, che verterà sulla parte teorica del corso. È possibile fare scritto e orale

in appelli separati.

Errore in chimica analitica

L’analisi chimico – quantitativa è una procedura che porta, solitamente, alla determinazione della concentrazione di

un componente all’interno di una certa sostanza, detta campione. Dall’analisi otterremo un valore numerico soggetto

ad errore, a priori sconosciuto. Senza quest’ultimo, infatti, la misurazione perde di significato perché è indispensabile

per sapere il range all’interno del quale si trova il valore vero. Per determinare l’errore che affligge una misura

bisognerà ripetere l’analisi più volte, ovvero fare dei replicati (sempre se tempi e costi lo permettono), e trattare i dati

ottenuti con un approccio di tipo statistico: questo perché, in una situazione reale, le misurazioni effettuate forniranno

tutte valori differenti a causa della presenza dell’errore. Ripetendo quindi più volte la misurazione, riusciamo ad

estrapolare il valore di questo errore e dare così un senso al dato ricavato. L’errore sperimentale può essere di tre tipi,

ognuno con effetti diversi sul risultato del replicato:

• Errore sistematico (o determinabile): può non essere presente. È costante per ogni replicato e non influenza la

dispersione dei dati ma li sposta tutti di un certo valore rispetto al valore vero. Ha un origine definita, di tipo

strumentale (calibrazioni errate, misurazioni fatte a T diverse da quella di calibrazione, …), operativo

(disattenzione, soggettività su misurazioni visive, …) o di metodo (reazioni chimiche lente o incomplete, reazioni

secondarie indesiderate, …), e può essere ridotto/eliminato conoscendo a priori determinati fenomeni ed

effettuando considerazioni preliminari (es. solubilità dei precipitati). Bisogna perciò sapere il valore vero per poter

calcolare l’errore sistematico.

L’errore sistematico determina l’accuratezza della misurazione, ovvero la concordanza del risultato ottenuto

rispetto a quello vero. Si distinguono tre tipi di errore sistematico:

→ = ̅ −

o Errore assoluto E

̅ −

→ =

o Errore relativo E R

→ % = − 100%

o Errore relativo percentuale E %

R

L’errore assoluto è utile ma fino ad un certo punto, perché non ci dà nessuna informazione su che scala questo

errore colpisce (es. su due misurazioni con valori 5 e 200000, un errore di 1 ha molto impatto sul primo valore ma

non sul secondo). Per questo motivo è consigliato calcolare anche quello relativo, essendo il suo valore più

esaustivo. Una volta capita l’origine dell’errore si può andare ad eliminarlo/ridurlo all’origine o eventualmente si

modifica il valore finale a posteriori.

Valutando l’errore sistematico in dipendenza dalla quantità di analita si può risalire all’origine dell’errore stesso,

studiando diverse quantità di campioni o campioni simili tra di loro contenenti diverse concentrazioni di analita.

Dal grafico ricaviamo perciò che l’errore assoluto è indipendente dalla

concentrazione di analita, e agisce sempre sia per eccesso che per difetto. Inoltre,

quando non è presente errore sistematico il valore misurato coincide con quello

vero. Per ridurre l’importanza dell’errore si usano grandi quantità di analita, in

modo che l’errore relativo sia molto piccolo e abbia quindi meno impatto. Questo

tipo di errore viene definito errore sistematico

costante.

Se l’errore dipendesse invece dalla quantità di

analita l’errore prenderebbe il nome di errore

sistematico proporzionale, e in questo caso ciò che sarà indipendente dalla

quantità di analita nel campione sarà l’errore relativo. In questo caso, l’unico

modo per ridurre o eliminare l’errore sarebbe agire direttamente sulle cause.

Abbiamo detto che per poter calcolare l’errore sistematico abbiamo bisogno di

sapere il valore vero. Per poter conoscere esattamente il suo valore possiamo affidarci a quattro

tecniche/metodologie differenti:

o Acquisto di prodotti certificati a concentrazione nota (SRM);

o Preparazione artificiale di campioni, nel limite del possibile (non è possibile riprodurre un campione di

sangue);

o Utilizzo di campioni fortificati, ovvero aggiungere una certa quantità di analita ad un campione reale. Se

dopo la misurazione il valore ottenuto è uguale a quello aggiunto significa che non ne era presente a priori,

altrimenti si fa la differenza e si ottiene la quantità inizialmente presente (in assenza di errore sistematico);

o Riferimento in parallelo: analisi già certificate per quella determinata procedura. Se il valore della

misurazione sul campione da esaminare e quello di riferimento coincidono, allora non si avrà errore; vale

il contrario.

• Errore casuale (o indeterminabile): è sempre presente, non è eliminabile e causa una dispersione dei dati ricavati

da un’analisi. La distribuzione dei valori ottenuti genera una sorta di campana tipica di quest’errore.

Determina la precisione della misura, e non ci fornisce nessuna informazione riguardo all’errore casuale dato dalla

successiva misurazione. Possiamo però studiare il comportamento di quest’errore ripetendo più volte possibile la

misurazione e ottenendo così una rappresentanza maggiore. Il suo valore, infine, è dato da grandezze di tipo

statistico: 2

)

∑( −̅

√

→ =

o Deviazione standard s −1

→ =

o Deviazione standard relativa s R ̅

→ ⋅ 100%

o =

Coefficiente di variazione CV

Per individuare l’errore casuale, si analizza la distribuzione dei dati ottenuti dai vari replicati. Più valori ottengo,

più la stima dell’errore sarà migliore. L’errore casuale è dato da parametri che non siamo in grado di controllare,

come variazioni di P e T atmosferici, oscillazioni delle pesate, presenza di campi magnetici ecc…. Possiamo solo

cercare di ridurlo, ma non arriverà mai a 0. Questo tipo di errore viene calcolato su una popolazione di dati, ovvero

un insieme infinito di dati/misurazioni effettuat*. Si può assimilare l’errore casuale ad una somma di errori



microscopici che hanno uguale probabilità di essere positivi (+) o negativi (-); quando il numero di questi errori

tende ad infinito e il loro valore tende a 0, si ricava la curva Gaussiana, il quale descrive l’andamento dell’errore

casuale all’interno di una popolazione.

(-)(-) (-)(+) + (+)(-) (+)(+)

La distribuzione Gaussiana è data dalla rispettiva funzione di Gauss:

2

(−)

1 − 2

() = ⅇ 2

√2

1

dove il termine , detto indice di normalizzazione, ha lo scopo di rendere

√2 ,

l’area sottesa dalla curva unitaria. La funzione dipende da ovvero la media

,

della popolazione, e ovvero la deviazione standard della popolazione, che

determinano rispettivamente posizione e ampiezza della funzione stessa. Ha un



massimo in ed è simmetrica rispetto a tale valore. Ci sono casi in cui la

distribuzione gaussiana non può però essere utilizzata perché non possono

esserci errori negativi (es. contatore di radiazioni). In questi casi dovremo

utilizzare distribuzioni differenti come la distribuzione di Poisson, che

comprende valori di errore solo positivi e interi.

Dal punto di vista matematico, l’equazione della Gaussiana rappresenta una

densità di probabilità, e perciò la probabilità di ottenere un certo valore sarà data dall’area sottesa dalla curva

nell’intervallo di interesse. Per calcolarla, basterà quindi calcolare l’integrale definito nell’intervallo - :

1 2

2 2

(−)

1 −

) ∫ 2

( , = ⅇ ⅆ

2

1 2 √2

1

La curva non fornisce però un integrale definito, e dovranno perciò essere applicate opportune approssimazioni per

= 0 = 1,

renderla integrabile. Ci si riconduce ad una curva Gaussiana normale, dove e espressa in funzione di una

−

=

variabile adimensionale :

2

1

−

() = ⅇ

√2

Per passare dalla Gaussiana classica a quella normale si

trasferiscono su quest’ultima i valori di z corrispondenti a quelli

 

di e della curva di partenza.

• Errore grossolano: risultato di un errore commesso dall’operatore

(pesata, prelievo, volume osservato errato). È ridotto se l’operatore è

esperto. Ha un valore imprevedibile e solitamente lo si riconosce dalla

presenza di un valore molto diverso rispetto agli altri, definito outlier.

Essendo isolato rispetto agli altri valori, potrà essere scartato a priori.

Con un numero sufficiente di dati i vari parametri statistici forniranno il valore vero. In pratica, però, il numero di

replicati che possono essere effettuati è limitato per motivi di costi e tempo. Ciò significa che bisognerà lavorare con

un numero limitato di essi, definito campione (non superiore a 40 dati). Quando si effettua l’analisi di un campione,

questo può però non essere sempre rappresentativo di un’intera popolazione; di conseguenza, media e deviazione

standard potranno non coincidere tra popolazione e campione, ma diventeranno il più simili possibili all’avvicinarci dei

40 dati limite. POPOLAZIONE CAMPIONE

∑ ∑

= ̅ =

2 2

)

∑( − ) ∑( − ̅

=√ =√

−1



− 1),

s, essendo rapportato ai gradi di libertà ( fornirà una stima migliore rispetto a perché avrà un valore maggiore

e quindi un intervallo di errore più ampio. Combinando le deviazioni di più campioni differenti, ma della stessa

popolazione, si può calcolare la deviazione standard comune, la quale fornirà una stima dell’errore migliore rispetto

a quella data da un singolo campione: 2 2 2

∑( − ̅̅̅)

+ ∑( − ̅̅̅)

+ . . . +∑( − ̅̅̅)

1 2

√

=

+ + ⋯ + −

1 2 .

Essendo il campione non rappresentativo della popolazione, la sua media non coinciderà col valore vero Possiamo

però definire un intervallo, detto intervallo di fiducia (IF), centrato sulla media del campione e attorno al quale si ha

.

una certa probabilità di trovare il valore vero Questa probabilità è data dal livello di fiducia (LF), indispensabile per

sapere l’ampiezza dell’intervallo; più il LF aumenta, più probabilità avrò di ottenere il valore vero; allo stesso tempo,

però, si avrà sempre meno certezza nei confronti del suo valore perché avrò un range di valori possibili maggiore.

L’intervallo di fiducia è definito come:

() = ̅ ± √

dove t sta per parametro t di Student corrispondente ed equivalente ai gradi di libertà. Se al posto di s si conoscesse

,

direttamente l’intervallo si modifica:

() = ̅ ± √

→ ∞ = .

perché se allora L’intervallo di fiducia può essere utilizzato per capire se una tecnica analitica è

adatta/corretta o meno.

05/03/21

Test di significatività

Il confronto fra dati sperimentali è alla base del metodo scientifico, ma deve essere effettuato tenendo conto

dell’incertezza legata alla non rappresentatività del campione. Vengono quindi effettuati dei test di significatività, test

che indicano se, ad un certo LF stabilito, una differenza tra il valore sperimentale e quello vero è effettivamente

presente o è data semplicemente da errori di tipo casuale. Il test permette di stabilire la veridicità di due ipotesi:

• Ipotesi nulla H: le grandezze in esame sono effettivamente uguali ed è presente errore casuale;

• Ipotesi alternativa H : le grandezze in esame sono effettivamente diverse.

a

I test sono fatti in modo da essere molto semplici e funzionano per confronto: se il valore critico (teorico, di soglia) è

maggiore di quello sperimentale allora il test è positivo (vale H), mentre se fosse minore allora il test sarà negativo

(varrà H ).

a

I test possono essere classificati in due categorie:

• 1 coda: valuta solo se il valore sperimentale è maggiore o minore del valore vero. Si applica poco, e solo se si

conosce già il valore sperimentale e ciò a cui si vuole arrivare;

• 2 code: valuta solo se c’è una differenza tra i due valori, e quindi sia che sia maggiore che minore. È più utilizzato.

(100

= − )%),

Spesso si usa il livello di significatività p (

il quale indica la probabilità che il valore sperimentale sia

effettivamente vero. I valori minori indicano la probabilità

che la differenza tra due valori sia dato da errore casuale, e al

contrario LF indicherà la probabilità che il valore

sperimentale sia reale.

Test T

Test a due code. Ne esistono di tre tipi, a seconda dei dati che andiamo a confrontare:

1. Test T per confronto di un dato sperimentale e un dato atteso

Il dato sperimentale sarà dato dalla media su N misure, e il valore critico sarà dato dal parametro t di Student

relativo al LF scelto. | |√

− ̅

=

Confrontando il t tabulato e quello sperimentale posso concludere che:

• >

Se allora la differenza tra i valori sarà data da errori casuali;

• >

Se allora la differenza tra i valori sarà effettivamente presente.

2. Test T per confronto di dati sperimentali

I due dati sperimentali saranno dati dalla media su N e N misure, e il valore critico sarà dato dal parametro t di

1 2

Student relativo ai gradi di libertà (N + N – 2) e al LF scelto.

1 2

1 2

|̅ |√

− ̅

1 2 +

1 2

=

2 2

∑( − ̅̅̅)

+ ∑( − ̅̅̅)

1 2

√

=

+ − 2

1 2

3. Test T per confronto tra insiemi di dati accoppiati

I due insiemi devono avere lo stesso N e deve esistere una relazione tra i due insiemi di dati per ogni singolo dato.

Anziché ragionare in termini di medie possiamo lavorare sulle coppie di dati e le loro differenze: si avranno perciò

ⅆ

un numero N di differenze , che dovrò confrontare invece che confrontare i singoli dati.

|∆̅|√

=

∆

Test F

Test che permette di confrontare le deviazioni standard di due serie di dati N e N . Il valore critico è il parametro F,

1 2

tabulato a determinati livelli di fiducia e dal numero di dati che compongono le due serie (tabella a doppia entrata).

12

= 2

2

2

>

con = varianza, e .

1 2

Test G (di Grubbs)

Test che permette di determinare se un valore sospetto è effettivamente un outlier, e quindi da scartare, o meno.

̅ − − ̅

= =

̅ è calcolato comprendendo anche il valore sospetto. Il valore critico è il parametro G, tabulato secondo LF e gradi di

> >

libertà. Se , allora il dato è un outlier, mentre se il dato non va scartato.

Per stabilire il valore di un errore a livello analitico bisogna sapere in che modo è stato ottenuto il risultato e

considerare il tipo e il numero totale di misurazioni effettuate.:

• Quando si hanno un numero n di misurazioni, e quindi un’analisi in replicato, l'errore associato può essere ricavato

con i metodi visti finora;

• Quando si effettua una singola misura, l'errore si ricava sulla base dello strumento utilizzato. Gli errori stumentali

possono essere digitali (es. bilancia, pH-metro) o analogici (es. matraccio, buretta, pipette);

• Quando il risultato dell’analisi è ottenuto da un calcolo matematico (moltiplicazioni o divisioni), l'errore totale sarà

il risultato della combinazione di più errori dati dai singoli strumenti secondo una legge detta legge di

propagazione degli errori: 2 2

√ 2 2

( ) ( )

= + + ⋯

1 2

1 2

Questa legge afferma che l’errore totale è minore della somma dei vari errori ma è maggiore di ogni singolo errore.

08/03/21

L’errore può anche essere espresso implicitamente riportando il risultato usando solo le sue cifre significative, ovvero

le cifre certe pi