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Orale Meccanica Razionale

  • Cinematica Relativa

P - O = P' - O' + O''

r = r' + c

r = xi + yj + zk = x' i' + y' j' + z' k' + c

ṙ = (ẋ i + ẏ j + ż k) + (ċ + ẋ' i' + ẏ' j' + ż' k')

= v̇ + v̇'

Formula di Poisson

Dice che

  • Ĩ · ω x I'
  • Ĵ · ω x J'
  • K̇ · ω x K'

Detto

Essendo Ĩ · 1 C' -> ∃ ω1 : Ĩ - ω1 x Ĩ

ω2 però è diverso per i 3 versori, in generale

j' = ω2 x j'

K' = ω3 x K'

Quindi devo dimostrare che ω1 - ω2 = ω3

Scrivo

ω1 = α1 Ĩ + β2 Ĵ + δ2 K̇

ω2 = α2 Ĩ + β3 Ĵ + δ3 K̇

ω3 = - α3 Ĩ + β3 Ĵ + δ3 K̇

SAPENDO CHE

∀t

POSSO SCRIVERE CHE

Ẇ × W′ = 0”

SOSTITUISCO GLI

PERMUTAZIONE CICLICA

SVILUPPO I PROD VETTORIALI

Ẇ × K′ = 0

ESSENDO LA PROIEZ DI Ẇ, LUNGO K′

POSSANO RIPETERE TALE PROCESSO PER TUTTI I FATTORI

OTTIENDO

PER QUELLI LUNGO LA DIAG.

POSSO SCIEGLIERI UGUALI A

DOPBIATO ANCORA DIMOSTRARE CHE Ẇ W′ UNICO

PER ASSURDO SUPPONIAMO

TALE CHE

  1.  Ẇ × K = Ẇ × 

  2.  Ẇ × K̇ = Ẇ X K′

(Ẇ- W′)× 

OVVERO CHE

PARALLELO

≡ Ẇ- W′ = 0

≡ Ẇ = W′

W SI CHIAMA VELOCITA ANGOLARE

SE W=0 I VERSORI

  • Conservazione E Meccanica

    E(t) = T(t) + V(t) = x(t), y(t), z(t)

    x, y, z sono funzione del tempo perché ipotizziamo di muoverci lungo una curva

    È = / + V(t) =

    =

    V ⋅ ∇V

    W(-F) ⋅

    W = 0

    Ricordando che

    ∇U = F

    V = -U

    F = -∇V

  • Equilibrio

    rₑ è una config. di equilibrio se r(t) = rₑ ∀t > 0

    E la solu dell'eq dell'oto

    Avendo condd iniziali: r₀ = rₑ e ṙ(0) = 0

  • Stabilità

    Sia rₑ = (rₑ, 0) uno stato cinematico con rₑ conf. di eq.

    Se r(0) = rₑ allora r(t) = rₑ ∀t se rₑ è d equilibrio

    rₑ è stabile secondo Liapunov se:

    δ < ε

    Se inizializzo il sistema in δ, la sua orbita deve rimanere sempre

    In matematica: ∀ε > 0 ∃δ > 0 (δ

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Publisher
davidedostilio
A.A. 2021-2022
39 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/07 Fisica matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher davidedostilio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica razionale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università Politecnica delle Marche - Ancona o del prof Demeio Lucio.