Appunti di Analisi matematica 1 sugli integrali di Riemann

N

ex y2

A y

S 1 xx

=

= + + +

= + =

.

. +

12)

eimhx eg(y ex y

x

y +

+

- = =

;

=

coshx

y = 1

. le

considero solo x

xo o

mmm

x

e

2x -

+

y =

2y x

ex -

e

= + I

2y ex +

= ex

2ye e2x 2

+

=

92 2ye 0

1

+

- = 1)

2x bf(y

e =

yz prendo y ye 1

1

y yz

*

=

= - = +

= +

- -

=

considero

perche' x>0

1)

ef(y

Shx y2

bex y 1

yz

x

y x -

-

+ +

- - =

= = INTEGRALI DI FUNZIONI IRRAZIONALI

Sf(x Next x "

reQY

xing a

xY

I ax re ...., = .

...,

, =

,

FACCIO UNA sostituzione

tS denominatoni di

dei

X In

re

m

s m

c

= = .

. ...,

. ,

(x 2 +c

5 6

s

1 x =

=

es ,

: , dx 6t5 olt

= Stat

E (j 6/

St e

/15 +

stat stat

6 tat= - - =

= = .

. 13

t)(1 72)

6) 7

* 6f(1 6)(t

+ 78)d+

+ . t +

3 t

74

a 73dt

+5)

+4

+3

+2

t

-

+ =

+

- + +

+

=

= +

+ -

+

+ +

+

(At)

= - 5 )

I I

I

*

( sostisco

+ c

+ +

6 + +

.

= - ( + 9 35 03)

5 2 2

6 + + +

+ +

.

= "ax+b)

/f(x favori deviro

le

d radice

he

compare

o o

x

# , th

PONGO ax+b =

Sx dx

-x

2

es : t3 t

t2d 3t2dt

dx 10X

2

PON40 3 2

-x x

+ =

= = -

- = -

=

:

((2 2) at

73(

-3) 3 =

+

- -

((2 t)

73) 372) ot

- =

.

-

= 2 t3)

3((t ot

- =

= "]

=

3 [ + a sostvisco

-

= . =(2

3(E x)4)

x"

( c

+

-

- -

= "I )

Sf(X ? ax

#1) , th

poico =

S 2 07

Es : y12 + 1)

t2(x t2

+2x +x 2

xx 1

PON40 1 1 D

bx bx

= +

- +

= = - -

=

+ -

-

= =

=

= 2

1

(2x 72

t2 bx(+ 2 2) =

bx +

1

1

x = = +

- =

- + =

= 12 1

-

1) (1 2)

(t 2 2

2 + +

- +

-

t ht

dx -

Dax

at Ot

= =

=

(2 2

e) [ ,

2 -

- +

-

Se 4t

- &t =

· · +2-p

=

( Ez- ot =

=> e At B

+22 2

4t

= (G +

ot DEC -

HERMITE I t

= -

2)

) . +2)(

G 1)

1)(t 12 =

+ 1

+

+ -

+ + e

=

+ +

TRON C e) t

2) At B(t D(

S

1)

-

2(t C 1

-

C i

+

-

- + -

-

+

4 2

- xc

1 2

I t

- - = =

+2)(

G 1)

1)(t -

=

=

12 t t

1

1

-

+ + 1 2

+ + - +

TROVO D 3

2(t

1)

B(t 1

At D

+

4t +

+ 4

- I -

t

- 1

- 2

t

+2)(

G 1)

1)(t - bD

12 =

t t

1

1 =

-

+ + =

1

+ =

+ - + - 2) 2)

-

TROVO B z

3

t B

0 0 2

=

+

= + =

= -

A

TROVO

t 0 A c D

D + +

- = +

A 1 1

0 +

= -

A

0 =

=1 = 2a

-(= 21dt

/

S

a + + +

+ =

2 =

= 1)

eg1++

-eg/t

antit 21 c

2 +

+

-

-- 2

-eg e 1

--2antg 2 c

+

+

- +

b)

(f(X be

ax2 ax a

# - ,

, Ent

x

(f(x A2)dx 1

1

1

CASO -

,

· 16x)2

2

b b

b -ax 1 1

=

= - .

. -

S ax =

es : a ax

=S - xeint - ?

* e

=

=(0 )20X =

(x =

,

I cost

= 3 cost

X = simt) ot

3) -

dx =

=Est-Saintsat=

simt)

(90527) -

3

+ dt =

=- -

simt 1+cos2t

COS27 2

18/ =

CHE

SO :

contat

= =

252t

18( 1 + at =

= q(1 20s2tdt

+ =

= rim2t)

=-q(t linet=2eimtcost

uso

c

+ +

simt st)

2 I

+

q(t rimt=

D cost

cost

CHE

So =

c 1-

=

+

= - (5)2

=1 -

)

- -

(anceos 1 c

9 +

-

=- + arecos

t

=> =

A2-1 cosht-simh=

2 A2

CASO 1 0 1

· + simbt

cosht-1=

Sce simh2t+ 20sh2t

1=

es : cosht= simb2t+1

= simht= cosht-1

3

x

=S sinht

(X/v)20x *

= =

V

1

2 + simet

1

simet)3 x =

(

) olt

cosht

· -

: 12 olt

cosht

=

siment

+

simbst

2

) Ehtolt=

: sat funzioni

faccio goniometriche

ec

come

=25) simast olt sostituisco

simet cosht esponenziali

sono

e ,

I

=212 simht

rimht olt=

. . cosht 2

=252/ simht(cosh2t-1) =

dt = simetot dz

=

dz

ot =

int simht

=2N) 1)

mat(z- =

2Vz (z

=22((z z)

1) dz c =

-

=

- +

costit cosht)

-2V/ ( !

cosht *

simpatte

+c = 2

= +

- =

2 2)

( + =

=2X c

- +

+

(2x280x =

Es : =)o(- 2) ax =

=ev)(Y 2) ax

, - =

(

=252) E cosht

- 2 cosht

x

- ->

= =

ax = Zeimht

o olt

=

set

e) Zeimetat=

M

= Et

in

=2VI) simentat =

e

in

2) ot =

= cosh

/ at

2

= =

(cosht-cosat(olt

=25) = e-t

et +

Scont

=221) at) cosht

coshtalt =

=

- 2

=ex2/imet+c- ( Olt et z

net

= =

e etdt dz

=

.

/z 41z

=212(rimet =

ot

c

+ - =

+ (rimet+c-eancty z) Y

1 =

=et(rimette X

212

dz =

- X

=

+ coshx

cosht Y

I

= =

↓

(rimet et)

=27 <-2andtg

+ = x

e yz

y 1

+ -

=

c-2andy( 1) ↳

(simat ()

=21 El

E

et

+ + =

- e

= + -

(E 1)

=2) =

= -2ancy

1 + -

- simht= cosht-1

(12-2

I

INTEGRALE PER PARTI

D(f(x) -g(x) f(x)g(x)

fi(x)g(x)

gz2=

f +

=

, H

([f(x)g(x)

(D(f(x)g(x)ax f(x)gi(x)]ax

= +

Il (f(x)g(x)ax

(f(x)g(x)dx

f(x7g(x) +

= ,

,

(f(x)g(x)dx (f(x)g(x)dx

f(x)g(x)

detivatadig(x)

gi(x) = -

FORMULA PARTI

INTEGRAZIONE PER

DI

PRODOTTO DIVERSE

FUNZIONI

DI (da trascendenti)

by razionali

diventano

cucty

e

ES I

( dx

xe =

f(x) fi(x) 1

x

= =

21x 2x

-

g(x) ex

g(x)

ex =

= ( 1dx

ex

=xex =

.

- ex

xex c

-

= +

Es C =

k

=

/Xegx egx

dx c

- +

I

fi(x)

f(x) egx

= =

E gi(x)

g(x) x

=

=

ES 3

Jegx dx I

f(x) fi(x)

egx =

=

g(x) gi(x) 1

x =

= -(x Idx

=xegx - =

=xegx x 2

- +

Es 4

S dx

2 ex

x

f(x) f(x)

x2 2x

=

= gi(x) ex

g(x) er =

= /2x

=x2eX dx

e

- - fi(x)

2x

f (x) 2

=

=

, (x) gi(x)

=

g e ex

= =

, /22

(2xex dx

=x2ex =

- -

(2xex c)

=x2ex 2ex =

+

-

- 2xex

x2ex 2ex c

+

- +

=

Es 5

I dx

anctqx 11xz

f(x)

f(x) anctgx =

= g(x) 1

g(x) x =

= -111xzdx

-xanctgx =

1242

-xantyx-2) ax =

2 lgk x2)

=xanctgx c

- + +

Es6

Sex dx

semx

f(x) f(x)

simx cosx

= =

g(x)

g(x) ex ex

= =

=exsimx-Secosx ax

f(x)

f (x) COSX semx

-

=

, = gi(x)

(x) ex

2 x

g = =

,

-exsimx-(excosx-(ex(-rmx) dx

excost-fexneux cambian

funzioni

ax di seme cost

che espor cos

Poco sem

-excimx - , , , ,

abbia

basta darauti

dove l'integrale

aivane ad punto

un un

faccio

diverso

numero e

Sexsemx exeimx-excosx-fexseuxax

ex =

Sexsiuxox= -exeinx

exsimx

exximx-excost

2 Sexeimxax= 1 (exeimx -excox) >

+

Es 7 Gx(xex)dx

( x 3ex ax =

/xex 2 t

x

dx = =

dx ax

2xdt = -

* Serat=

(xe I

I et

= + c

1 ex c

+

Sx dx

2 e

f(x) x2 f(x) 2x

=

= 2ex xex2

2 g(x)

g(x) = =

(2x2ex

ex

=x dx =

-

Ixex !ex c

= +

Es 8

I ok

xoncairx l

f(x)

f(x) ancsimx = x2

1 -

=

g(x) g(x) x

=

= . -Se ax

=anchimx olt

cost

X

x =

dx andt

-

=

c

. -rimt)

-S ot

-

-ancrimx - coS2t

1

I +

cos2t=

cos2t at

-anceimx =

+

. 2

08327

I) 1 + at

=anaimx =

+

. sinet)

(+

I . / =cucrinx

1+cos2tat

-chaimx +

+

+

. -

+ 21imtcost)

I)t

-acimx +

+

+ ~ x2

2 1

(anccox+ x)

I -

-

=acrimx lint= 12

cost

2 X 1

D

+ + = -

=

2

- t acOSA

=

x)

(90x

=acrimx x c

1

+ + +

-

-anaimx 1

ancox x2

x 1

+ +

+ -

OPPURE

Ix alcimx

ax

ancimx y =

= simy x

=

=S dy

rinyy cosy dx

cosyoy

= =

=Sysimycosy dy= ruxcosx= I sim 2y

I /

=SyEsmzydy= by

yimly

f(x) f(x) 1 cosy-sincy

y = cosy=

= sinzy= 2 sinycosy

COS2Y

g(x) - gi(X) sim 21

= =

2 Cosy 1 - senzy

=

252dy)

)

30s2y

=( +

- =

+ 2vim2y)

I) 3x32y

- c

+

- + =

( - simycosy)

I

2(cosy-simy)+ 2 c

.

= =

+

=5) cucrinx(1 x2)

x2)

x2 c

1

x +

- - + -

-

ES 1

2

-- 2dx

x

2

- 08 +

↓--

d 1

2

N >

x

>

x30x370x0 0)V[2

( 0)

+ D

Di :

+ -

- +

- ,

,

+ +

-

3 feC( 1]) R INT

f(x) e-

2 = -

-

= ,

- l'int

Calcolo poibar

IND alto

prima poi sost pruna ex e

. ,

Se S

I -

Is 2

ax ax ax

=

= , 2

S x

- = t

dx = = t2x

x 2 =

-

Et2

S Cit

~

.. ot -

- 2x

3 2

G 2

2 ~ x

= +

+ =

-

- 2 - 2( 27)

01X -

X 6 olt

= =

2) =

+ 2 x -

(1