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PASSAGGIO INVERSO
La standardizzazione è un passaggio comodo perché mi permette con il medesimo grafico di rappresentare una qualunque situazione sperimentale. Tuttavia, per esprimere il risultato è necessario tornare indietro da questa standardizzazione alla grandezza originale. Nell'immagine sottostante sono illustrati i passaggi: partiamo dall'aver definito l'intervallo di fiducia, incluso con una certa probabilità tra -t e +t. Il valore t abbiamo detto essere pari alla media delle repliche meno il valore vero diviso la deviazione standard della media. Sostituiamo questa formula a t e passiamo quindi al secondo step. A questo punto, al fine di isolare il valore vero (μ) moltiplichiamo da entrambe le parti per la deviazione standard della media (s), così da eliminare il denominatore, e sommiamo o sottraiamo a destra e a sinistra la media delle repliche (x). In questo modo arriviamo al terzo step, dove definiamo l'intervallo di.Confidenza in cui è compreso il valore vero. È un intervallo centrato sulla media in cui l'estremo superiore è dato da x+t·s mentre l'estremo inferiore è dato da x-t·s.
Un altro modo di scrivere quanto detto è quello sottostante dove semplicemente abbiamo espresso la deviazione standard della media che per definizione è pari alla deviazione standard diviso la radice quadrata del numero di misurazioni effettuate.
Da cosa dipende t?
L'intervallo di fiducia è quindi definito dai seguenti fattori:
- I termini ±t ed s definiscono la stima dell'incertezza e quindi la semiampiezza dell'intervallo di confidenza.
- In particolare, t è definito da due parametri: il grado di libertà, dato dal numero di repliche effettuate meno 1, e il livello di significatività, il complemento della probabilità.
Esempio di calcolo dell'intervallo di fiducia:
Supponiamo di dividere un campione di sangue in tre aliquote.
L'obiettivo è di determinare la concentrazione di alcohol presente all'interno. Dalle tre misurazioni replicate otteniamo i seguenti valori espressi in percentuale: 0.084%; 0.089%; 0.079%.
I termini di cui ho bisogno per calcolare l'intervallo di fiducia sono la media dei valori, la deviazione standard della media e t.
La media fra i tre è di 0.084%, la deviazione standard della media è 0.005%, a questo punto mi rimane solamente da calcolare t, che come detto dipende dal grado di libertà e dal livello di significatività. Sulla base di questi due parametri è possibile ottenere t in due modi:
- da tabelle, che associano a un grado di libertà e a un livello di significatività il valore di t;
- tramite comandi, che variano a seconda che Excel sia la versione italiana o inglese.
TEST STATISTICS
Supponiamo di voler determinare se la concentrazione di ferro in un fiume varia da monte (A) a valle (B). Innanzitutto, viene prelevato
un campione in A e un altro in B; il campione A viene poi suddiviso in sei quote, e vengono quindi compiute sei misurazioni replicate, il campione B invece in sette. Facendo la media delle repliche otteniamo in A un valore di 8.7, mentre in B di 9.7; dal punto di vista chimico, c'è una differenza significativa tra le due concentrazioni? È importante sottolineare che anche se la concentrazione di ferro nei due punti fosse esattamente uguale, gli errori casuali impedirebbero comunque di ottenere gli stessi valori per le due medie. Bisogna quindi capire se la differenza è sistematica o dipende solamente dagli errori casuali. In quest'ultimo caso non ci sarebbe alcuna variabilità tra A e B, nel primo caso invece vuol dire che tra i due punti succede qualcosa. Per valutare se sia l'una o l'altra eventualità, si fanno dei test statistici, si operano cioè strumenti statistici ideati per verificare se esiste o meno una differenza.
valori confrontati. Il test t di Student calcola una statistica t che rappresenta la differenza tra i valori confrontati, normalizzata rispetto alla variabilità dei dati. Questa statistica viene confrontata con una distribuzione di probabilità nota come distribuzione t di Student. Se il valore calcolato della statistica t è molto diverso da zero, allora si può concludere che vi è una significativa differenza tra i valori confrontati e si può rigettare l'ipotesi nulla H0. Al contrario, se il valore calcolato della statistica t è vicino a zero, allora non si può rigettare l'ipotesi nulla H0 e si può concludere che non vi è una significativa differenza tra i valori confrontati. Per effettuare il test t di Student, è necessario conoscere la media, la deviazione standard e il numero di osservazioni per ciascun gruppo confrontato. In base a questi dati, si calcola la statistica t e si confronta con i valori critici della distribuzione t di Student per determinare se vi è una significativa differenza tra i valori confrontati. È importante notare che il test t di Student assume alcune ipotesi, come la normalità dei dati e l'omogeneità delle varianze. Se queste ipotesi non sono soddisfatte, è possibile utilizzare test statistici alternativi, come il test non parametrico di Mann-Whitney. In conclusione, il test t di Student è uno strumento statistico utilizzato per valutare l'accuratezza dei dati confrontati. Attraverso l'analisi delle differenze tra i valori confrontati e l'utilizzo di una distribuzione di probabilità, è possibile determinare se vi è una significativa differenza tra i valori confrontati.CONFRONTO TRA MEDIA E VALORE NOTO
Supponiamo di voler confrontare un valore noto (μ) e una media (x con trattino). Per prima cosa stabilisco le due ipotesi H0 e H1. Calcoliamo poi un valore detto t calcolato (t ) nella maniera mostrata nella formula sottostante (s è la deviazione standard della media). Questo valore t lo confrontiamo con la t di Student m calc(t critico, t ) che dipende dal grado di libertà e dal livello di significatività.
Se t risulta essere maggiore di t allora rifiuto H0 e accetto H1; invece nel caso in cui t risulta essere minore di t allora rifiuto H1 e accetto H0.
N.B. la deviazione standard della media è pari al rapporto tra la deviazione standard e la radice quadrata del numero di repliche.
Facciamo un esempio: sviluppiamo un nuovo strumento analitico per stimare la concentrazione di rame e vogliamo valutarne l'accuratezza. Per farlo ci sono varie strategie, una di queste è acquistare uno standard
utilizzare i tag html per formattare il testo:Di riferimento ad una concentrazione nota di rame, in questo caso 5.0 mg di rame per ogni grammo di campione. A questo punto analizziamo lo standard con una serie di misurazioni replicate tramite il nuovo metodo proposto e lo facciamo per 25 volte, quindi 25 repliche (n) da cui poi otteniamo una media (x con trattino) di 5.2 mg per ogni grammo, con una deviazione standard (s) di 0.4 mg.
La differenza dipende solo dagli errori casuali o c'è anche una motivazione sistematica? Se si verificasse la seconda ipotesi il nuovo strumento analitico non sarebbe accurato.
Per rispondere alla domanda applico un test statistico, in questo caso dovendo confrontare una media ad un valore noto, opero il test t di Student.
Formulo quindi le due ipotesi:
- H0 → lo strumento è accurato, in quanto la differenza è dovuta solamente da errori casuali;
- H1 → lo strumento non è accurato, in quanto la differenza è dovuta da ragioni sistematiche.
Decidiamo a questo punto di...
svolgere il test t di Student con un livello di fiducia al 90%. Possiamo così calcolare t sostituendo agli elementi della formula i valori dei dati.Avendo stabilito un livello di fiducia del 90%, ricaviamo a questo punto t che dipende dal livello di significatività (0.10) e dal grado di libertà (n - 1).
Essendo t > t crit, rifiuto H0 e accetto H1, per cui la conclusione è che il nuovo strumento analitico non è accurato e c'è una differenza sistematica.
CONFRONTO TRA DUE MEDIE
Nel confronto tra due medie, si opera sempre con il test t di Student. Innanzitutto, vengono formulate le due ipotesi H0 e H1. Si calcola t ma in questo caso abbiamo a numeratore la differenza tra le due medie calcolate e a denominatore la deviazione standard della differenza tra le medie (s), che si calcola come mostrato in formula ed è quindi necessario conoscere le due varianze (s).
Conoscendo poi il livello di fiducia e conseguentemente
Il livello di significatività possiamo ricavare t crittenendo però a mente che in questo caso il grado di libertà non è dato dal numero di repliche meno 1, ma da una formula calcolata dal software. C'è un caso particolare in cui se le medie sono ottenute dalla stessa popolazione (hanno cioè le varianze confrontabili, cosa che si capisce dal test F di Fisher), il denominatore s può essere approssimato come segue:
Quando facciamo questa approssimazione, il grado di libertà è più semplice da calcolare perché è pari alla somma del numero di repliche meno 2 (v = n + n - 2).
TEST F DI FISHER – PER LA PRECISIONE
I test F di Fisher ci permettono di valutare la precisione, quindi di confrontare le varianze. Anche in questo caso vengono formulate le ipotesi H0 e H1.
CONFRONTO TRA VARIANZE
Il test F di Fisher ci permette di confrontare due varianze e stabilire quindi se la loro
H0 → s = s , la differenza è dovuta solo da errori casuali;
H1 → s > s , rispetto al test t di Student in questo caso l’ipotesi H1 stabilisce che una varianza è maggiorerispetto all’altra (nel test t di Student invece le grandezze in gioco erano diverse ≠).
Si procede calcolando il valore F calcolato (F ) dato dal rapporto tra la varianza maggiore fratto la varianzacalcminore. Essendo la varianza più grande sempre a numeratore, il rapporto sarà sempre maggiore di 1; più levarianze sono simili fra loro più il rapporto tenderà a 1.
Calcolato F devo poi ottenere F grazie a tabelle o da Excel. Il valore di F dipende questa volta non dacalc crit critdue ma da tre parametri: il livello di significatività, il grado di libertà del numeratore e il grado di
libertà deldenominatore.Se F è maggiore di F rifiuto H0 e accetto l'ipotesi H1; al contrario, se F è minore di F rifiuto H1 ecalc crit calc critaccetto H0.
Facciamo un esempio: supponiamo di voler misurare la concentrazione di bicarbonato presente nel sanguedi un cavallo tramite un nuovo strumento analitico. Per verificarne l'accuratezza eseguo il test t di Student,per la precisione il test F di Fisher.
Con il vecchio strumento analitico, svolgiamo 10 misurazioni replicate e otteniamo una media di valori di36.14 con una deviazione standard di 0.28. Con il nuovo strumento analitico svolgiamo invece 4 misurazionireplicate e otteniamo una media di valori di 36.20 con una deviazione standard di 0.47.
Per il test F di Fisher formule le due ipotesi H0 e H1. A questo punto calcolo le due varianze semplicementeelevando al quadrato le deviazioni standard. F lo ottengo dal rapporto delle due varianze
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