Appunti Misure meccaniche e termiche - prima parte del corso

(A) (B) (C)

Caso bilineare Abbiamo tre soluzioni

Caso (1) spezzare la nuvola di punti in 2

insiemi

Caso (2) rappresentare tutto con una retta, consegue maggiori incertezze perché non

è un modello matematico molto accurato ma è di facile realizzazione ed utilizzo

Caso (3) creare una funzione che segua perfettamente la

nuvola di punti, ovviamente le incertezze saranno limitate ma

il modello è di difficile realizzazione ed utilizzo oltre che avere

uno costo di realizzazione maggiore

2) Fondo scala

È il massimo valore dell’ingresso misurabile

3) Soglia

È il minimo valore dell’ingresso misurabile

4) Isteresi

È la massima differenza che si ottiene tra la curva di

carico e quella di scarico, la differenza delle energie è

generata dalle cause di irreversibilità come attriti e

cause di dissipazione

5) Risoluzione

È la più piccola variazione misurabile in ingresso

6) Sensibilità

È la pendenza della curva di taratura dello strumento, se la curva è una retta allora

=

parleremo di sensibilità costante ovvero

Confronto sensibilità e risoluzione Primo esempio display a 3 cifre

quindi bassa risoluzione ma molla

molto cedevole perciò alta

sensibilità

Secondo esempio display a 5 cifre

quindi alta risoluzione ma molla

poco cedevole e perciò bassa

sensibilità

Tra le due curve è preferibile la curva blu

Perché la sensibilità di quella curva è molto

alta in basso visto la pendenza maggiore e

più piccola in alto, quando è possibile si

preferisce sempre avere maggiori

sensibilità nella misurazione di grandezze

più piccole

Esempio

Si voglia misurare un anello da 3g se la sensibilità dello strumento non è elevata e

invece di rilevare 3g ne rileva 4g l’errore che si commette è paragonabile quasi al 50%

della misurazione stessa

Mentre se si vuole misurare un auto da 5000kg e lo strumento rileva invece 5100kg si

commette un incertezza sulla misurazione di circa il 2% che è molto meno grave

rispetto al primo caso

7) Ripetibilità

è la proprietà dello strumento a fornire valori di lettura uguali fra loro su misurazioni

consecutive dello stesso misurando

parleremo di campo di ripetibilità come differenza tra il valore massimo e il valore

minimo di un campione

8) Stabilità

È l’attitudine di uno strumento a fornire valori uguali di lettura su misure effettuate

sullo stesso misurando in un arco di tempo ben definito

- Modello dinamico

Applicando le leggi che descrivono la dinamica di uno strumento di misura otteniamo

−1 −1

+ + ⋯ + = + + ⋯ +

−1 1 0 −1 1

−1 −1

=

Se consideriamo l’operatore differenziale D come

Allora otteniamo la funzione di trasferimento operazionale definita come segue

[ ]

+ + ⋯ +

0 −1 −1

( ) = [ ]

+ + ⋯ +

−1 −1

- Suddivisione degli strumenti di misura

1) Ordine zero Non c’è alcun ritardo tra ingresso e uscita è uno

strumento idealmente perfetto

Consideriamo nulli tutti i coefficienti ad

eccezione di e

0 0

Perciò

=

0 0 0

0

= =

0

0

Esempio di strumento di ordine zero (potenziometro)

1) Ordine uno ,

Consideriamo nulli tutti i coefficienti ad eccezione di ,

0 1 0

0

+ =

1 0 0 0

1 0 0

+ =

0

0 0

0

1 = sensibilità

= costante tempo

0

0 statica

Introducendo la solita funzione differenziale D si ottiene

+ =

0

0 =

+ 1

Un esempio dello strumento del primo ordine (termometro a mercurio)

- Sensore di ordine uno con ingresso a gradino

Avviene un repentino cambio dell’ingresso

0 ≤ 0

{

=

> 0

Quindi la funzione diventa

+ =

0

Per trovare la soluzione finale prima dobbiamo trovare

−

⁄

= ∙

- Soluzione generale

0

=

- Soluzione particolare 0

Quindi −

⁄

= ∙ +

0 = 0

Sostituendo le condizioni iniziale ovvero t = 0 e 0

−

⁄

(1 )

= −

0

La risposta del sensore non segue

perfettamente l’ingresso ma tende

asintoticamente verso il valore finale del

gradino

- è il tempo che il gradino impiega a ricoprire circa il 63% del gradino per

3/4

questo solitamente si parla di per aumentare la risposta del sensore

- Se il sensore seguisse perfettamente il gradino allora vorrebbe dire che il

sensore non è stato sollecitato al massimo delle proprie caratteristiche

- Sensore di ordine uno ingresso a rampa 0 ≤ 0

{

=

̇ > 0

Perciò + = ̇

0

La soluzione finale questa volta sarà

−

⁄

(

= ∙ + − )̇

0

La risposta del sensore è una curva traslata di un valore

; pertanto diremo che se un sensore di ordine uno

volesse misurare una grandezza lineare nel tempo

questo fornirà il valore solo dopo un istante di tempo

- Ordine due , ,

Consideriamo tutti i coefficienti della formula nulli ad eccezione di ,

2 1 0 0

2

0 0

+ + =

2 1 0 0 0

2

2

2 0 1 0 0

+ + =

0

2

0 0 0

1

2

2 0

1

= =

=

2

0 0

0

Dove

- pulsazione naturale

- rapporto di smorzamento

0 = 2

2

+ +1

2

Un esempio di strumento di ordine due (bilancia con molla)

Gli strumenti di ordine due hanno un range di misurazione

dopo di che lo strumento entra in risonanza

Fino a questo punto abbiamo

la misurazione dopo di che ci

sarà la risonanza

Possiamo rappresentare questi sensori in funzione dello smorzamento

>1

- risposta sovrasmorzata

possiamo dire la risposta in frequenza è

simile a quella di uno strumento di ordine

uno

- Minore sarà lo smorzamento e

maggiore sarà il campo utile in frequenza

- Se applichiamo un ingresso a gradino al sensore del secondo ordine noteremo

2

che l’uscita segue l’ingresso con un ritardo di tempo pari a

- Elementi a tempo morto

Scriveremo l’uscita come = ( − )

0

Ovvero il sensore segue perfettamente l’ingresso ma con un piccolo ritardo

Esempio, sono tutti quei sensori in cui il segnale viene trasportato da un punto ad un

altro con una certa velocità (trasmissione elettriche)

Se analizzassimo solo le ampiezze avremmo un

grafico identico a quello di uno strumento di

ordine zero perché abbiamo detto che la risposta

segue fedelmente l’ingresso, ma la differenza sta

nel grafico delle ampiezze dove ci accorgiamo

che ne risulta una retta decrescente

- Filtri

Classifichiamo i filtri come

- Attivi; utilizzano fonti d’energia esterna per funzionare

- Passivi; utilizzano parte dell’energia del segnale per filtrare il segnale stesso

Va inoltre specificato che il filtro riceve ed emette un segnale dello stesso tipo

Tipologie di filtri

1) Filtro passa basso

Permette il passaggio solo delle armoniche che hanno una frequenza inferiore a quella

della frequenza specifica detta frequenza di taglio

2) Filtro passa alto

Permette il passaggio solo delle armoniche che hanno una frequenza superiore a

quella di taglio

3) Filtro passa banda

È la composizione di un filtro passo basso e passa alto permette il passaggio delle

;

armoniche comprese tra 2 frequenze

4) Filtro taglia banda ;

Permette il passaggio di tutte le frequenze escluse quello comprese tra la zona

- Segnali é una variazione nel tempo della grandezza stessa

(̅ )

Nella figura il segnale in rosso ha un componente costante

( = −

Mentre l’altro è costituita da una componente alternata

̅ )

Possiamo classificare i segnali in due gruppi

1) Segnali deterministici per i quali si può specificare l’andamento nel

tempo

2) Segnali casuali per i quali l’andamento nel tempo o la forma d’onda

non sono descrivibili

Descrizione della variazione delle ampiezze di un segnale

a) Valore medio

1

̅̅̅̅̅̅

( ) ( )

( ) ∫

= lim

→∞ 0

Il valore medio esprime il livello attorno al quale il segnale fluttua ma non dice con

quale ampiezza, se volessimo esprimere anche l’ampiezza potremmo considerare la

differenza tra il valore massimo e minimo

b) Valore quadratico medio

1

̅̅̅̅̅̅̅ 2

2 ( ) ( )

( ) ∫

= lim

→∞ 0

Fornisce un informazione sull’ampiezza media su tutta la durata del segnale

c) Funzione distribuzione di ampiezza

Può accadere che due segnali abbiano stesso valore quadratico medio ma che la loro

ampiezza sia completamente diversa, ad esempio nella forma.

Definiamo questa funzione come ( ))

( , + ∆

1 1

( )

= lim

∆

∆ →∞

+ ∆

(‘’P’’ probabi