Appunti Microeconomia

ESERCIZIO

2 2

= + = 2 = 2

2

= = =

, 2

Ci troviamo in una situazione nella quale la pendenza è crescente.

Particolari funzioni di utilità Il primo caso è quello dei beni perfetti sostituti; si tratta di

quei beni che sono perfettamente sostituibili. = +

In particolare la funzione di utilità è pari a

, > 0. = = ,

con Di conseguenza quindi

= , quindi non è né crescente né decrescente;

⁄

,

infatti il grafico della funzione di utilità è una retta

−

negativamente inclinata, a pendenza costante pari a .

⁄

Nel caso particolare del grafico sulla sinistra, l’equazione

dell’utilità è = + 2 = 1 = 2.

con

Il secondo caso è quello dei beni perfetti complementi; si

tratta di beni che vanno necesariamente considerati

insieme. = ∙ min

(, ),

In particolare la funzione di utilità è pari a

tale funzione sottolinea che l’utilità associata al consumo

di x ed y è uguale ad un valore a moltiplicato per il minimo

dei due numeri tra parentesi.

Per esempio consideriamo a=10:

 Per il paniere (2, 2), U=10*2=20

 Per il paniere (3, 2), U=10*2=20

Ciò significa che i due panieri si trovano sulla stessa curva di indifferenza.

Il terzo caso è quello delle preferenze quasi lineari, dove la

= () + ,

funzione di utilità è pari a dove v(x) cresce al

crescere di x, e b è una costante positiva.

Le curve di indifferenza sono parallele, quindi per ogni valore di

x, le pendenze delle curve di indifferenza saranno le stesse, cioè

le pendenze delle curve sono identiche nel caso dei panieri A, B

e C.

Il quarto ed ultimo caso è quello delle Cobb-Douglas, dove la

=

funzione di utilità è pari a , con le utilità marginali pari

−1 −1

= = =

a . Il marginal rate of substitution è pari a ,

⁄

,

quindi all’aumentare di x l’MRS diminuisce.

Le tre proprietà sono:

 MU sono entrambe positive, quindi l’ipotesi di monotonicità è soddisfatta;

 Essendo entrambe positive, anche MRS è positivo, quindi le curve di indifferenza hanno

pendenza negativa;

 MRS è decrescente, quindi le curve di indifferenza sono convesse.

Capitolo 4: La teoria della scelta del consumatore

4.1 Il vincolo di bilancio

definisce l’insieme dei panieri che

Il vincolo di bilancio il consumatore può acquistare con un

reddito limitato. In questo caso il reddito corrisponde alla risorsa scarsa del consumatore, che

deve agire, non più seguendo le sue preferenze, ma tenendo conto del vincolo imposto dal suo

reddito.

La linea di bilancio (Budget line, BL) indica tutte le combinazioni x, y che il consumatore è in

grado di acquistare spendendo tutto il reddito disponibile, rinunciando quindi al risparmio.

∙ + ∙ = ,

La linea di bilancio può essere espressa come: dove la prima parte

dell’equazione corrisponde all’unità di valore. A soddisfare tale equazione sono tutte le

combinazioni x, y (panieri), la cui somma eguaglia il valore del reddito.

= − ∙ ,

( )

Scrivendo l’equazione della linea di bilancio in funzione di y, otteniamo: dove

y è la variabile dipendente dell’equazione, mentre x è la variabile indipendente dell’equazione.

∙ + ∙ ≤ .

Il vincolo di bilancio può essere espresso come

ESEMPIO x è pari a €20,

Abbiamo due beni x e y; il prezzo di

il prezzo di y è pari a €40 e il reddito del

consumatore è pari a €800. Come si rappresenta il

vincolo di bilancio?

Scrivendo i valori dati dal problema all’interno

dell’equazione della linea di bilancio, otteniamo:

20 + 40 = 800 → = 20 − 2

Per trovare la retta sul grafico, troviamo due punti;

in particolare poniamo prima x=0, trovando il punto

A in cui si consuma solo il bene y, e

successivamente poniamo y=0, trovando il punto E in cui si consuma solo il bene x.

∆ , ovvero l’ammonatre del bene y a cui bisogna

⁄

La pendenza della linea di bilancio è ∆

rinunciare per acquistare un’altra unità del bene x. In particolare la pendenza, nel caso della linea

di bilancio, può essere calcolata sfruttando il prezzo

−

del bene x e del bene y: .

⁄

Il consumatore può acquistare tutti i panieri che si

trovano sulla retta (spendendo esattamente il reddito

I, rinunciando quindi al risparmio), oppure i panieri

che si trovano al di sotto della linea di bilancio. È

certo che il consumatore non può acquistare i panieri che si trovano al di sopra della retta, poiché

tali panieri richiedono una spesa superiore al valore del reddito.

Cosa succede al vincolo di bilancio se si modifica il reddito? Questo è un classico esempio di

statica comparata. che il reddito venga incrementato di €200, passando da €800 a €1.000,

Ipotizziamo quindi ma

lasciando invariati i prezzi dei due beni. Dobbiamo calcolarci nuovamente i punti di estremità della

retta (ovvero i panieri in cui si consuma solo l’uno o l’altro bene).

1.000 1.000

= = 25 = = 50.

40 20

Come possiamo notare dal seguente grafico, la retta si sposta più in alto, ma la sua pendenza non

varia poiché quest’ultima è in relazione ai prezzi dei due beni.

Cosa succede al vincolo di bilancio se si

modifica uno dei due prezzi?

Ipotizziamo quindi che il prezzo del bene x

venga incrementato di €5, passando da

€20 a €25, ma lasciando invariato il prezzo

del bene y e il reddito.

Dobbiamo calcolarci nuovamente il punto in

cui l’unico bene consumato è il bene x:

800

= = 32. Graficamente si può

25

2

notare che la pendenza è diversa; infatti la

retta è più inclinata. La nuova pendenza è

25 5

− ⁄ = − ⁄

pari a .

40 8

Nel caso in cui a variare sia il prezzo del bene y, aumenta, quindi non cambierà, ma

⁄

cambierà che si abbasserà; il risultato sarà una retta meno inclinata rispetto a quella di

⁄

partenza.

4.2 La scelta ottima

La scelta ottima è il risultato delle preferenze del consumatore e del vincolo di bilancio. Dobbiamo

effettuare due assunzioni a riguardo:

 La quantità dei beni in questione non può essere negativa;

 Si tratta di scelte razionali.

Con “scelte razionali” si intende che l’analisi viene effettuata con il presupposto che gli individui

siano razionali; gli individui razionali sono i consumatori che scelgono il paniere che massimizzi la

sua utilità dato il vincolo di bilancio. Si tratta di un analisi che si effettua nell’immediato, come se

non ci fosse un domani; per questo motivo il consumatore che sceglie un paniere che si trova al di

sotto del vincolo di bilancio piuttosto che sulla retta stessa, non sta effettuando una scelta ottimale.

Il problema del consumatore è scegliere x ed y per massimizzare la sua utilità non eccedendo sul

max (, ) : ∙ + ∙ ≤ .

vincolo, in termini matematici:

Riprendendo l’esempio precedente, le curve di

indifferenza del vincolo di bilancio sono

rappresentate nel seguente grafico.

Sovrapponendole alla retta che indica il vincolo

di bilancio, troveremo dei punti in cui si

intersecano.

Senza passare per l’interpretazione economica, l’ottimo internoè il punto per il quale la curva di

indifferenza è tangente alla linea di bilancio (A). In quel punto la pendenza della curva di

indifferenza è uguale alla pendenza del vincolo di bilancio. Quindi le condizioni di ottimo sono

∆

⁄ = −

date dalla pendenza del vincolo di bilancio eguagliata al rapporto tra i prezzi

⁄

∆

= .

⁄

,

L’interpretazione economica della condizione di ottimo è che il tasso al quale il consumatore

sarebbe disposto a scambiare i beni x ed y è uguale al tasso con il quale i beni sono scambiati nel

mercato.

= =

Poiché , la condizione di tangenza , può anche essere espressa

⁄ ⁄

, ,

= = → ⁄ = ⁄

come: .

⁄ ⁄

,

B non è un punto di ottimo, poiché il rapporto

tra l’utilità marginale ed il prezzo di x e y, sono

diverse tra loro:

16 8

= → ≠

20 40

ESEMPIO DI OTTIMO INTERO

Ipotizziamo una funzione di utilità pari a xy,

calcoliamo subito l’utilità marginale di x e y:

= , = . Ipotizziamo che il reddito

sia pari a €800, il prezzo del bene x pari a €20 e il prezzo del bene y pari a €40. Il grafico è quello

riportato a sinistra.

Qual è il paniere di consumo ottimo?

Idividuiamo la linea di bilancio: 800=20x+40y; la condizione di tangenza è data dall’uguaglianza tra

il rapporto delle utilità marginali di x e y, e il rapporto tra i prezzi di x e y. Otteniamo che x=2y, e a

questo punto abbiamo due equazioni in due incognite.

Ricordiamo che l’ottimo deve essere il punto nel quale il vincolo di bilancio è tangente alla curva di

indifferenza, e questi punti sono infiniti. Infatti, se abbiamo le curve di indifferenza parallele tra loro,

l’MRS sarà uguale per tutte, quindi i punti in cui la serie di l