Appunti Teoria delle strutture - 2022/2023

O

amponspoe

EYE

Meccanismo possibile.

Mettiamo le cerniere in 1, 3 e 4

a

II

I ora

B

n

4 limp

o o

È ampotapoe O

I Pegni Carico di collasso per questo meccanismo

Mp

Meccanismo non ammissibile.

Mettiamo cerniere in 1, 2 e 4 ( meccanismo di piano )

caro

a

aggia ora Allineati all'infinito.

3

qui

io già

ma 3 Mpompomprotapore

a ampoapoe

I Pene

jmp E quindi andiamo a fare l'ammissibilità statica solo per questo

carico perché gli altri sono più grandi e quindi non sono

sicuramente il primo meccanismo possibile.

Il più piccolo carico sarà il carico di collasso

Controlliamo ora l’ammissibilitá statica.

iii

c Im Me

o

è

IME E

ip pre O

I

p Imp

p

ANALISI ELASTICA

Metodo dei telai: S

3 ap

ap p

pur p c

aò

e me

ya

O g pe

fà

3012012 pe

p y

pe E9

B EE AGE

sarei

e gae

papa II L se

AGE

GE 389 268

se

z se

piu S 878

Io

1228

ze II

O

ti s

O

i

o r

q le

si pe

Mmax.gg

Il 11

E È

zeppe Pe

3

j pe

E E

collasso

3 75

7321

Pelastico Ignee

METODO DI NEAL SYMOND

É sempre un’analisi limite

Si può determinare il meccanismo di collasso attraverso la combinazione di una serie di meccanismi

elementari semplici e indipendenti fra loro.

Per una struttura h volte iperstatica, il numero di meccanismi elementari é pari a m - h, dove m è numero di

sezioni critiche.

Numeri dì meccanismi elementari = m - h

Ottenuti questi meccanismi elementari, vanno poi combinati in modo che il carico critici si abbassi.

il pi.li

Si fi

pi moltiplicatore

i critico

s

Per ottenere un carico critico minore, bisogna o aumentare le forze che lavorano, o diminuire l’ energia

dissipata nelle cerniere plastiche. (ed indipendenti&

Per le strutture intelaiate, i meccanismi elementari sono di tre tipi:

• MECCANISMO DI PIANO: sono quelli che mi forniscono il meccanismo sul piano stesso

o o

o o

o

o o o

o

un

in ni

ni

• MECCANISMO DI TRAVE: si formano tre cerniere plastiche una di anco all’altra

i in un

u

• MECCANISMO DI NODO: capita solo nei nodi tripli e quando si formano 3 cerniere sul nodo triplo

no

no no

L’obiettivo di Neal Symond era quello di trovare una soluzione per telai molto più grandi, che presentano

molti possibili meccanismi: meccanismo al primo piano, meccanismo al secondo piano, … , crisi della prima

trave, crisi della seconda trave, … , crisi dei nodi tripli.

Troviamo allora i moltiplicatori critici di questi singoli meccanismi e li combiniamo in modo da avere il

meccanismo critico inferiore.

Come facciamo? O annulliamo la catena plastica oppure mettendo altri meccanismi che fanno lavorare altre

forze. Lou vvv

o

o o o

o

ESEMPIO:

Questa struttura può avere un meccanismo di piano, uno di trave, uno di nodo

i Sezione critiche m = 6

Grado di iperstaticitá h = 3

Numero di meccanismi elementari = 6 - 3 = 3

i λ

Impongo il primo meccanismo, quello di piano e valuto il moltiplicatore

1 ma

Yup EQUILIBRIO: 70 o

Mpa

i

P CMP

P

è e

Mp

Impongo il secondo meccanismo elementare, quello sulla trave

Ii EQUILIBRIO: 70 0

impo

a

p P Mep

Impongo il terzo possibile meccanismo elementare

si

Partiamo sempre dal meccanismo con il carico critico più basso, in questo caso sono tutti e tre uguali.

Sommiamo ora il primo meccanismo con il secondo, in modo tale che dalla loro combinazione diminuiscano

le cerniere plastiche complessive:

gridino

io

µ pe amp O

e P 3

up an

a

Notiamo che, poiché abbiamo sommato i due meccanismi, le due rotazioni derivanti hanno tolto una cerniera

plastica, lasciando l’angolo retto ( in alto a sinistra ).

Come notiamo dalla combinazione dei due meccanismi, P di collasso si è abbassato.

Sovrapponiamo ora a quest’ultimo meccanismo risultante il terzo meccanismo:

me

p g Perseo rompo

O

speosompo

doing pag

an

i

me iii

In questo caso però nasce un carico maggiore di quello di prima, quindi il meccanismo corretto è il quarto.

Quando abbiamo il meccanismo più piccolo possibile, andiamo a veri care l’ammissibilitá statica, se

abbiamo un meccanismo cinematicamente ammissibile e anche staticamente ammissibile, abbiamo il

MECCANISMO DI COLLASSO.

Riassumendo:

• troviamo quanti sono i meccanismi elementari ( trave, piano e nodo)

• Valutiamo le combinazioni che ci forniscono dei meccanismi cinematicamente ammissibili e lo facciamo

nell’ottica di avere i meccanismi cinematicamente ammissibili il più piccoli possibile

• Individuiamo il meccanismo con il carico di collasso più basso ed effettuiamo l’ammissibilitá statica

ESEMPIO: È una struttura con due telai af ancati, tutto incastrato alla base,

P E

P 3 4 con le tre forze P, vi sono 10 possibili sezioni critiche

la

a N.B se siamo in presenza di un nodo triplo vi possono essere tre

possibili sezioni critiche ( ma vi è possibilità in cui si creano

meno solamente sul pilastro, solo sulla trave di sinistra o solo sulla trave

4

0

10

nine di destra)

i I

I Un meccanismo di piano

Due meccanismi di trave

Un meccanismo di nodo

Meccanismo di piano: Le cerniere si

sviluppano alla base

e alla sommità dei

pilastri

un in in

Meccanismo di trave 1:

io

o o

no no in

Meccanismo di trave 2:

q

no no nn

Meccanismo di nodo

t Formazione delle tre cerniere sul nodo

triplo

Guardiamo il primo meccanismo:

i a

g lo compro

i p

e µ

Secondo meccanismo:

io Memo

mpg O

cupo

I ago

hp Reap

Terzo meccanismo: 7

pp q O

cupo

go

I hp Reap

Quarto meccanismo: Non c’è spostamento, la rotazione è

all’interno della cerniera stessa.

Può avere rilevanza se combinato

con gli altri.

Combiniamo il primo meccanismo con il secondo:

NOTIAMO CHE SOMMANDO I DUE MOMENTI IN UN NODO, QUESTI SI ANNULLANO E IL NODO SI

ELIDE ( rimanendo di 90 gradi )

olimp time

io ne seo

µ O

seg campo

pcoempo. e

e 5.33

reagire

f IMP pomp

Combiniamo il terzo e il quarto meccanismo:

La cerniera nel nodo centrale ( quella a destra) si elide

O

Combiniamo tutti e 4 i meccanismi:

limp

io a if I

hp e

gne

fame gne

Si elidono tutte e due le cerniere plastiche speculari : la prima in alto a sinistra del primo telaio e la prima in

alto a sinistra del secondo telaio.

pgoo

sampoipcoipgo sympotapeao

55m

p.IM

Questa non è la condizione che porta al collasso.

Il carico di collasso più basso si ha con la combinazione del primo e del secondo meccanismo.

STABILITÀ DELL’EQUILIBRIO ( stabilità euleriana )

Abbiamo una trave compressa che ad un certo punto si instabilizza, attivando dei nuovi gradi di libertà.

Sostanzialmente trova delle nuove con gurazioni di equilibrio in una situazione diversa da quella in cui parte.

Per capire cosa succede, partiremo dai sistemi discreti in modo da aver ben chiare quali sono le

caratteristiche dell’instabilità euleriana.

Partiamo dai sistemi discreti e vediamo che cosa succede:

Partiamo da un sistema meccanico di n gradi di libertà (avente un numero discreto di n gradi di libertà), ogni

con gurazione è individuata con un insieme di coordinate, chiamate COORDINATE LAGRANGIANE (qi).

Si postula l’esistenza dell’ENERGIA POTENZIALE TOTALE (W):

W(qi,Fi) funzione delle coordinate lagrangiane e dei carichi esterni.

Parliamo di sistemi discreti, ma in realtà avere un sistema continuo discretizzato con un numero nito di

gradi di libertà é la stessa cosa.

Due assiomi:

• condizione necessaria e suf ciente per l’equilibrio di un sistema meccanico è la STAZIONARIETÀ

dell’energia potenziale totale rispetto alle coordinate lagrangiane

• la condizione di minimo dell’energia potenziale totale è condizione necessaria e suf ciente per la stabilità

dell’equilibrio. i

Stabile Instabile Indifferente

La pallina si trova in un punto di La pallina si trova in un punto di In tal caso se perturbiamo la

equilibrio, se la perturbiamo equilibrio, ma se la perturbiamo pallina, non tornerà nella

leggermente assumerà sempre la leggermente non assumerà più la posizione di equilibrio

stessa posizione iniziale stessa posizione iniziale

Pensiamo ad un sistema discreto con legami elastico - lineare ( caso particolare ), possiamo scrivere la

nostra energia potenziale totale come: W = U - V

U energia potenziale elastica

V potenziale dei carichi in

g

Con gurazioni di equilibrio O

Natura dell’equilibrio 70 0

8 instabilità dell’equilibrio (massimo)

n o stabilità dell’equilibrio (minimo)

Esempio: COMPORTAMENTO BIFORCATIVO STABILE

Partiamo con il de nire la soluzione esatta:

Prendiamo una struttura avente un’asta rigida e una molla elastica lineare di rigidezza K avente un solo

grado di libertà

µ In questo modo abbiamo tutta la

deformabilità di questo sistema

concentrata nella molla alla base della

struttura.

e Quindi parleremo di ELASTICITÀ

CONCENTRATA.

p

Abbiamo un unico grado di libertà ( ), ovvero la rotazione dell’asta.

µ

Possiamo pensare che ci sia una con gurazione iniziale ( ) , quella verticale equilibrata, vi sarà una

9

c

con gurazione successiva ( ) che è quella individuata dal nostro . C

Scriviamo l’energia potenziale totale e andiamo a vedere cosa succede nella con gurazione

Potenziale dei carichi

V cose

se 1

Energia potenziale elastica

W ke

U

U

U Carico moltiplicato

Dovuta sostanzialmente per lo spostamento

all’energia della molla

pela cosa

219

prima variazione:

Cioè per trovare le configurazioni di equilibrio facciamo la derivata prima :

W

S Dyspelysesinelsa

a Usa

W o

s Hsing O

19

Soluzioni di equilibrio

y Pietra

Con gurazione

banale verticale

Queste sono le due possibili configurazioni di equilibrio.

Seconda variazione ( andremo a vedere la natura dell’equilibrio ):

89

W A