Calcolo differenziale (derivate) - Dimostrazioni teoremi spiegate

Calcolo Differenziale

Teorema (Continuità di una funzione derivabile)

Siano I = (a, b) ⊆ ℝ un intervallo e f: I → ℝ una funzione derivabile in x₀∈I. Allora f è continua in x₀.

Dimostrazione

1. Innanzitutto, osserviamo che se f è derivabile in x₀, quest’ultimo è necessariamente un punto di accumulazione per il dominio di f.
2. Dalla definizione di derivata e dalla proposizione sull'approssimazione di una funzione (in un intorno di x₀ tramite un'altra funzione), otteniamo che se f è derivabile in x₀, allora
   • f(x) = f(x₀) + f'(x₀)·(x-x₀) + o(x-x₀)
   • Passando al limite per x → x₀, abbiamo che
     • lim_x→x₀ f(x) = lim_x→x₀[f(x₀) + f'(x₀)·(x-x₀) + o(x-x₀)]
     • lim_x→x₀ f(x) = lim_x→x₀ f(x₀) + (x-x₀)·f'(x₀) + lim_x→x₀ o(x-x₀)/x-x₀
     • lim_x→x₀ f(x) = f(x₀)
3. Di conseguenza, per definizione di funzione continua, f è continua in x₀.

Per me:

Perché x₀ è un punto di accumulazione?

Per la definizione di funzione derivabile in x₀, sappiamo che

f(x) = lim_x→x0 ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0} = l ∈ ℝ

Quindi, siccome nella formula soprastante compare x → x₀, allora possiamo affermare, per definizione, che x₀ è un punto di accumulazione per il dominio di f.

Per me:

Come si ottiene questa formula?

Dalla definizione di derivata, sappiamo che

f'(x₀) = lim_x→x0 ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0}

dove f'(x₀) è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico, nonché limite del rapporto incrementale, dove quest'ultimo equivale a ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0}. Quindi, applicando tutto ciò che abbiamo appena detto, una funzione derivabile in x₀ la possiamo scrivere in questo modo

f(x) = f'(x₀) ⋅ (x - x₀) + f(x₀)

Questa, però, è una funzione affine a quella reale, o meglio è quella che si avvicina di più al grafico di f in x₀. Ecco, dunque, che subentra la proposizione sull'approssimazione di una funzione in un intorno di x₀ tramite un'altra funzione g, che dice la seguente cosa

Teorema di Fermat

Siano I = (a,b), x₀ ∈ I e f: I → &R; funzione derivabile in x₀.

Se x₀ è un punto di estremo locale (massimo o minimo), allora f'(x₀) = 0.

• locali o relativi

N.B. In questo caso, x₀ è anche detto punto stazionario (o critico).

Dimostrazione:

Supponiamo che x₀ sia un punto di massimo relativo (il caso con il minimo locale è del tutto analogo).

Dalla definizione di punto di massimo locale, sappiamo che

∃ δ > 0 t.c. ∀x ∈ ]x₀ - δ, x₀ + δ[ ∩ I f(x₀) ≥ f(x)

Vediamo ora come si comportano le derivate destra e sinistra in x₀.

f'₊(x₀) = lim_x→x0⁺ (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)

Sapendo che in un intorno qualsiasi di x₀, del tipo ]x₀, x₀ + δ[, ∀ x t.c. x₀ < x < x₀ + δ

f(x) - f(x₀) ≤ 0

per il corollario del teorema del confronto, possiamo affermare che anche

f'₊(x₀) = lim_x→x0⁺ (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) ≤ 0

Di conseguenza, f è necessariamente costante su [a,b] e quindi,

f₁(c)=0 ∀ c∈(a,b).

2) Almeno uno tra x_min o x_max non appartiene a (a,b)

In questo caso avremo che, essendo f derivabile in (a,b) da ipotesi, per il teorema di Fermat,

uno tra i due, a seconda di chi appartiene a (a,b), e un punto stazionario per f.

ⓇICORDA! Un punto di estremo (minimo o massimo) assoluto è anche un punto di estremo relativo

P.S.

I teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy sono tra loro EQUIVALENTI. Una volta dimostrato uno tra essi, gli altri si ottengono come conseguenza.