Calore

Definizioni

• TEMPERATURA: indice macroscopico dello stato interno di un corpo.
• CALORE: forma di energia in transito. Si manifesta solo durante la trasmissione di energia che a sua volta avviene solo se la temperatura del corpo non è uniforme.
• GRADIENTE TERMICO: quantita fisica utilizzata per descrivere direzione e intensità delle variazioni di temperatura.
• SURFACE ISOTERME: luogo dei punti di un corpo che in un dato istante hanno stessa temperatura.
• LINEE DI FLUSSO: traiettorie lungo le quali avviene una trasmissione di calore da punti a t_maggiore verso quelli a t_minore. Sono le linee superficiali isoterme.
• TUBO DI FLUSSO: data una linea chiusa, è costituito dalle n linee di flusso passanti per tale linea. Il tubo non può essere attraversato dal calore, che può trasferirsi solo sulle superfici trasversali.
• REGIME STAZIONARIO: si ha quando la temperatura e il flusso termico (φ) sono indipendenti dal tempo.
• REGIME VARIABILE: le forme e le posizioni delle superfici isoterme si modificano nel tempo, e quindi anche la temperatura.
• SORGENTE PUNTIFORME DI CALORE: punto dal quale esce o converge il flusso termico.
• CALORE SPECIFICO: calore necessario per aumentare di 1 °K 1 kg di materiale.

Applicazione 2: Tubo Cilindrico A R.S.

∇²T = 0   -   ∂²T/∂z²   -   9λ = 0

- Materiale isotropo omogeneo

- La sup è isotema, sono sup. cilindriche coassiali

- Linee di flusso sono radiali e sono ⊥ al cilindro.

- T dipende solo da r.

Come prima utilizzo Laplace:

∂²T/∂r² + 1/r ∂T/∂r = 0

l'eq è soddisfatta per   ∂T/∂r = K₁/r

dT = K₁ dr/r   →   T = K₁ log r + K₂

C.A.C.

r = r₁   →   T = T₁ = K₁ log C₁ + K₂   { 

r = r₂   →   T = T₂ = K₁ log C₂ + K₂   |  r₁ / r₂ = K₂ (log α - log r₂)

  K₁ = (T₁ - T₂) / log_{e} r₂/r₁

Andamento log.

Scende man mano che mi allontano da r.

Sostituisco K₁ nella 1ª eq   T = 1

K₂ = T₁ - (T₁ - T₂) / log r₂/r₁ log r₁

T = T₁ - (T₁ - T₂) log r₂/r₁ & log r/r₁

Per determinare la quantità di calore trasferita utilizzo Fourier:

q = dQ/dτ = 1/x ∫ - dλ dx (dT/df)τ = - λ dA (dT/df)τ = λ dA K₁/F

  = - λ 2πL (T₁ - T₂) / log r₂/r

q = 2πL.λ( (T₁-T₂)/(r₂-r₁)) log_ο2πL

q = λ((T₁-T₂/ (r₂-r₁) (2πL (log A₂/A₁))

λ (T₁-T₂)(2πL - 2πL C₁) s (1 / S log A₂/A₁)(T=1²1)

Q = Aₘ / S̅ Aₘ (T₁ - T₂)

Area Media Logarithmica, se lo spessore del cilindro è piccolo allora si può sostituire con l'area media.

PARAMETRI ADIMENSIONALI:

• REYNOLDS _Rc = ^u⋅S/_μ
• NUSSELT _Nu = ^h_cL/_λ
• PRANDTL _Pr = ^C⋅μ/_λ
• GRASHOF _Gr = ^{g⋅g⋅L³⋅S²}/_μ²

METODO DEGLI INDICI

P_i = L^i₁λ^i₂μ^i₃C_p^i₄d^i₅U^i₆(αg)^i₇θ^i₈h_c^i₉

P_i = [L]^i₁[Q]^i₂[M⋅L^-1⋅T^-1]^i₃[Θ]^i₄[^M/_L³]^i₅[^L/_T]^i₆[H]^i₇[^L/_Θ]^i₈[^Q/_L²⋅T]^i₉

RICALCA DA FOURIER ^Q-_{ddlC dt^x}=^Q/_L² = ^Q/_CLT = [Q][M⋅C⋅L^-1⋅C] = [^Q/_L²]

Se P deve essere adimensionale, gli indici devono essere nulli:

• [H] = i₃ - i₄ + i₅
• [V] = -i₂ - i₃ - i₆ - 2i₇ - i₉
• [T] = -i₃ - i₄ = i₇ + i₈ - i₉
• [L] = i₁ - i₂ - i₃ - 3i₅ + i₆ + i₇ + i₈ - 2i₉
• [Q] = i₂ + i₄ + i₉

i₁ = 3i₆ + i₈ + i₉      { (φ⋅μ)^i₅(g⋅gθ[3]^i₆) i₂ = 2i₆ + i₈      ^i₇_μ²(^L/_W)^i₈(^h_c/_λ)^i₉ i₃ = i₅ - 2i₆ - i₈ }                 P = P_r ^i₆ Gr^i₆ Rc^i₈ Nu^i₉ i₇ = i₆

Applicazione 3: CORPO 1 NEL CORPO 2

Hp. T1 > T2

q = G0 · A · F12 · H12 (T1⁴ - T2⁴)

-F₁₂ = 1 TUTTO CIÒ CHE È EMESSO DA 1 È ASSORBITO DAL 2

-F₂₁ = 1 NON TUTTE LE RADIAZIONI RIFLESSE DA 2 RAGGIUNGONO 1

H₁₂ = 1/M₁ + Δ₁/A₂ (1/M₂ - 1)

q = A1 (T1 + T2)/2 (T1² + T2²) (T1 - T2) ⟹ q = A1 · hr (T1 - T2)

hr dipende da T_m = (T1 + T2)/2 e da ΔT = T₁ - T₂

⟹ (T1 + T2)(T_m²) ⟹ hr = G0 · H12 (4T_m³ + Tm ΔT²)

se ΔT ⟿0 hr = Gh12 4T_m³

INTEGRO. log(TQ-Tb) = -HW Px + C

C A C TQ-Tb TQ-Tb₁ - C log(TQ₁-Tb₁)

X=0 - log(TQ-Tb) = -H.W.Px + log(TQ₁-Tb₁)

- log(TQ-Tb) = -H.W.Px

log(TQ-Tb) = HW Px C

*

INTEGRO. TQ-Tb = e^-H.W.Px → (TQ-Tb) = (TQ₁-Tb₁) e^{-HW Px}

RICAVO Ts e Tb

Sostituisco * nell'espressione dq = HdA (TQ-Tb) e ottengo.

q_g = (TQ₁-Tb₁) / W (1 + e^-HWx) VALORE COMPLESSIVO

Per trovare l'andamento delle T singolarmente sostituisco singolarmente:

○ = Gg Co (TQ-Tα) = (TQ₁-Tb₁) 1/ω (1-e^-HWx)

α/b &alphabeta;(Tb₁-Tb)

CASO CONTROCORRENTE.

dq = Gb Cb dTb

q= Gb Cb (Tb₁-Tb_u)

w' = (1/αa - 1/αb) = 1/αb [&alphabeta;(LQ_g) - 1]

Se *_αb >1 → w°o + e^-H.Wx - decresce più velocemente ΔT°

Se *_αa ζò <1 → w°o + e^HWx Decresce più lentamente ΔT°

EJ αa=0 → ωo= e^-1 ΔT°-cost

○EQUICORRENTE ○ Tb₂ ≤ Tα₂ necessariamente

○CONTROCORRENTE ○ Tb₁ ○ TQ₁ più essery

○sempre!

Utilizzi termici en. solare:

• Bassa T°: pannelli solari piani
• Media T°: pannelli solari a concentrazione
• Alta T°: forni solari

Sorgente Solare: L'en. solare è costituita da onde elettromagnetiche che il sole invia alla Terra e può essere espressa tramite la Costante Solare, ovvero la potenza incidente sull'unità di superficie 1 a.u.a congiungente sole-terra alla distanza media tra due corpi. Tale costante varia durante l'anno, ma prendendo un valore medio ≈ 1367 W/m²

Cs = P_s/4πd²_m 1369 < Cs < 1399

Spettro Solare: Ha un andamento ≈ allo spettro di un corpo nero che emette a T = 5500 °K; infatti λ_Max = 0,5μ e con wien vedo che corrisponde a T = 5760 °K.

L'energia raggiante, attraversando l'atmosfera, subisce 3 modifiche a causa dei gas, dei vapori d'acqua, dell'atmosfera...

1. Riduzione: Le radiazioni vengono in parte assorbite e in parte riflusse.
2. Variazione Distrib. Spettrale: a cause del CO₂, H₂O , O₂, O₃ ...
3. Dispersione nell'Atmosfera: per effetto di riflessioni multiple: sulla Terra arrivano le radiazioni dirette del sole e quelle diffuse provenienti dalle volte celeste.

Questi 3 fenomeni dipendono da:

¹.. Spessore Atmosferico ².. Composizione Atmosferica

1. Introduco M → Massa d'Aria 0 < M < 1 M = d_s/d₀ ≥ 1 d: spessore atmosferico col sole in una certa posizione d₀: " "₁ colto zenit

Al ogni M corrisponde uno spettro ("Massa atm. attraversata" e radiazioni assorbite)

2. La composizione è di difficile valutazione

Si pone il problema di sfruttare l'en. solare in funzione del tempo e della località.

• orientamento migliore dei collet.
• Inclinazione: latitudine del luogo + 10° ÷ 15° → collettori con regolazione stagionale β = 0° → capta bene in estate e pochissimo in inverno β = 45° → " " " in inverno " " " " in estate
• β = 300° → max captazione nei mesi invernali che vogliamo privilegiare β = 300° ÷ " " " " " " estivi

Dimensionamento (3 modi)

• Calcolo le sup di colletori nel mese sfavoreti x avere in uguale alto ed inaccettabile
• Calcolo le sup dei colletori determinata dal fabbisogno negli altri mesi
• Calcolo la drum. di consumo del box del fabbisogno in relazione al volume medio annuo di radiazione solare ricevuta. VALORE = ACCEPTABILE

La convenienza economica riguarda i nori del fabbisogno del mese + fattori (luogo)