Fondamenti di Scienza delle Costruzioni - Appunti

Premessa & Disclaimer

Con tale raccolta di appunti gli Autori mirano a divulgare il sapere scientifico di una disciplina, quale la “Scienza delle Costruzioni”, che è caratterizzata da molteplici sfaccettature e da un generale disordine di informazioni.

Gli Autori non pretendono in alcun modo di aver creato un’opera atta a essere usata come unico testo per gli studi da intraprendere nella propria carriera universitaria. Si prefiggono, invece, l’obiettivo di aiutare gli studenti ai quali non è chiaro un concetto (talvolta causa svogliatezza propria o moltitudine di libri e appunti usati), attraverso una raccolta compatta e ordinata di quanto appreso e consolidato durante il corso di “Fondamenti di Scienza delle Costruzioni”, tenuto dal Prof. “V.Minutolo” nella facoltà di Ingegneria della Seconda Università degli Studi di Napoli.

La seguente opera si presta ad essere avvezza ad errori, ortografici o meno, proprio per la natura stessa degli appunti divulgati. Per qualsiasi errore, precisazione o in generale per chiarimenti, si prega di contattarci attraverso messaggio privato dal sito “skuola.net”, nome utente “RedStachanov”.

Rocco Raimo Pasquale Di Girolamo

Deformazione nei mezzi continui

La deformazione è una corrispondenza che associa ad ogni punto P di B, un punto P' di B'.

Immaginiamo di avere un corpo continuo che si deforma portandosi da una configurazione iniziale B ad una finale B'. Analizziamo un unico punto della configurazione che diviene P'.

X' = X + V

X' = vettore posizione del punto P'

X = vettore P

V = vettore spostamento

Consideriamo un intorno del punto P e un punto Q all'interno di esso. Differenziando la precedente otteniamo:

dx' = dx + dv

Analizziamo il termine V:

V = (V₁(x₁, x₂, x₃), V₂(x₁, x₂, x₃), V₃(x₁, x₂, x₃));

Ricordiamo che df(x, y, z) è:

df(x,y,z) = _df/_dx dx + _df/_dy dy + _df/_dz dz

dv = (_dv1/_{dx1   dv1}/_{dx2   dv1}/_{dx3 dv2}/_{dx1   dv2}/_{dx2   dv2}/_{dx3 dv3}/_{dx1   dv3}/_{dx2   dv3}/_dx3) ( dx₁ dx₂ dx₃)

• SCALARE

= ∇V • dx

dx' = (I + ∇V) dx

Avendo definito I + ∇V = E

E = gradiente della deformazione

A deformazione avvenuta questi vettori si trasformeranno:

dx_m' = F dx_m

dx_m' = F dx_m

Ricerchiamo il prodotto scalare tra due vettori

dx_m'·dx_m' = |dx_m'| |dx_m'| cos d'

dx_m·dx_m= |dx_m| |dx_m| cos d

Il prodotto dx_m'·dx_m' e:

dx_m'·dx_m' = F dx_m·F dx_m= FFF

= F |dx_m| |dx_m|·F |dx_m| |dx_m| cos d

= |dx_m| |dx_m| F^T F^T F^T

Uguagliandolo con il prodotto scalare abbiamo:

|dx_m'| |dx_m'| cos d' = |dx_m| |dx_m| m^T F^T F m

_dxm' |dx_m| dx_m' = |dx_m| _dxm' |dx_m| dx_m'

cos d' = ^mTFTFm _(Em+I)(Em+I)

Nell'ipos. di piccoli spostamenti Em = Em = 0

FTF = I + 2E

cosd' = m^T(I + 2E)m = cos d + m^T2Em

Sapendo Che cos Emm ~ 1, cos sen Emm ~ Emm e

cos d' = cos d (cos d - Emm) = cos d cos d Emm + sen d sen Emm

= cos d cos d + sen d Emm

cos d + sen d Emm = cos d + m^T2E m

Emm = ^{mT2E m}_{sen d}

EQUAZIONI DI COMPATIBILITÀ INTERNA

Noti un tensore E ci si chiede se sia possibile risalire ad un campo di spostamenti per il quale E rappresenti la parte simmetrica del gradiente.

In particolare ci si chiede se sia possibile individuare un sistema di moti rigidi locali, ossia traslazione e rotazione rigida del punto, tali che tutti gli intorni elementari del corpo si ricompongano in un corpo continuo senza frattura.

Tale condizione è possibile quando ci riferiamo al caso infinitesimo.

Rimembrando la relazione che tiene conto della rototraslazione e della deformazione dei punti Xi in un intorno di P:

νᵢ(x + dx) = νᵢ(x) + ∑ (Eₑ) dxₑ + ∑ (Rₑ) dxₑ

du = (∑ (Eₑ + Rₑ)) dx

Tale differenziale esiste se la predetta relazione è integrabile, quindi se la forma differenziale è esatta, ovvero se

d(Eₑⱼ dxₑ) / dxᵢ = d(Eₑⱼ dxₑ) / dxᵢ Ricorda (d νⱼ) / dxᵢ - (d ωⱼ) / dxₑ

Con xⱼ si sono indicate le componenti di R, mentre con Eⱼⱼ quelle di E.

Sapendo che d( νⱼ / xᵢ - νⱼ / dxₖ = 1/2 d(νᵢ / dxᵏ - νᵢ / dxⱼ) = d fⱼᵢ / dxᵏ - d fᵏⱼ / dxⱼ)

la precedente diviene:

d f ⱼᵢ / d xₖ - d f ⱼᵢ / d xₖ d f ⱼᵢ / d x = d f ⱼᵢ / d xᵢ d xⱼ

Affinché quest’ultima sia differenziabile si avrà:

d f ⱼᵢ / d x d x = d f ⱼᵢ / d x d x = d f ⱼᵢ / d f ⱼᵢ + d f ⱼᵢ

Ripetendo il ragionamento per gli altri due casi otteniamo

τ₁₃ = τ₃₁

τ₂₃ = τ₃₂

SIMMETRIA NELLE TENSIONI TANGENZIALI

Attraverso tale espressione possiamo affermare che

∇·Tˉ + b = 

Se il punto P preso in esame appartiene al contorno del corpo, il tetraedro può essere immaginato con la facica di normale n appartenent al piano tangente per al corpo. In tal caso sostituiremo t_m con le forze di superficie applicate in P.

t_M = Tˉ · m = P

Per risolvere l'equazione indefinita dell'equilbrio, che è un equazione differenziale, c'è bisogno delle condizioni ai limiti, definiti proprio precedentemente. Le insieme di equazioni differenziali diviene:

{ ∇·Tˉ + b =  im B

      t_M = P su dB

TENSIONI PRINCIPALI E DIREZIONI PRINCIPALI

Come per la deformazione, anche per le tensioni è possible introdurre i concetti di "tensioni e direzioni principali". Attraverso la relazione t_n = Tˉ ·n il tensore di tensiorr associato ad ogni versore n in vettore tn.

Chiamiamo direzioni principali quelle direzioni per le quali t_n risulta parallelo a n.

Per individuarie le direzioni principali si risolve l'equazione:

(Tˉ + λ Iˉ ) · m = 0

➾ - λ³ + I₁ λ² - I₂ λ + I₃ = 0 ➾ σI MI

σII MII

σIII MIII

Teorema Delle Forze Virtuali

Immaginiamo di perturbare le forze applicate al corpo di configurazione B, diversamente da quanto fatto in precedenza, e cioè:

Problema → F_i V → V T → δT B → B

La legame affermazione – spostamenti infinitesimi è dato dall'eq.

∑_B( ∇ V_i + ∇ V_i^T ) = 0

Analogamente a quanto fatto per il teorema degli spostamenti virtuali moltiplichiamo per δI e integriamo rispetto al volume:

∮_B [E_i - 1/2 ( ∇V + ∇V^T )]_i δI dw = ∮_B δI dW - ∫_B1/2 ( ∇V + ∇V^T ) δI dw

Ricordiamo la scomposizione di una matrice in parte simm e antisimmetrica:

∇V_s = 1/2 ∇V + 1/2 ∇ V_i - 1/2 ∇ V_i^T ∇V_{s i} = 1/2 (∇V + ∇V^T) + 1/2

Per cui:

∮_B E_i : δI dw = ∮_B : ∇ ψ δI dw

Analizzo il secondo termine e “integro per parti”.

∫_B ∇ ψ δI dw = ∑_B⊂δT_i⊂m δ us dls +∫_B - ∇ J_i δ I l_k = ∮_B δI_i dls + ∮_B ψV dw

Ritornando all'equazione iniziale otteniamo:

∮_B [E_i: δI dw = ∫_Bδ ∇ ψ + ∮_B ψV dw