Appunti Meccanica del veicolo

G

Y del baricentro e l’angolo di imbardata ψ fra gli assi “locale” x e “assoluto” X.

G Le equazioni di moto (del baricentro) sono (l’asse

Z coincide con z quindi la terza equazione la

scriviamo già nel sistema assi-corpo):

̈ =

̈

{ =

̈

=

Però F , F e M sono forze e momenti calcolati

X Y Z

nel sistema di riferimento fisso, ma la nostra

abitudine è quella di scrivere le forze e i momenti

nel sistema di riferimento assi corpo; per passare

dal sistema di riferimento mobile al sistema di riferimento fisso si usa la matrice di rotazione R(ψ)

descritta nel seguente modo (anche se noi utilizzeremo solo la sotto matrice 2x2 contenente i seni e i

coseni): − 0

( )

() = 0

0 0 1

Tale per cui:

−

( )=( )( )

Si noti che, poiché ψ non è piccolo, le espressioni ottenute non sono linearizzabili.

= → =

Tale matrice gode di tutte le proprietà delle matrici di rotazione, in particolare che

−1

per cui si possono scrivere le equazioni di moto nel sistema assi corpo, definendo u e v come le

componenti della velocità V nel sistema mobile:

̇

−

( )(

( ̇) = )

Ossia: ̇ = −

{ ̇ = +

Di conseguenza, facendo la derivata per trovare le accelerazioni si ottiene: 57

̇ ̇ ̇) ̇)

̈ = ̇ − − ̇ − = (̇ − − (̇ +

{ ̇ ̇ ̇) ̇)

̈ = ̇ + + ̇ − = (̇ − + (̇ +

Le equazioni di moto diventano allora: ̇) ̇)]

[(̇ − − (̇ + =

̇) ̇)]

{ [(̇ − + (̇ + =

̈

=

Osservando che:

−1 ( )

= −

Allora si può scrivere: ̈

( )( ( )( )

̈) = = ( )

− −

̇) ̇)]

[(̇ − − (̇ +

( )( )=( )

̇ ̇

−

[(̇ − ) + (̇ + )]

Da cui si ottengono, svolgendo il pordotto e semplificando, le equazioni di moto scritte nel sistema di

riferimento assi corpo (a parte il momento che rimane scritto nel sistema di riferimento fisso):

̇)

(̇ − =

̇)

{ (̇ + =

̈

=

Le espressioni trovate, pur essendo ancora non lineari, sono, rispetto alle equazioni di moto iniziali,

più semplici da scrivere e più facilmente linearizzabili. L’obiettivo ora è quello di valutare le forze F e

x

F che agiscono sul veicolo.

y

Anche gli angoli di deriva degli pneumatici possono essere

espressi in funzione delle coordinate assolute, per poi

calcolare le forze laterali (funzioni dell’angolo di deriva) .

Se consideriamo il sistema di riferimento dello pneumatico

(quello per cui l’asse x sta sul piano di simmetria dello

pneumatico stesso) allora si individuano i seguenti angoli:

• δ angolo di sterzo, formato dall’asse x della ruota

i p

e l’asse x del veicolo

• α angolo di deriva dello pneumatico, angolo

i

formato dall’asse x della ruota e la velocità

p

• β angolo formato dall’asse x del sistema assi-corpo

i

e la velocità dello pneumatico 58

Per cui vale: = −

(Questo perché gli angoli hanno un segno, in particolare α è positivo in senso orario, mentre β e δ in

i i i

senso antiorario) ma conosciamo β dato che è nota la posizione dell’impronta dello pneumatico

i

P =(x ;y ) (dato dal fatto che il sistema è un corpo rigido e il centro di impronta coincide con la

i i i

proiezione del centro del mozzo) e quindi è nota anche la velocità: ̇

−

̇̂ ̇̂

⃗ ⃗ ( ( ̂)

= + ∧ − ) = ( ) + ∧ ̂ + = ( )

̇

+

̇

+

( )

= = ( )

̇

−

Di conseguenza, nel caso di comandi bloccati, ovvero nel caso in cui δ sia noto, allora è noto anche α :

i i

̇

+

= − = ( ) −

̇

−

Per calcolare le forze scambiate dallo pneumatico, oltre all’angolo di deriva e all’eventuale

slittamento longitudinale (frenatura o trazione), si devono calcolare le forze verticali.

Per valutare l’influenza delle forze normali (e, in particolare, la loro asimmetria dovuta, appunto, al

trasferimento di carico) sulla sterzatura occorre considerare la deformabilità delle sospensioni, poiché

altrimenti si avrebbe una struttura iperstatica (corpo rigido su quattro appoggi) e non saremmo in

grado di calcolare la ripartizione delle forze sugli pneumatici.

Con il modello ad 1 grado di libertà per la dinamica longitudinale si è scritto:

1

2

( + ) + ̈ ℎ + ̇ ℎ + 4 ̈

1 2

2

=

2

− 2

=

{ 2

̇

̈ ̇ −

Sostituendo a la forma si ottengono le espressioni del trasferimento di carico tra asse

anteriore e asse posteriore espresso in termini delle variabili del moto u, v, ψ. Queste due equazioni,

però, permettono solo di calcolare il trasferimento di carico tra i due assi anteriore e posteriore, ma

ora a causa della forza centrifuga introdotta dalla traiettoria curvilinea, si ha anche un trasferimento

di carico tra interno ed esterno curva. 59

Per fare ciò, facendo riferimento

all’immagine si possono scrivere le forze

agenti sulle ruote dell’i-esimo assale:

= + Δ

2

{

= − Δ

ⅆ

2

Dove ΔF è positivo quando le ruote nel

zi

semipiano con y positivo sono caricate (nel

caso in figura quelle a sinistra).

Scriviamo l’equilibrio alla rotazione attorno

all’asse x in G:

∑ ℎ + ∑ Δ + = 0

Dove generalmente il contributo dovuto alle forze aerodinamiche viene trascurato. Ancora un avolta

però, questa equazione permette di calcolare il trasferimento globale tra la parte destra e la parte

sinistra, ma non permette di trovare il trasferimento di carico tra anteriore e posteriore.

Per questo motivo, è necessario introdurre la rigidezza a rollio

(torsionale) k dell’assale i-esimo, ovvero una rigidezza a rotazione

ti

equivalente dovuta alle rigidezze traslazionali k delle sospensioni, a

cui poi si aggiunge lo smorzamento viscoso C degli smorzatori. Se si

indicha con φ l’angolo di rollio, si ha che: ̇

= Δ −

̇

In cui il termine rappresenta, appunto, lo smorzamento viscoso dell’assale, che è trascurabile per

basse velocità. Per l’intero veicolo si ha:

∑ Δ = ∑

∀ ∀

Ricavando φ dalla precedente e sostituendo nell’equazione del generico assale si ricava il

trasferimento di carico su ogni singola ruota: ∑

Δ

∀

Δ =

∑

∀

5.2.1 Equazioni di moto

Adesso, facendo riferimento, ad esempio, alla formula di Pacejka, si può scrivere che la forza

= ( ; ; ).

orizzontale agente come funzione di Facendo riferimento alla figura sotto, le

equazioni di moto possono essere riscritte nel sistema assi corpo come: 60

1

̇) 2

∑ ∑

(̇ − = − − −

2

1

̇) 2

∑ ∑

(̇ + = + + +

2 1

̈ ̃ 2

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + −

{ 2

Dove le e sono equazioni delle forze nel sistema di riferimento degli pneumatici e gli angoli

θ rappresentano la pendenza del piano stradale in direzione longitudinale e trasversale.

Queste tre equazioni, insieme alle relazioni per gli

angoli di deriva e a quelle costitutive delle forze

esercitate dallo pneumatico (ad esempio Pacejka),

sono in grado di descrivere completamento il

comportamento direzionale del veicolo, con l’unica

approssimazione legata all’ipotesi di veicolo rigido. Il

problema è che sono equazioni d