Appunti per superare l'orale di Fluidodinamica con passaggi spiegati passo passo

Fluido

5) Determinazione di Y_CP

dS = P(γ) dA = ρg γ sinθ dA

dI_f = dS y = ρg y² sinθ dA

M_f = ∫_A dI_f = ∫_A ρg y² sinθ dA = ρg sinθ ∫_A y² dA

∫_A y² dA = (∫_A (y_G + y')² dA = ∫_A (y_G² + 2y_Gy' + y'²) dA =

= ∫_A y_G² dA + 2y_G ∫_A y' dA + ∫_A y'² dA

= y_G² A + 0 + I_G

∫_A y² dA = y_G² A + I_G

I = y_G² A + I_G

M = ρg sinθ (y_G² A + I_G)

y_CP = Y_G + I / A_yCP

1) Accelerazioni

r_P(t) = X_P(t) + y(t)î + z_P(t)k

u_P(t) = C(t) + ȳ(t)î + ż_P(t)k

ū = u(x,y,t,z,t) = ū(x,y,z,t) k

a_P(t) = ā(r_P(t),t)

Ā_P(t) = du_P(t) = âr(r_P(t), t)

Vis. Lagrang

Vis. Eulero

Q_X(t) = d/dt(∂(u(x_P(t), y_P(t), z_P(t), t))/∂t) =

= ∂u/∂t + ∂u/∂x ω_p + ∂u/∂y ω_p + ∂u/∂z ω_p + ∂u/∂t

Ricordando che u è funzione di: (x_P(t), y_P(t), z_P(t), t)

Essendo P un punto qualsiasi del campo:

Q_X = d/dt∂u/∂x + ∂u/∂y ω + ∂u/∂z ω

Q_Y = d/dt + ∂/∂y [ ∂X/∂y + υY/∂z]

Q_Z = dω/dt

dω/dt = ∇ū

Notazione impropria

d/dt ∂/∂t + ū

дериватα

Derivata sostanziale

Derivata локале competitura

Punto di vista del campo variazione della grand. precepta dalla particella

11) Th. Trasporto di Reynolds

Scelgo il volume di controllo V₀ coincidente col volume materiale solo all'istante di tempo iniziale

V(t+Δt)

V(t) = V₀ = V₁ ∪ V_V

V(t+Δt) = V ∪ V₂

B(t) = ∫_V(t) (ρβ)_(t) dV

Definisco una grandezza estensiva associata al volume materiale (il pedice m indica che il prodotto è valutato al tempo t)

B(t+Δt) = ∫_V(t+Δt) (gβ)_(t+Δt) dV

dB/dt = lim_Δt→0 (B(t+Δt) - B(t))/Δt

Dobbiame riscrivere questo termine in funzione del volume di controllo

= lim_Δt→0 1/Δt [∫_V1 (ρβ)_(t+Δt) dV - (∫_V(t) (ρβ)_(t) dV)]

= = lim_Δt→0 1/Δt [∫_V1 (ρβ)_(t+Δt) dV + ∫_V2 (ρβ)_(t+Δt) dV] - 1/Δt [∫_V (ρβ)_(t) dV + ∫_V (ρβ)_(t) dV]

Trattiamo separatamente i termini dai termini

per 1l vale:

lim_Δt→0 1/Δt [∫_V ((ρβ)_(t+Δt) - (ρβ)_(t)) dV

∫_V ∂/(∂t) (ρβ) dV

Visto che essendo applicato il limite, quando Δt → 0; V - b V₁ + V = V₀

Quindi

∫_V0 (∂/∂t (ρβ)) dV

POSS1AMO RISCRIVERE TUTTE LE COMPONENTI

x:

_∂u̅ _∂t + (p̅⎯⎯⎯⎯u̅x̅) = -_∂p ^∂x

y:

_∂^v̅ _∂t + (p̅⎯⎯⎯⎯⎯v̅y̅) = -∂⎯⎯⎯p ^∂y

z:

_∂^w̅ _∂t + (p̅⎯⎯⎯⎯⎯w̅z̅) = -_∂p ^∂z - pg̅

IN FORMA COMPATTA:

_∂^u̅ _∂t + (p̅⎯⎯⎯⎯⎯⎯u̅ɷ̅) = -∇p + ⎯⎯⎯pg̅

DOVE g̅ = -g k̂

IN FORMA COMPATTA:

_∂^u̅ _∂t + (p̅⎯⎯⎯⎯⎯⎯u̅ɷ̅) = -∇p + ⎯⎯⎯pg̅

19) CONSERVAZ. QUANT DI MOTO IN FORMA PRIMITIVA

PARTO DALLA COMPONENTE z

_∂^̅w _∂t + ∇(p⎯⎯⎯⎯⎯u̅w̅) = _{- ∂p} ^∂z - pg̅

SVOLGO LA DIVERG.

_∂^̅u _∂t (p⎯⎯⎯⎯u̅x̅) + _∂^v̅ _∂t (p⎯⎯⎯⎯v̅y̅) + _∂^w̅ _∂t (p⎯⎯⎯⎯w̅z̅) = _{- ∂p} ^∂z - pg̅

SVOLGO TUTTE LE DERIVATE DEI PRODOTTI

w ∂ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯u⎯⎯⎯⎯ ∂ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯u ∂u ∂x + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯p ∂ ∂t + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯u ∂w ∂x + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯p̅ ∂p⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

CONSERVA DELLA MASSA QUINDI = 0

_∂^̅w _∂t = _{- ∂p} ^∂z - pg̅

RACCOLGO x e y PER ANALOGIA

IN FORMA COMPATTA:

_∂^̅u _∂t - ∇p + ⎯⎯⎯pg̅

CON g = -g k̂ FORMA PRIMITIVA

EQUIVALENTE DI ma = ∑F

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Legame Costitutivo

Ci servono delle relazioni tra le Ξ e le altre grandezze fluidodinamiche; per capire chi sono le Χ, lo facciamo sotto certi postulati (ipotesi).

• Tensore degli sforzi differisca solo dalle grandezze nell'intorno del punto (nessuna dipendenza dalle derivate temporali, no effetto tardo).
• Fluido omogeneo (no dipendenza esplicita con la posizione; stesso tipo di legame in tutte le direzioni).
• Legame isotropo (non ci sono direzioni preferenziali; la relaz. che lega Ξ e S non cambia ruotando il sistema di riferimento).
• Per i fluidi in quiete il tensore degli sforzi viscosi è nullo o per i fluidi newtoniani c'è una relazione lineare tra Ξ e S.

Date le ipotesi fatte, l'unica soluzione possibile è la seguente:

[Ξ] = 2μ [S] + λ ∇·ū [I]

Anche se non sembra, dietro al 2° termine si nasconde S , essendo

∇·ū = S_xx + S_yy + S_zz

infatti

• _∂u^∂x = S_xx
• _∂v^∂y = S_yy
• _∂w^∂z = S_zz

Le componenti di Ξ valgono:

τ_xx = 2μ S_xx + λ ∇·ū = 2μ_∂u^∂x + λ _∂u^∂x + _∂v^∂y + _∂w^∂z Termini sulla diagon.

τ_xy = 2μ S_xy + 0 = 2μ ₁²(_∂u^∂y + _∂v^∂x) = μ (_∂u^∂y + _∂v^∂x) Term. fuori diagonale

Osservazione

Avendo

[Ξ] = 2μ [S] + λ ∇·ū [I]

se ρ è costante (fluido incomprimibile) ⇔ ∇·ū = 0

Quindi il 2° termine scompare

[Ξ] = 2μ [S]

POSSIAMO TROVARE DIVERSE SOLUZIONI A PARI DI K1

O SE AD ESEMPIO K2 = 0

K₂ = _V/^h

quindi:

U(y) = _V/^h y

P(x,y,z,t) = -_ρgy + _K2

DOVE K₂ E' LA PRESS SUL FONDO

AVENDO LA VELOCITÀ POSSIAMO CALCOLARE IL

TENSORE VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE E

(TRAMITE IL LEGAME COSTITUTIVO) L'ANDAMENTO DELLE TENSIONI

[S] = ^[ _{Sxx Sxy} = ^[ _∂u/∂x ¹/₂ (∂u/∂y + ∂v/∂x) _]

[S] = ^[ _{Syx Syy} ¹/₂ (∂u/∂y + ∂v/∂x) ∂v/∂y _] = ^[ ₀ ¹/₂ (V/^h + 0) _]

CE SOLO DEFORMAZ ANGOLARE

RICORDANDO IL LEGAME COSTITUTIVO

[Z] = ^[ _c'x c'_xy = ^[ ₀ M/