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Equazione del condensatore e densità di energia
Essendo che allora posso semplificare l'equazione: 1 21 1 1= + +...C C Ceq 1 2
Energia immagazinata in un condensatore carico qⅆ ⅆ ⅆ= =W ΔV q q
Ricordiamo che C. Quindi il lavoro complessivo richiesto per caricare il condensatore da 0 a q è: Q 2q Q∫ ⅆ= =W qC 2 C0
Il lavoro svolto appare come energia potenziale immagazzinata all'interno del condensatore: usando otteniamo: Q=CΔV2 Q 1 1 2( )= =U= QΔV C ΔV2 C 2 2 ϵ A0=EdΔV
Per un condensatore piano e , Sostituiamo: C= d( )ϵ A1 120 2( )( ) ϵ=U= Ed Ad E02 d 2 Ad
In un condensatore piano il volume della regione occupata dal campo elettrico è U=u, l'energia per unità di volume, chiamata Densità di energia è: E Ad1 2ϵ=u EE 02
Capitolo 3) corrente e circuiti a corrente continua
Corrente elettrica
Situazione in cui fluisce una carica
La corrente è definita come la rapidità la quale la carica fluisce attraverso questa superficie ΔQ=I
Quindi: med Δtlim ΔQ ⅆ QΔ →0= =I t ⅆΔt t CA=Si misura in Ampere ( )sΔQ=( )nAΔx q (vedi figura)=vΔx Δt vma dove prende il nome did dvelocità di deriva.Sostituendo otteniamo:( )ΔQ= nA v Δt qdQuindi:ΔQ= =nAI v qmed dΔtDensità di corrente (corrente per unità di area)Ai ( )=nqj= v d 2A mResistenza e legge di OhmDefiniamo come resistenza come il rapporto fra la tensione dei capi del conduttore e lacorrente che esso trasporta. Scritto in formula:ΔVR= I VOhm=Ω=( )APer molti materiali gli esperimenti dimostrano che la resistenza è costante su ungrande intervallo di tensioni applicate, questo fenomeno prende il nome di Legge diOhm.=IRΔV lR= ρ ρ ρ=Ω⋅ mdove prende il nome di resistività e sono dati tabulati ( ) l eAA sono lunghezza del conduttore e A è l’area della sezione.Esiste anche il reciproco di questo valore appenaenunciato che prende il nome di conducibilità: lR= σA
Date queste formule possiamo ricavare delle sotto-formule che possono risultare molto utili nello svolgimento di esercizi: l ΔV ΔV ΔV= =σAR= → I → q=σA ΔtσA I l l
Un modello per la conduzione elettrica (vale per i conduttori che rispondono alla legge di ohm)⃗ =m ⃗∑ F a⃗ ⃗Σ F q E⃗ = = (dove a m sta per massa elettrone)em me ⃗q E⃗ =⃗ + ⃗ =⃗ +v v a t v tf i í m e⃗q E⃗ =⃗ =v v τ dove τ è il valore di tempo medio tra due urti successivi f ,med d m e
Otteniamo ora il valore di I( ) 2ⅇ ⅇE n E=nⅇI v A=nⅇ τ A= τAd m mⅇe
Ma I è anche uguale a:ΔV=I RΔV ΔV= =I A( ) ρllρ A =EdΔV l¿
Nel conduttore il campo elettrico è uniforme quindi (in questo caso El E=I A= Aρl ρ
Uniamo il tutto e otteniamo:m2ⅇn E E e= =I τA A → ρ= 2m ρ ⅇn τel med=τ v
MedEnergia e potenza nei circuiti elettrici
Consideriamo la rapidità con cui il sistema perde energia potenziale quando la carica passa attraverso il resistore.
∆U/∆t = I∆V
Questo valore prende il nome di Potenza
P = I∆V
P = I^2R = R∆V^2
Si misura in watt (W)
Sorgenti f.e.m. (forza elettromotrice) NON È UNA VERA E PROPRIA FORZA (il nome venne introdotto agli inizi dello studio dell'elettricità quando ancora la conoscenza sulle batterie non era sofisticata quanto lo è oggi).
Ciò che mantiene costante la tensione si chiama sorgente di f.e.m (sono batterie o generatori).
Si esprime in Volt.
Da ricordare che qualsiasi batteria o generatore contiene una resistenza interna r. Di conseguenza la tensione ai capi non è uguale alla f.e.m. = ε - Ir
Ir è la componente interna della batteria/generatore ecc. ecc.
ε è il simbolo che
rappresenta la f.e.m. Lavorando sulle formule otteniamo: Δv+ =IR+ε Ir IrεI= R+r Resistori in serie e parallelo Serie: se una quantità di carica esce da un resistore R la stessa carica deve entrare nel secondo resistore R2 di conseguenza: I =I1=I2 La differenza di potenziale si divide tra i due resistori: Δv+ =I1Δv1+I2Δv2 =IΔvR eq =I1=I2=R eq Quindi: Req =R1+R2+… In parallelo: la differenza di potenziale è la stessa che arriva a ogni resistore: Δv =Δv1=Δv2 La corrente si divide nei due resistori: I =I1+I2 Δv=I1Req=Δv2=Δv =ΔvR eq =Δv=Δv1=Δv2 Essendo Δv=Δv1=Δv2 si può semplificare il tutto: 1/R eq =1/R1+1/R2+… Leggi di Kirchhoff Utilizzando le regole precedenti noi siamo capaci di ridurre un circuito in un anello unico semplificando il tutto e utilizzando le capacità e le resistenze equivalenti. Molto spessotutto ciò non è possibile e quindi si utilizzano le leggi di Kirchhoff:-
1 LEGGE
In ogni nodo del circuito (intersezione di fili o di linee) la corrente è zero:
∑I = 0
-
2 LEGGE
La somma delle differenze di potenziale ai capi di ciascun elemento all’interno di un percorso chiuso deve essere 0 (un percorso chiuso all’interno di un circuito viene detto maglia).
∑ΔV = 0
Secondo le leggi di Kirchhoff:
-I1 - I2 - I3 = 0
Quando si utilizza la seconda legge bisogna utilizzare le seguenti convenzioni:
- Circuiti RC
- Fase di carica di un condensatore
Consideriamo un circuito chiuso con una fem, una resistenza e un condensatore. Applichiamo la 2 legge di Kirchhoff:
Q - IR = 0
ε - IR - IC = 0
Al tempo t=0 la corrente iniziale è:
ε = IR
In quanto la carica sul condensatore q = 0.
Quando il condensatore viene caricato la carica smette di fluire e la corrente I diventa 0:
ε = Q/C
Δq/ Δt = -I = 0
ε = ΔV
Sappiamo che e
che sostituiamo: ⅆ t Cⅆ q ε q= −dt R RCⅆ q Cε q q−Cε= − =ⅆ t CR RC RCⅆ −1q ⅆ= tq−Cε RCRisolvo l’equazione e ottengo: (ponendo q=0 a t=0)q tⅆ −1q∫ ∫ ⅆ= tq−Cε RC0 0( ) ( )−t −tRC RC( )=Cε =Qq t 1−ⅇ 1−emaxDove e è la base del logaritmo naturaleDifferenziando secondo il tempo ottengo:−tⅆ q ε RCⅇ=I =ⅆ t RLa grandezza RC prende il nome di costante di tempo:=RCτ 1Rappresenta l’intervallo di tempo che impiega la corrente a diminuire fino a delⅇsuo valore iniziale.Fase di scarica del condensatoreConsideriamo ora di eliminare la fem lasciando solo il condesatore carico e laresistenza:−q −IR=0C ⅆ q q−R =ⅆ t Cⅆ −1q ⅆ= tq RCIntegro e risolvo l’equazione: (ponendo q = Q a t =0)q tⅆ −1q∫ ∫ ⅆ= tq RCQ 0−tRC( )=Q ⅇq tDifferenzio anche questa rispetto al tempoe ottengo:−t−Q RC( )= ⅇI t RCCapitolo 3) Forze e campi magnetici
Esiste un'altra tipologia di campo: quello magnetico.
Un corpo carico si sposta lungo il campo magnetico secondo la seguente equazione:
⃗ ⃗⋅=q ⃗F v BB s⋅ ⋅m=NT
Dove B è il campo magnetico che si misura in tesla ( )C| |=F q vB sinθB
Moto di una particella in un campo magnetico uniforme
La forza risponde alla legge di newton:
=maF BOvviamente la particella si muoverà lungo una circonferenza (vedi foto)2m v=qvB=F B rmvr= qB
La velocità angolare è:v qB=ω= r m
Il periodo del moto ( quantità di tempo per compiere una rotazione):2 πr 2 π 2 πm= = =T v ω qB
Applicazioni del moto di particelle cariche in un campo magnetico
La forza totale di campo elettrico e magnetico prende il nome di forza di Lorentz
⃗ ⃗ ⃗=q + ⃗F E q v × B
Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente
AL nALIl volume del filo è il numero di
cariche nel tratto è dove n è il numero dicariche per unità di volume. La forza magnetica è quindi:
𝑥𝑥( )= 𝑥F q v × B nALb d =nqI v ALa corrente del filo è data da quindi la forza si può esprimere come:
d𝑥𝑥𝑥=IF L × BBin forma differenziale:
𝑥𝑥𝑥=I𝑥𝑥F s × BB b∫𝑥𝑥𝑥=I 𝑥F s × BB aDove a e b sono gli estremi dell’intervallo che prendiamo in considerazione.
Momento delle forze agente su una spira in un campo magnetico uniformevedere la figura per capire i seguenti calcoli:=F =IaBF 2 4Se collegassimo un filo al centro del segmento 1 laspira inizierebbe a ruotare (c’è una forza entrantesul foglio e una forza uscente dal foglio f2 e f4)Calcoliamo il momento( )
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