Caratteristiche statiche e dinamiche + Trasduttori

1) ERRORE DI NON LINEARITÀ DEL LETTORE

2) ERRORE DI NON LINEARITÀ DEL FONDO SCALA (FS)

Giallo = FS; viola=lettura

Il mio strumento deve stare in entrambe le aree.

All’inizio è più stringente il FS, poi invece l’errore di lettura. Il punto in cui si

interseca è il punto di discrimine.

QUALI SONO LE TIPICI NON LINEARITA’:

- SATURAZIONE: oltre un certo limite da’ uscita piatta

- ZONA MORTA (soglia da cui il sensore sente la caratteristica)

- ISTERESI

Spesso è molto noto il campo di lavoro dello strumento:

PROCESSO DI LINEARIZZAZIONE A TRATTI



ogni retta avrà un suo m e q: insieme di coppie m e q. LEZIONE 3 nov. 21

Vediamo cosa succede se avessi una funzione di trasferimento non lineare:

di fatto costruiamo una polinomiale attraverso lo sviluppo in serie di Taylor di una

funzione lineare qualsiasi:

La DISTORSIONE ARMONICA è:

omega = pulsazione di sollecitazione del sistema

Allora la non linearità del sistema fa comparire le armoniche superiori.

La distorsione armonica è il parametro che descrive al meglio questa non linearità ed è

definite come:

CARATTERISTICHE DINAMICHE DEI SISTEMI DI MISURA

Rappresentano le caratteristiche del sistema quando il misurando varia nel tempo ->

importante perché molto spesso il contenuto informativo sta proprio nella dinamica del

misurando e non più nel comportamento a regime.

Si osserva il comportamento e quindi la risposta ad un segnale impulsivo o a gradino.

Hyp: - SISTEMA LINEARE!!

- Coefficienti costanti

- 1 sola variabile tempo

In particolare, studiamo lo strumento analitico, ovvero l’equazione differenziale:

È un’equazione ORDINARIA (perché a coefficienti costanti) nella sola variante tempo.

La maggior parte dei sistemi dei dispostivi biomedici può essere espressa da un

sistema differenziale del 2° ordine:

Un esempio è la MASSA-MOLLA-SMORZATORE:

Una massa m si sposta a causa di una forzante f(t): m si muove ed è presente un

coefficiente d’attrito e una molla. Complessivamente ho 3 parametri costanti: m, k e n.

La legge che regola il movimento della massa è la seguente:

Equazione differenziale ordinaria nel tempo -> scrivo allora l’equazione omogenea

associata e la sua soluzione caratteristica nel tempo per opportuni valori di s:

Sostituendo e raccogliendo:

Trovo allora le soluzioni:

A seconda del valore della radice ho 3 casi:

Nei sistemi fisici in cui m, k e n > 0 per natura, allora il sistema è stabile perché le

radici hanno una parte reale negativa!

Sistema STABILE

Sistema STABILE.

Sistema STABILE.

In realtà useremo altri metodi di calcolo, come la TRASFORMARA DI LAPLACE:

ci permette di trattare sistemi LINEARI a COEFFICIENTI COSTANTI.

Alcune trasformate di Laplace rilevanti sono:

Una proprietà importante è la DERIVAZIONE DI LAPLACE:

Se applico Laplace a un sistema del secondo ordine:

Questa è la stessa equazione che abbiamo trovato prima -> trovo la FUNZIONE DI

TRASFERIMENTO

La valutazione solitamente viene fatta valutando la risposta a un impulso, il quale

posso definire come segue:

Se considero la funzione in ingresso come la delta di dirack, trovo:

Cioè la trasformata di Laplace della risposta di un sistema di impulso è la FdT del

sistema stesso.

Definizione di STABILITA’ DI UN SISTEMA: sia dato un sistema lineare, all’equilibrio

all’istante t=0, si applichi all’ingresso un impulso , allora il sistema può essere:

asintoticamente stabile (rosso), semplicemente stabile (azzurro) o instabile (verde).

Un sistema è ASINTOTICAMENTE STABILE, se i poli della sua FdT giacciono nel

SEMIPIANO SNX DEL PIANO COMPLESSO CONIUGATO, cioè hanno parte reale minore di

0.

FdT del secondo ordine; introduco due definizioni:

- Pulsazione naturale del sistema (rad/s)

- Smorzamento (adimensionale)

Allora FdT diventa:

Le caratteristiche dinamiche di un sistema si analizzano studiando le radici di

numeratore (zeri) e denominatore (poli).

Per determinare le caratteristiche dinamiche di questo sistema di misura, devo

studiare i poli di questo sistema di misura -> calcolo allora le radici del denominatore:

Ora torno ai 3 casi precedenti:

- ԑ > 0 -> ASINTOTICAMENTE STABILE

- ԑ = 0 -> STABILE O OSCILLAZIONE INFINITA

- ԑ < 0 -> INSTABILE

Vediamo ora 3 sotto-casi del caso asintoticamente stabile:

a) ԑ>1 -> soluzioni reali -> SISTEMA SOVRA-SMORZATO

b) ԑ=1 -> S1=S2= - omega_m -> SMORZAMENTO CRITICO

c) 0<ԑ<1 -> soluzioni complesse -> SOTTO SMORZATO

Studio il LUOGO DELLE RADICI:

a) Cercano di spostarsi verso 0 e verso (–) infinito

b) Sono pari a omoega_m: entrambi i poli sono coincidenti

c) Al crescere di ԑ, i poli si spostano sul cerchio:

Lo descrivo con l’angolo alfa e omega_m.

Definizione di POLO DOMINANTE:

RISPOSTA IN FREQUENZA O RISPOSTA ARMONICA: è la risposta che descrive il

comportamento del sistema per ingressi di tipo sinusoidale.

Ipotesi:

- Sistema lineare

- Coefficienti costanti

- Deve ammettere la trasformata di Laplace, cioè deve esistere G(s) ->

asintoticamente stabile

Allora vale il TEOREMA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA:

Valuto modulo e fase della FdT nella pulsazione della sinusoide in ingresso.

Questo teorema, in ipotesi di sistemi lineari. È particolarmente importante perché:

Questa definizione può essere estesa usando la TRASFORMATA DI FOURIER:

un sen non periodico complesso può essere considerato un sen di periodo infinito e

può quindi essere descritto attraverso le sue componenti sinusoidali mediante la

trasformata di Fourier:

Nell’ipotesi di SISTEMI LINEARI, vale la sovrapposizione degli effetti e posso allora

scrivere:

- mediante l’analisi di Fourier scompongo il segnale in ingresso nelle sue componenti

sinusoidali

- teorema della risposta in frequenza per calcolare l’uscita e la componente

sinusoidale in ingresso

- la somma delle risposte alle singole componenti armoniche in ingresso caratterizzerà

la risposta complessiva del sistema al sen complesso in ingresso

Semplifico molto il segnale complesso in ingresso



A questo punto quello che mi interessa per valutare l’uscita di un qualsiasi sistema è la

risposta del suo sistema di trasferimento -> Dato un ingresso qualsiasi, l’uscita è

determinabile conoscendo modula e fase della funzione di trasferimento.

Data una funzione di trasferimento per rappresentarne modulo e fase in modo

 comodo, uso il DIAGRAMMA DI BODE.

Riprendiamo il concetto dei diagrammi di BODE, ovvero la rappresentazione

ottimizzata al fine di visualizzare modulo e frequenza della frequenza omega.

I diagrammi di bode sono due:

1) modulo in deciBel

2) fase

NB: ordinate in dB e fase in Log10.

Vedi slide per ripassare i diagrammi di bode!!!



In corrispondenza del polo ho il MAX SPOSTAMENTO pari a -3dB:

OTTAVA -> se mi sposto di un’ottava, mi raddoppia la frequenza.

Allora per qualsiasi polo, - 20 dB/dec equivale a -6 dB/dec:

Go = 1; |G| = 0 dB -> omega = 0.

NOTA SULLO SFASAMENTO:

La fase è diversa per ogni frequenza -> distorsione del sistema.

Esiste però un SISTEMA A FASE LINEARE per cui ciascuna sinusoide in usicta è sfasata

in modo proporzionale alla sua pulsazione omega_i:

NB: Il segnale in uscita ha allora la stessa forma del segnale in entrata ma sfasato di

un ritardo “k”, che è definito “ritardo di gruppo” perché è uguale in tutti le sinusoidi ->

il sistema lineare allora NON distorce l’uscita ma la ritarda!

Riprendiamo ora il SISTEMA DI SECONDO GRADO e i tre casi di comportamenti a

seconda di ԑ:

=> GUADAGNO UNITARIO (W=0)

=> GUADAGNO NEGATIVO

NB: questi guadagni NON dipendono dallo smorzamento!

Consideriamo il caso b) caso di soluzioni reali e coincidenti; ԑ=1

NB: dipende da ԑ!

es. ԑ=1 -> perdo 6 dB

si osserva che c’è un picco di risonanza che piano piano tende a sparire al crescere

della frequenza -> il picco di sposta in dietro al crescere di ԑ di un fattore:

Per trovarlo (vedi dimostrazione): LEZIONE 5 NOVEMBRE

SENSORI DI SPOSTAMENTO IN APPLICAZIONI BIOMEDICALI

I TRASDUTTORI sono dispositivi che convertono una certa misura.

Esempio: il microfono trasduce un segnale acustico in un segnale elettrico, il quale

entra in un dispositivo di trattamento da cui esce ancora come segnale elettrico e poi

va a un altro trasduttore, il megafono, che riconverte il segnale elettrico in uno sonoro.

Sono dispositivi che operano la trasformazione di un misurando caratterizzato da una

natura elettrica, chimica, meccanica, ottica, termica, ecc., in un’altra forma più utile

(generalmente elettrica) per le successive elaborazioni, rappresentazioni e

interpretazioni.

In base al tipo di informazione che viene elaborata si possono classificare come

indicato sopra.

Il traduttore è tipicamente composto da 2 elementi:

- Elemento sensibile primario

- Elemento di conversione che trasforma in un’entità elettrica quello che riceve

Allora i traduttori operano la trasformazione della misura in un segnale utile

(generalmente elettrico) per le successive elaborazioni, rappresentazioni e

interpretazioni (Ad es. diagnosi).

rappresentano l’elemento critico di ogni strumentazione biomedica perché

responsabili delle problematiche dell’interfaccia tra strumentazione e organismo

biologico.

Le scelte progettuali che determinano le caratteristiche statiche e dinamiche del

trsduttore sono fondamentali nel processo di progetto di una qualsiasi strumentazione

biomedica (SNR, caratteristica statica, modello dinamico – 2° - 3° ordine).

Tutto questo presuppone la conoscenza delle diverse tipologie di trasduttori

dall’ingegneria biomedicale.

REQUISITI RESTRINGENTI:

- SNR

- Risponde esclusivamente alla forma di energia del misurando

- Si interfaccia con l’organismo minimizzando l’energia assorbita

- Sensibilità (es. numero di positivi al COVID) e specificità (capacità di riconoscere

solo, per esempio, il covid e non altre malattie – falsi positivi)

- Accessibilità della misura (a seconda dell’invasività, ecc.)

- Sicurezza per paziente e operatore: elettrica, meccanica, biologica, radiazioni

ionizzanti e altre forme di energia – Ultra Suoni che possono distruggere tessuti

o creare danni

- Minima invasività (piccole incisioni, spazio occupato, poca energia assorbita)

- Prestazioni minime garantite (standard 60601 e nuove MDR)

- Affidabilità (es. mtbf: mean time between failures)

- Usabilità (ergonomia, fool proof, &hell