Appunti Scienza delle costruzioni - parte 1

PER -X

Ya I Se

D 3

3624770

=

Di -

P

G (B)

A Ex

(B)

o Ex

.

- - -

" Ey(A)

Inn BD

AC Im

212

=

=

=

d ,

=

Uxy(E) B'D' 213

c' 6

A m

=

=

Ey(A) ,

E F arctan(

a arctan(

= =

*

Uxy(E) 0 xy 76

76

90 0

90 4

45

= -

=

= - . =

- . ,

0xy 76

90

24 =

= .

c

-

B , i

I 150 m

CINEMATICA DEL SOLDI

problema

definizione del

· deformazioni elementari

· analisi deformazione

della

· problema cinematico

· di possibili

voglio

Ci configurazione iniziale studiare

C le

supponiamo un corpo

avere

· una

in ,

finali

configurazioni c'

&(1)

pl · u(x)

X

↳ X +

-sf =

Ti

↓ u(X data finale spostato

voglio

iniziale è

configurazione il

C e si

corpo

una

· sapere se

- ↳

>

o - 1

u(x) 1

=

u(x)

P

1 u = IPOTESI Per Lo STUDIO

09 ·

↑ x Espostamenti

u(x) allata

X configurazioni

due

le

+

= prossima

infinitesimi una

sono e

Su -

infinitesime finale

config

↳

DEFORMAZION iniziale

config i

.

· c)

di

solo punto

1

e corrisponde

di 1

(a

biunivoche punto e

funzioni continue un

e

elong

azione

↳ angolare

scorrimento

deformazioni

delle

tensore infinitesime )

(

· A

↳ informazioni

↳ 3E riferimento sistema ortogonali

di

prende come X

un Y z

assi

↳ si , ,

3j

&(A)

E(X) E(x)

matrice +

= "ECECEltECIT]

↓

ELECE) ECST]

- !

=

(*)

! Exx(1) lungo

Ex (1) elongazione x

= secondo

fibra direzione X

=

(

Eyy(x) 3y(1) diagonale

3

= principale

nel trovano

tensore

elongazioni nella

che

> si

-

buz(x)

Ezz(x) Ez(

= = )] !

byy(

y[byx(z) +y( )

U *

! )

y( = 3yx(x)

Ex 1 +

= = = la simmetrica

matrice

poiché è

Uxy(x) (yx( )

byz(x)) A

=

[bux() Uxz( )

1

= y

Exz(1) 2zx(x)

+ >

= = Uxz(x)

- Uzx(x)

=

Uyz(x) Uzy(x)

Ju(x]Uyz =

z[buy()

)

Eyz( zzy(

E +

= =

I ↓ E(IT]

ECE(A) + se

Y direzione

compone

pedce

Primo

X

punto

altro

ad

punto

di

spostamento relativo rispetto un Eyydy

un

>

-

I th

- -

/Exydy

che 3j

contiene

fiatrice 35 e inco

,

>

-

Ezydy Exn(dx)

·

-

des E(1)dX

(A) Ezn(dx/

= Eyxdx

-

! ↳ (da

d /

= exxdx

↓ ↳ direzione

che da verso

e

versore Eyztomm

modulo

En(d

da (*) = Ezzo

Iz

(1)

vettore En

vettore un -

restituisce

matrice zL

x -> lo del

coordinate relative generico

all'osservatore

punto

- rispetto

E[Ex/Ey(2z]

↓

che

punto trova

si

sull'asse X

componenti

I Ezxdx

CAUCHY

TEOREMA DI

En(x) E(X)1

=

vor se

e

tensore (che

rifermento può notando

seconda verare

del di

ha diverse )

rappresentazioni sistema Modulo

il

vettore Ma rimane

a

· ...

,

invernato riferimento

cambio sistema cambiano

di è la

parametri descrivono il la

6 che Deformazione

se tensore

I sempre

ma

· ,

Stessa

↳ deformazione

di

nonostante rappresenti lo degli

diverso

stato modo sono

in INVARIANTI

ci

, ↳ vettori

Modulo invariante per i

tutti riferimento

di

sistemi

tra al del

i sistema di

variare .

· rig

↳ PRINCIPALI

esistono sistemi Riferimento

di ↳ tensore diagonale

dal di

parto Cauchy

teorema

· En(*) =

E()E = incontrare

ne

anche

En

=

E(1)-EJk [A(x)* 2)

determinantio

+8

Q =

=

I banale determinante dei coeff

il

(1) soluzione

tipo

del o

avere

Q

A =

per

↳ di =

omogeneo

sistema equazioni ,

[E() XE] P(1)

determinante caratteristico =

Q numeri

(di autovalori reali

caratteristico 3 gradd

polinomio

o

=

- = ,

I ha

autovalore di

significato E

caratteristico

polinomio

Il può

si

forma STANDARD

scrivere una

in deformazione

della

3 INVARIANTI

↳ X x[2

13

P(x) [23

[2 0

+ =

-

= - a l

Ist IE2 cambiano

123 non del

variare R

di .

S

,

, .

Ist Ex Ey Ez

+

= + GRADO 1

Eky Eyz Ex

[zz EzEx

ExEy Ey(z +

+

= Gradoz

- - -

/El

Iss di

determinante 3

GRADO

E

= 0

(per (

ci

principali

di allungamento =

deformazioni

la

determino

3

>

- , corrispondente

il

trovare

(1) devo

ha autovalore

soluzioni

polinomio

> 3 mi

per

,

- ogni

autovettore (1)

(1)

↳ -XiE] principali

allungamento

deformazioni di

ri i autovalori

Q i ,

3

2

1

= =

= ,

, 0)

(U

??? direzioni delle fibre

autorettori principali =

l'INCOGNITA il

questo è

caso versore

in componenti

le

dal lega del

che

↳ prendo un'

sistema

che eg

aggiungo

alle 2 eq .

.

versore

risolvo incognite

sistemi

3 in 3 nxi

↳ ni n

↓ 1

+

+ i =

trovo As

12

1 ,

,

APPLICAZIONE 1 invarianti della

gli I s

calcolare IEI

DEFORMAZIONE IEz

· ,

,

= 70 calcolare le deformazioni principali Ez

El E

· , ,

direzioni

calcolare le principali na

na ha

· ,

,

calcolareIl tensore

·

[111243] cambio

matrice del

# matrice

nuova

= ,

E

#E IT

T

=L matrice ortonormale

= Y

9 Ed di

infinitesimi

spost riferimento

sistema

nel

= xyz

d zXtz

'd' di

infinitesimi

dra sost riferimento

sistema

nel

= x'y'z

SI . # d

=

dus-Vold

dx = d = = Edd

dD da

QUINDI &

[E() XEJ determinante caratteristico

Q

=

- Ist Ex Ey Ez

+

= +

0

11sz-laz

1 1

P(1) Eky

caratteristico Eyz

polinomio 22x

[2 +

0 T EzEx

= Ex Ey 2y(z

- +

+

=

- = -

32 - -

-

& /El

Fas =

= E

70 10-4

104

10 " 10" 20

1) 8 =

IEz .

6 +

6 .

+ .

= .

4480 Bo

=

3+3 13 - (20 x "

10") X-216

10") (123 10

polinomio caratteristico +

- . .

. # (X 17/

=

3)(x 72)

X2

13 X [22-133 + 0

2) - =

[E1 x

-

+ 21 3

0 3

= =

- =

x 3

=

20x2 1231-216 1

X" X

9 2 22 2

17

+ ->

0 = =

= =

28 z

- >

17720

1 -

x

- - xz

= 9 23 9

(3) 180 = +

+

27 369 2 =

216

- =

0

=

- -m

[ =

3x 3y 0

=

-

1

3)

I 9 3

S X)x ·

(6

3 =

3y 0

=

- -

- 4)y

(6

3x + 0

- =

- [ (

·

X)z

(8 8

0 =

=

- 2 +

[2] 13 m

(ne

# ma]

nc = ·

, . [1])

=

4)

PROBLEMA CINEMATICO

Ci le da

passato

interessano c'

non è

a Ca

per cui

cause

(

1 Vyz]

[EXEy

)

( Uzx

E(1) Uxy

↳ A trasformare

Ez

= voglio matrice vettore

la in

=

C

u(X vettore

matrice

-

%

P u(x)

1 =

u =

09 ↑ vettore

u(x) spostamenti

l U(x)

su X +

= deformazioni spostamenti

legame tra e

(6X3)(3x1)(6x1) deformazione

vettore applicate forze

le

del

di

Sf-parti su cui sono

#u(x) corpo

volume sup

se

(A) S intero

#(1)

= ) te

3( .

- in

1

=

incognite

6 3

in

eg E(X)

u(x) del

Surparti superficie

di corpo vincolate

Su

= > in

-

problema

del

noti

termini

OSSERVAZIONE rigido

corpo

51

s 4 particolari dipende

n dai

le cedimenti

ha

1)

= solo

generale ammette

Grado soluzione,

(4-3

IPOCINEMATICO casi

1 n in

in

=

- ,

3

m = 53 54 incognite

52 4 3

= eg

= in

.

cedimento (51)

soluzioni

ammette

1) primo (52)

soluzioni

ammette

cedimento

secondo non

2) Ja

52

terzo

3) 52)

(53

cedimento soluzioni

ammette dove =

+ 54

53

53)

4) cedimento (54

soluzioni

ammette

quarto non + =

dovrebbe

5 allungare soluzione

ma corpo rigido

, -----

** allunga

Esso si

corpo =

e 2)e

(

accorcia

si

Ezco Corpo +

· =

⑨ Spost

Cerniera-vieta relativi

D

In >

- finale

C lunghezza

. =

dovrebbero

Die Di canadere lunghezza

e iniziale

B

trovo punto =

B di incrocio -

Da *

&

- più

collega

che corpi

23

I interno

* vincolo posta

(na-1]

Ma m

= .

Dy' 9

3 3

n =

= .

·

a 4(D) 20

2(x)

2(B) +

2(A) =

Esco +

+

=

m - -

SISTEMA IPOCINEMATICO

- C

le

C bisogna soddisfare #

soluzione

ammette B

# non ↑

-

↑ compatibilità

relazioni di TI gra e

poema

deformabili

cinematico continui

problema -

per i

-

S

solvibilita

dobbiamo di

Compatibilità Leg

relazioni

le

trovare di m

A Yyz]T

[Ex Uxz

Sy Ez Uxy

= ,

, , ,

, di

# sistema grado

= 3

ipocinematico

)

) (

( E

A -

= i

Exy

F QUIND

=

= Tyz

Ey = =

Ez Jzx dz