Appunti sui numeri reali per esame di Analisi matematica 1

C

I I

I b

d mb =

a = e

Ma

McRz

ab +

= 2M Me

.

ve razionale

può rappresentare numero

come

non

Dimostro si

che ve cioè

assurdo quindi

Ragiono che rappresentare no razionale

suppongo possa

si come

per ,

e :

# e se

più

che

M neposso che

fra

primi loro

suppone uo

siano al

e

me n , ,

↳ m2

quadrato

lo 2 2n2

al

eleviamo 2 =

: = =

n2 m2

2n2 quindi deve pari

è anche

↳ pari essere

e pari

m

= ↓

KETL

esprimere 2k

come

posso m

m : = , E

m2

En2 =

=

n2 = e n

quindi pari

pari anche

più

è è fosse

pari pari di

Ma

e loro

avevamo pari

n che

supposto

m al uno

=> ↓ assurdo

CONTRADDIZIONE

=

↳ ve e

allora non razionale

numero

un #

Limitandosi reali positivi

ai numeri

es , sono :

. (X (2)

x

(R

A =

= E B ab

A XbEB

FaEA e

[xcRixz)

B =

c e di

E B

A

l'elemento separazione

2 e

Tra

-c =

= >

- ce irrazionale

numero

un Q

IRQ(o

irrazionali

Notaz numeri

. Q IR

IN <Ta ↳ l'assioma completezza

di

rispetta

non FUNZIONE

MASSIMO UNA

MINIMO DI

E (Maca

dia

Massimo Mmassimo

: M

( max A (met a

Minimo A

di

minimo

m

: vaet

A

im min , unici

Il

Dimostrazione esistono

il min se

e

max sono

: definizi

e Ma

Ma

2 per

Suppongo ma

assurdo massimi

ci

che siano

per ,

CA

1MiEA Mz

2

FAEA

Mi FAEA

A

= 9 Mz =

, ,

da

Quindi Ma

Mc

1 se a Mz ottengo =

= .

da M1 M2 Ma

se a Ortengo

2

e :

= ,

proprietà M2

quindi M1

ASIMMETRICA

per la

>

- = # seguenti

i

consideriamo

Osservazione minimo,

massimo

finito ammette ma

sempre

insieme e

un

: insiemi

Sh nen) [1 ..........

3

E

A :

~ =

= , .

E

↑

- !

d (-0t)

Il

e

L'elemento esiste

minimo

grande massimo

(

1 non

+

=> = .

(1 (neN3

nen] )

(0

h 5 7

E

~B : =

=

- . ....

= . .

E i min o

=

I

I I F

1 max

O =

MAGGIORANTE MINORANTE

E

L A

Maggiorante maggiorante

dice insieme

Si per un se

: :

FatAeLEA

L: a

I dice

Minorante minorante A

insieme

per

si un

: se:

leA

la facA e minorante

Non A maggiorante

insieme ammette

un

sempre o

>

- -

maggiorante

Non esiste

X p

=

d minoranti

infiniti

esistono

l'insieme dice

maggiorante

Def ammette superiormente

limitato

Se si

: l'insieme dice

minorante

Def limitato inferiormente

ammette

Se si

: Un limitato inferiormente

Def superiormente

e

dice

insieme lo

: o

si se l

limitato Je

A A LfaeA

Le =

:

. JM FacA

191EM

A limitato s

oppure :

: M M

=

a

M =

a

M

= =

m

>

-

m

- - =

S a 920

191 = , a

a 0

<

- ,

dell'estremo

Teorema esistenza

di superiore dell'insieme

limitato

di minimo

Allora

A

Sia vuoto il

superiormente

numeri

insieme reali esiste

un .

non e

di

maggioranti

dei A . [b

SaeA] A)

B di

A maggioranti

Dimostrazione : =

= Voto

A

per Vuoto

ipotesi

( B non

non e D

& I e limitato

Per l'insieme

ipotesi superiormente

mun unum

um un maggioranti

quindi A

dei di

l'insieme è

non vioto

B

A facA FbEB

D

a e di

Applichiamo completezza

l'assioma B

di A

2 insiemi e

>

- FatA FbEB

quindi b

esiste a

C c

reale = =

numero e

un :

è di

maggiorante

da A cioè

FaeA CEB

a c c un

>

- cioè è maggioranti

il

Allo dei

minimo

tempo c

ceb

stesso #

Definizione superiore

estremo IR

A vuoto limitato

Sia superiormente

di M

non

insieme l'estremo

e

e

un reali .

numeri superiore

di A

maggioranti

A dei

di è

M il

Se minimo .

S

M M2 FaEA

superiore a

estremo maggiorante

M e

1 un

JaeA dei maggioranti

FE e

E

M- il

M

<A minimo

O

> : 2

& piccolo

arbitrariamente

M E A M maggiorante

M-E e'

- un

non

>

- #

I

I

Definizione inferiore

estremo IR

A vuoto limitato

Sia di

non

insieme e

un inferiormente

reali

numeri l'estremo

e

. inferiore

m

diA

A

di e minoranti

il dei

massimo

m

Se .

S FAEA ① è

inferiore minorante

A ma

di

estremo m

m un

e'

e m

JaeA dei

il

Esa minoranti

Eco massimo

m +

:

i a I E

m +

e minorante

E non

m un

+

=>