Appunti Teoria dei sistemi

La controllabilità è un concetto centrale nella teoria del controllo dei sistemi dinamici e descrive la

capacità di un sistema di evolvere da uno stato iniziale a uno stato finale in un intervallo di tempo finito,

utilizzando ingressi appropriati. Un sistema è controllabile se è possibile portarlo dall'origine (di solito

indicata come stato iniziale) a un qualsiasi altro stato (finale) in un tempo finito, indipendentemente dallo

stato iniziale. Questo è possibile mediante l'applicazione di ingressi (forze, segnali di controllo, etc.)

opportuni.

Matematicamente, per un sistema dinamico descritto da un'equazione differenziale o da una

rappresentazione dello stato (ad esempio, una equazione di stato), la controllabilità è testata usando una

matrice di controllabilità. Per un sistema descritto da una coppia (A, B), dove A è la matrice di stato e B è

la matrice degli ingressi, la matrice di controllabilità è data da:

C=[BABA2B…An−1B]\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \dots & A^{n-1}B \end{bmatrix}C=

[BABA2B…An−1B]

Un sistema è controllabile se la matrice C\mathcal{C}C ha rango massimo, cioè il rango della matrice è

uguale alla dimensione dello stato del sistema. Se ciò non è vero, il sistema non è controllabile, il che

implica che ci sono stati che non possono essere raggiunti da nessun segnale di ingresso.

Esempio:

Un esempio di un sistema non controllabile potrebbe essere un sistema con un grado di libertà che non

può essere influenzato da alcun ingresso, come un carrello che scivola su una superficie perfettamente

priva di attrito, dove i movimenti in una direzione non possono essere controllati.

Raggiungibilità

La raggiungibilità è il concetto complementare alla controllabilità. Si riferisce alla capacità di portare il

sistema da uno stato iniziale all'origine (tipicamente lo stato nullo, o uno stato di riferimento) in un tempo

finito, utilizzando ingressi appropriati.

Formalmente, un sistema è raggiungibile se per ogni stato finale esiste un ingresso che può portare il

sistema da uno stato iniziale all'origine in un intervallo di tempo finito.

Anche la raggiungibilità è legata a una condizione di rango per la matrice di controllabilità, ma in questo

caso si intende la possibilità di "invertire" l'operazione, ovvero portare il sistema allo stato di riferimento

(origine). La matrice di raggiungibilità gioca un ruolo analogo alla matrice di controllabilità per testare se

un sistema è raggiungibile.

Esempio:

Consideriamo una macchina che deve tornare al punto di partenza (l'origine). Se questa è in grado di

tornare a qualsiasi posizione, anche se si trova in uno stato difficile da raggiungere, il sistema è

raggiungibile.

Osservabilità (Parte 1: Determinare lo stato iniziale x(0)x(0)x(0))

L'osservabilità si riferisce alla capacità di determinare lo stato di un sistema a partire dalla conoscenza

delle sue uscite e degli ingressi. La prima forma di osservabilità riguarda la determinazione dello stato

iniziale x(0)x(0)x(0), dato che possiamo osservare le uscite successive del sistema.

Un sistema è osservabile se, conoscendo gli ingressi e le uscite del sistema per un tempo finito, possiamo

ricostruire completamente lo stato iniziale del sistema. La matrice di osservabilità gioca un ruolo chiave

in questo processo. Per un sistema lineare descritto da (A, C), dove A è la matrice di stato e C è la matrice

di uscita, la matrice di osservabilità è data da:

O=[CCACA2…CAn−1]\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \ CA \ CA^2 \ \dots \ CA^{n-1}

\end{bmatrix}O=CCACA2…CAn−1

Se la matrice O\mathcal{O}O ha rango massimo, il sistema è osservabile.

L'osservabilità è cruciale perché, in molte applicazioni pratiche, non possiamo misurare direttamente lo

stato del sistema. Se un sistema è osservabile, possiamo ricostruire lo stato completo usando solo le

informazioni sulle uscite e gli ingressi, che sono misurabili o stimate.

Esempio:

Immagina un sistema che misura la temperatura in una stanza e non possiamo osservare direttamente la

temperatura di ogni punto della stanza, ma possiamo utilizzare un sensore centrale che misura la

temperatura media. Se il sistema è osservabile, possiamo determinare la temperatura di tutti i punti della

stanza a partire dalle letture del sensore.

Osservabilità (Parte 2: Determinare lo stato finale x(T)x(T)x(T))

Una seconda forma di osservabilità riguarda la capacità di determinare lo stato finale x(T)x(T)x(T) di un

sistema, dato che possiamo osservare gli ingressi e le uscite precedenti (piuttosto che future).

Questa versione di osservabilità è particolarmente utile in scenari in cui possiamo osservare un sistema

nel tempo, ma siamo interessati a determinare lo stato finale, piuttosto che lo stato iniziale. In questo caso,

l'osservabilità non implica solo la capacità di "indovinare" lo stato iniziale, ma anche di monitorare e

determinare con precisione lo stato del sistema a un dato istante nel futuro.

Esempio:

Un'applicazione potrebbe essere un veicolo autonomo che, a partire dalle letture dei sensori e dagli

ingressi di controllo (ad esempio, la velocità del motore, l'angolo del volante, etc.), può determinare la sua

posizione finale x(T)x(T)x(T) in un ambiente, senza la necessità di tracciare l'intero percorso percorso.