Appunti Tecnica del freddo - Quinta parte

TECNICA DEL FREDDO PT.5

CONDUZIONE IN TRANSITORIO

Ricordiamo che l’equazione di conduzione del calore o equazione di FOURIER è:

dove il membro a sinistra rappresenta il Laplaciano al quadrato

a

della temperatura. Il termine rappresenta la diffusività termica ed è una

proprietà del mezzo che caratterizza la velocità di propagazione del flusso

a

termico conduttivo. Quanto più è grande tanto più breve è il tempo perché

l'effetto di propagazione del calore penetri nel mezzo.

Questa equazione è di difficile risoluzione per via analitica perché abbiamo le 3

coordinate spaziali e l’aspetto temporale Ө. Per semplificare il problema si può

ipotizzare che la resistenza conduttiva sia nulla in questo caso la



temperatura sarà uniforme nel dominio di definizione.

Questo si verifica ad esempio in una sfera di rame, dove la temperatura varia

col tempo e al suo interno rimane costante (si applica la soluzione a parametri

concentrati), ma non si verifica in un arrosto, dove le pareti esterne hanno una

temperatura maggiore rispetto alla parte interna. Nel primo caso quindi Rcond

è circa 0 mentre nel secondo caso assumendo Rcond=0 commetteremo un

grosso errore.

Il parametro che ci guida nella scelta, cioè che ci dice se un materiale può

essere assunto con resistenza conduttiva nulla o no, è il NUMERO DI BlOT:

METODO DEI PARAMETRI CONCENTRATI:

Un modello a parametri concentrati equivale ad un modello che considera la

temperatura di un corpo uniforme durante uno scambio di calore. Immaginando

di tirare fuori dalla fornace una sfera di ferro incandescente, essa inizierà a

scambiare calore con l’esterno. Con il precedente modello, la T del nucleo era

considerata uguale alla T del bordo.

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Prendiamo, quindi, un corpo a temperatura Ti e lo poniamo all'istante t=0 in un

ambiente a T infinito. Si scrive il bilancio di energia tra il corpo e l'ambiente

durante il transitorio con le seguenti ipotesi:

è trascurabile ogni altro contributo allo scambio termico

 la temperatura del corpo è supposta uniforme (Bi < 0,01) e funzione solo

 del tempo T=T(t)

È la costante di tempo [s] ed è il rapporto tra la capacità termica del corpo e la

sua capacità di trasmettere calore.

Dato che Tinfinito è costante si può scrivere:

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se t=teta allora il risultato sarà

e Ti sarà il 63,2% di T infinito

Questo metodo è molto pratico ma vale solo nelle ipotesi sopra introdotte.

METODO DELLA CONDUZIONE MONODIMENSIONALE IN TRANSITORIO

In questo caso i corpi possiedono simmetria geometrica e termica e deve

valere l'ipotesi di monodimensionalità, cioè il rapporto tra lo spessore e la

larghezza (o altezza) deve essere <0,1. Studiamo questo metodo a partire da 3

forme di geometria (parete piana, cilindro, sfera). In questo caso l’equazione di

Furier è monodimensionale e quindi dipende solo da x e dal tempo

Le condizioni al contorno sono:

1. temperatura finita sul piano di simmetria della lastra, asse del cilindro e

nel centro della sfera in questo punto il gradiente della T sarà nullo



2. continuità del flusso all’interfaccia solido liquido

Anche in questo caso la risoluzione dell’equazione differenziale non è semplice

perché la temperatura è funzione di numerosi parametri come spazio, tempo,

diffusività, convezione…

Si può semplificare la soluzione attraverso una trattazione adimensionale cioè

utilizzare dei numeri puri che ci semplificano i conti: si parla quindi di

temperatura e distanza adimensionalizzata, coefficiente di scambio termico

adimensionalizzato (numero di biot), tempo adimensionalizzato (numero di

Fourier) Saipem Classification -

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Per un Fo