Appunti/schemi di Matematica generale con teoremi e definizioni

DEFINIZIONI TOPOLOGICHE

Un punto interno è un punto che appartiene all'insieme.

Un punto esterno è un punto che non appartiene all'insieme.

Un punto di frontiera è un punto che delimita l'insieme.

Un punto isolato è un punto che non ha punti adiacenti.

Un punto di accumulazione è un punto che ha infiniti punti adiacenti.

PRODOTTO INTERNO TRA VETTORI

Il prodotto interno tra vettori è dato dalla formula: I >:X׫(32+221-72)=248.

PRODOTTO TRA VETTORI E MATRICI

Il prodotto tra vettori e matrici è dato dalla formula: L :))v11.2 -1 ;]=L7 :-., !li³ 000V.V 1.

FUNZIONI

L'insieme delle immagini sono tutte le x che si trovano sull'asse delle y nel disegno.

Il dominio di una funzione è A V.

I risultati razionali fratte (denominatore) sono EG³.

Il test della retta verticale indica se una funzione è una funzione lineare quando ogni retta verticale interseca il grafico della funzione in un solo punto.

La radicale è una funzione inversa dell'esponenziale.

seof7³-logaritmica( OID3)log +30>07³+ -7 Dall' esponenteesponenziale DIPENDE-0_Ñ>se non • nessuna di queste tre allora .. IR- PER restoil>graÞci delle funzioni elementari-parabola 4=0×2+6×1³ e on-G) a-( ¥7 ; - U> oa( ) ab sxYe n PASA l'⇐ Parteorigine× >o0f ³7:c)(D= abe O V o Parte DX< o ³ebreo Abeyf coinciseasse ⇐ l'Intersezione con Abeyy=¥-iperbole equilatera ³g gé #"↳ Ashton Scaricato da Sturzin Sturzin (gabrygrim05@gmail.com)lOMoARcPSD|9558543-logaritmica 1< al61}a D :(boyzln -- loya logge- --esponenzialeQER 02922#a> 0> aaa ¥a¥ , , AA eÖ 0gftd-a-1-oflxkex-oflxt-e-EE.EE)=•=zflo ")>come disegnare i graÞci% A×{ Ho'flx) > i2- GX 02×277 ³ !Sostituiscoe O2¡2×20 1=4³¥ 2-6/1=002-60--0--47¥ 72-6.7=7--4 ( )7 q3vertice ;ilCallowquindi -E- Paranoiala secondae 1é

aesponenziale conHPNMA

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PROPRIETË DELLE FUNZIONI

- pari: graÞco simmetrico rispetto allÕasse delle y

- dispari: graÞco simmetrico rispetto allÕorigine

- per vedere se • dispari, pari o ne pari ne dispari:

a) f é -3 ×=)f ( (a)-1×7-3 ' mi divora+3

Pare=D ne= 7× 7-devo cambiare di segno a tutti e-

se cambiamo tutti Ž dispari-

se rimane invariata Ž pari-

se cambia solo alcuni allora non • ne pari ne dispari

Attenzione per˜ alle frazionarie perchŽ svolgo la frazione quindi-

se num e den a x pari Ž dispari-

se num e den a x dispari Ž pari-

• un misto di x non • ne pari ne dispari

FUNZIONE MONOTOMA

- crescente e strettamente crescente

ftp.flxdflxizfkdeflxisflxdftp.eflxa e-

- decrescente e strettamente decrescente

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FUNZIONI LIMITATE

- limitata

superiormente-4=4---limitata inferiormente~ y=k-limitata= quando • limitata sia inferiormente che superiormente"" =-4=4--- ---illimitata= quando non • nessuna delle 3

MASSIMO E MINIMO-massimo= il pi• grande dei valori che la funzione assume-minimo =il pi• piccolo dei valori che la funzione assume

PUNTI MASSIMO E PUNTI DI MINIMO-punti di massimo IxoLocale o relativo per la funzione F se esiste un intorno di 7 oFINE )flxtale CHE-punti di minimo IxoLocale o relativo per la funzione F se esiste un intorno Di 7 o)ftxzflxotale che Scaricato da Sturzin Sturzin (gabrygrim05@gmail.com)lOMoARcPSD|9558543

FUNZIONI COMPOSTE( 4) glf.milf)¥ go =flxt-xr.iq/x)- •glflxts-gli-H-ei-xlfoyllx-ft.gl/D=fleH-) 4)lgof = •"e -éi

FUNZIONI INVERTIBILI>se una funzione e monotoma allora Ž sicuramente invertibile>se non • monotoma bisogna vedere se • invertibileest •" ){' (ln+1 -1ye - ³f 7 7 -1³ e= - +17_bhy •}lny

gelsi :( a-+1-2 +ae 7 7o o= 7= - -est UNAIntersecaQUANDO l' YDellesola volta asseconb lo invertibilenoninvertibile Scaricato da Sturzin Sturzin (gabrygrim05@gmail.com)lOMoARcPSD|9558543TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE>traslazioneylxt-flxthsehso.IE-lungo l'Otilde;asse delle y,Dseh-otfylx-flxi.tn )-lungo l'Otilde;asse delle xƒ¥seh » .sehco ¥í . pwstavteglx-c.gl>dilatazione )-lungo l'Otilde;asse delle y;é oaiassexanimatia>c³ ,{ baciataAvvicinai'éz< ×.¥ ylxt-flc.in)-lungo l'Otilde;asse delle xDFƒa ,sec >scoccata 6>cambio di segno-alla funzione glxtiflx" A# " tira" Scaricato da Sturzin Sturzin (gabrygrim05@gmail.com)lOMoARcPSD|9558543ylxt-fl xheglx-lfkl y-flx .IE-alla x-modulo-sulla funzione ¥.³.ylxt-fl lxh.EE-sulla x é"! .³NB. Si perde la parte di sx e la parte di dx diventa simmetricaScaricato da Sturzin Sturzin (gabrygrim05@gmail.com)

1. punto di accumulazione: in
2. punto isolato: quando non è di accumulazione
3. ennesima: quando tende a 0
4. infinita: quando tende a +∞
5. di L: U(l) = intorno
6. se c ed L sono finiti allora si può precisare la direzione:
• limite destro: x→c+
• limite sinistro: x→c-
7. per eccesso: 6-
8. per difetto: -
9. esiste teorema quando unicità del limite:
• limite unico: D/E
• l-E < E+
• ∃E > 0
• ∃δ > 0
• ∀x ∈ D
• 0 < |x - c| < δ
• ⇒ |f(x) - L| < E
10. limite infinito per x che tende ad un valore infinito: lim f(x) = ∞
11. limite infinito per x che tende ad un valore finito: lim f(x) = ∞
12. orizzontale: lim f(x) = A

-0×07est flxttogax)flx) flx •-× -->Discontinuitˆ ÖÖí:-1 specie o salto lim )linm ) &x-oxo.tk /# ×ot 77 o³7 " !// lla FunzioneDellaSAMCHIAMA=D,.-2 specie lim)FGlim flx )se TRAuno ex• o/\o .7 7³ - toisEe- a 0 DISCONTINUITËPUNTO DI7 -0= 6o--Eliminabile lim)flx flx )Klim sono Finitise e -0×0 -• D77 7³ ftxoe uyuan • ¥diversoma ,Scaricato da Sturzin Sturzin (gabrygrim05@gmail.com)lOMoARcPSD|9558543 gg[I>Confronto tra inÞniti ma" .Si ha: Yé% ,8+-ordine superiore) gliflx a> =X se--ordine inferiore)flx) glx O< =sic7 --dello stesso ordine)flxtylx Numero=a+³-solo inÞniti non confrontabili7-=sto7 ->Gerarchia degli inÞniti7a Dé| |ORD ORD. 27 ftp.INF . ×Txp log 7 Scaricato da Sturzin Sturzin (gabrygrim05@gmail.com)lOMoARcPSD|9558543>Limiti delle funzioni elementari-funzioni potenzaCon a>0 e a pari lin >firma é x• +

o×- =__- Io67 -. ( )Con a>0 e a dispari verrai linux :x•lim ! o--- × o_O-0×0 77 -Etalin 7- Oto7 -Con a<0 e a parilimx-xo.se 0=107- o/\o7 - lim ot?•lin -+ a ×>- IOX 6--007-Funzioni esponenziali DHƒCon a>1 " "lima a=¥ 77 o6- lim é• +lim ˜ a._¥ OO sto7 7- - -/ Scaricato da Sturzin Sturzin (gabrygrim05@gmail.com)lOMoARcPSD|9558543 iCon 0<a<1 éaha "him¥ .-0×0*clima " • •lim+00-_ =. stooo 77 - ---Funzione logartmica DCon a>1ilim logloy sexo > o7 o= o7 ¥> , ,-0×07 logolim o=¥ 7 -out7 -him log +