Calcolo numerico - parte 1

DOMINANTE

DIAGONALE

A somma

dell'elemento Cioè

è della diagonale

sulla riga :

, 4 il metodi Jacobi

di

*

M -

laijklaid i matrici

1 cauj stretta

+ converge per ,

Ci J 1

= colonne

righe per

per o

il

condizione convergente

metodo

perché

sufficiente sia .

"Il

NOTA che fuori

sulla diagende

diagonale

sta sta

perché rispetto

domina

: quelle

grosso .

a

Le Non

diagonale è

la lo condizione necessaria

? è sufficiente

stretta .

non converge non

so

mon e

,

Se testarlo

abbiamo il di c'è

quale

Jacobi sulla

Metodo vogliamo matrice

vogliamo una

e

, Basta

dobbiamo costruire costruire

sicuramente quale che

? sia

matrice

convergente una

,

dominante

diagonale . iterazioni

Quando Jacobi

il in

la ?

metodo quante

è

matrice diagonale di converge

,

Supponiamo viene

Jacobi

di applico

diagonale

A matrice :

avere , ,

,

1) A- y(k) +

(k + soluzione

D- pho la

caledato esatta

x = =

+ .

At la

dove è diagonale

proprio .

Di

METODO SEIDEL

GAUSS " fux

(* 7b

(

+ -

=

D-2)

Sostituiamo -

(D 2)

D

U 2)

Aim +

x = -

- -

2b

1) 2Ux

(k (k)

+ L) -

(D L) - (D

> forma

Stessa

I

X

- + -

-

=

* 1) 1) Ux()

(k 2(2x (k

+ + b)

-

D +

+

X =

1) Fr(k) Ax'k)

y(k)

x(k

+ - r't

(D 2) dove b

+ -

= = - 1m(k)

-

m(k)

1 L)

A(D

r(k

+ +

= -

Complessità Jacobi

la di

che

computazionale è stessa perché prodotto matrice-vettore

è .

un

n2/2-dProdotto il

Triangolo

DEL vettore

per

t 2/2-DRisoluzione BACKWord

Triangolare Substitution

Del Sistema la .

R con

-

n2 ITERAZIONE ITERAZIONE

CORRENTE PRECEDENTE &

1)

xi(k + 1)

(k Zaijxj(k)

+

(bi [aisx

a

= - -

Ji Ji 1)

+

1)

Apparentemente y +

ho bisogno

* caledare

di

io X

avre per

Clealiamo è

la i-esima che data da

componente :

Gli c'è

perché

quelli 1 i-1

che da

element issimo

da sulla

O

diversi vamo

sono non

a

,

diagonale .

Li bi)

VX !

formula

Davvero adxeasx

+ vuda(k

la 1)

+

To Utilizzo

la li ho gli che

calcolando calcolati elemente

fino

i-esimo

sto i-s

quindi a

, .

l'iterazione

ho utilizzo

mentre altri

calcolato precedente

già sugli .

I

Gauss-Seidel le all'interno dell'iterazione

le

che calcola componente inserisce

mano

man , In

fresca"

Utilizza Jacobi-Da la

l'informazione R

-esima 1esima

più alla Karesima

+ e

L

In Gauss-Sendel ho

le

richiede che utilizzate

solo caledato

la componenti già sono

r-esima

. ,

formular

nella . li

Vettoriale i

NOTA calcoliamo

Se

-* prodotti scalari

prodott come

: li

- calediamo la singola

Sommatoria sommatorio

Se doppia

con o

MATRICE-VETTORE

e

Non Gauss-Seidel migliore di Jacobi

detto che sia .

Praticamente

GAUSS-SEIDEL matrice

si la dementi

si della

gli diagonale

A eliminano

prende

: e

Estraiamo Il

la

riga moltiplichiamo pezzi

vettore

Ciascuna primo

composto da due

per :

un

e il dell'interazione .

calcolate dalle

secondo precedente

dalle

composto X appena x

, 1)

(k

+

La il

situazione volta

volta

perché

è dinamica

più Si

vettore aggiorna per

x .

Sufficiente

CONDIZIONE diagonale

di

Di Jacobi Matrice

Metodo Necessaria

, Non

CONVERGENZA :

= . l'altro

Non

DOMINANTE che Sufficiente

la

detto cond

anche

quando

è converge converge

uno ma

,

, .

.

entrambi

vale CONVERGONO

-*

.

per

↳ MATRICE

Si riferisce alla A .

DIFFERENZA GAUSS-SEIDEL

TRA E

JACOBI

1) [k)

(k +

Calcola dall'iterazione

JACOBI partire precedente

X a

= x

fa che

stesso

GAUSS-Seidel lo le

ha info utilizza

sulla x

man mano nuove

ma

= , ,

Queste elemento perché

prima

formulazioni possibile

si direttamente le matrici

operare

muovono era con

non

per

elemente delle vettori

solo dei

matrici

gli

ma .

con e

Ovviamente il

formulazione estremamente

sarebbe

procedimento

Matlab

anche

si più

,

questa usare

può con me

lento che

quello

rispetto abbiamo .

visto

a

CONVERGENZA METODO Jacobi

GAUSS-SEIDEL

Di

: e

In dell'altro

stabilire perché

è

se mediante

anche

priori

generale migliore

metado

possiamo se

a

non un ,

Gauss-Seidel lavora

Jacobi fresche

informazioni

perché

funziona meglio più

sempre

con

di .

TEOREMA STEIN-ROSEMBERG

DI Gauss-Seidel

Se iterazione

le dei

it] di Jacobi

allora metodi di

di

se

aiiso matrici

e si

per

aijco e

,

sola delle seguenti

condizioni

verifica una e una :

1) P(Tj) p(Ta) può

1 dire

c'è nulla

si

quindi convergenza non

= non

= , .

2) p(tj) p(ta) o Convergono

=

= [cioé converget

3) staDe

Se plTD1 14/Ty p(Tas) Jac PS

allora < neanche

converge

se mon

, ,

[cioé

4) Se ⑨(Tas)

st) 1 >p(Tas)

1p(Tj) Jac GS che

allora visto

se converge converge

, , veloce]

PCTJ) (Tas) la AS

di e

se più

convergenza

MATRICE TRIDIAGIONALE fuori la

che della diagonale

di

quadrata al

matrice prima

principale

è una ,

Sovradiagonale valori nulli

sottodiagonale solo

la ha

prima .

e ,

Teorema (MATRICI DIAGONALi) p(Tj)

Se p(TGs)

tridiagonale

A matrice allore

è =

una

Quindi il Gauss-Seidel

metodo di

di

questo di Jacobi è

in quello

caso peggiore

Infatti che

che sia

supponiamo ci avremo

convergenza

se :

P(TJ) p(TF P(Tas)

1 che

sappiamo

< ma =

Visto che di 1 (TJ) (Tas)

di

al piccolo

1 diventa più

quadrato

elevato convergente

ancora s

numero <

un

Se Jacobi Gauss-Seidel

grande

elevato

&(TJ) è più ve

2 quindi

1 male

al

che

non converge se

ancora , ,

, Se CS velocemente

Jacobi più

va peggio converge

ancora converge

. ,

(METRICI SIMMETRICHE)

TEOREMA

1) Se Gauss-Seidel

(SDP)

positiva

A definita ,

simmetrica

reale

è allora converge

Ricordiamo ritroviamo nella

le

le forma

minimizzazione quadratica

SDP

che di converge

.

1xTAx-bTx

Forma lineare)

(forma

forma termine

in matriciale

quadratica quadratica

generica : -

Messiana simmetrica

dave A definita

matrice

può positiva

essere una e .

Vogliamo il funzione Ax-b

di Df(x) Df(x)

questa

minimo 0 > 0

> -

=

- =

=

Gauss-Seidel

il

risolvere risolviamo

lo

quindi dobbiamo A

sistema .

- con

2) Se 2D-A il

definita Jacobi

tale anche di

metodo

A simmetrica allora

positiva

è è Converge

e .

Dove A tranne

LD-A elementi

matrice cambiata diagonale

la di che sulla

è gli .

segno ovunque per

Il il

che dell'informazione

che diagonale

dice sta sulla

ci grosso .

LEZIONE 7 14/03

RILASSAMENTO

TECNICHE DI (JOR)

Rilassato

di

Metodo JACOBi

- (k y(k) 1y(k)

13

+ -

wD

X +

=

Stiamo (W(1)

il sottorilassone

parametro

Jacobi

metado di che

parametrizzando può

l

con un ,

(W 1) (W 1)

Jacobi

restituire

Soprarilassare con

oppure =

>

Questa Rilassamento

JOR Si

il

di

metado Jacobi

del di

generalizzazione prende MULTANE

nome O

Equivalentemente : D)x( -b

y(k) -(L

y(k 1) -

- wD

+ wD u

+

+ +

= =

- D)x(

1(Dx(1) -b

-(L

- wD

wD -

u

wD

- +

+

= + =

-

1)D)x(

(A wD-2b

-(2 u

-

wD + +

+

= -

Possiamo tra Jor

la Je

relazione

definire Calcolata

la X .

con con

----

-

> se w)1

XJor

1)

(k 1

)

(k

+ + w)y(k) +

(k

(1 (1) ·

XJor +

WXj X5

= - Seceto a]

XJor

L ,

(k)

⑧ X5

GEOMETRICO

SIGNIFICATO (R 1)

+

x

1)

(k

+ Jacobi)

Ho (Con il starà segmento

sul che

punto

di

calcolato metado Xjor congiunge

Xy e

1)

(k) (R

+ (Soprarilassamento) (SottORilassamento

(0

mentre sul 1)

XJ segmento se

(s1

Se le

Xy

e ,

Per combinazione

la

rappresentare Xjor Usiamo convessa

.

stiamo

Quando la

rilassamento

tecnica di d'iterazione

modificando

utilizziamo matrice e

una

il T

spettrale .

di

quindi raggio

(l

wD-1 1)D)

(t

T u d'iterazione

matrice

+ metado

+ Jor

del .

= -

termine

wD-1b noto

C =

Osservo (1-1) Stiamo la

che calibrando diagonale ad esempio :

con ,

/-1) 2

se la

aggiungiamo

=L

2 dimezzata

diagonale

· =v

w =

= (1 WD-1 (L

Se 1) u) d'iterazione

· la Jacobi

1 abbiamo

+ matrice di

0

d =

w =

=

= -

Se (1-1) DD

1 la

· aggiungiamo diagonale

0 5 =

w =

= =

, d((1-1) (L

Se la

D) matrice A

A abbiamo di

· U

+

1 cam