Appunti Meccanica dei mezzi porosi

Tensore "Gradiente di deformazione"

−TT(Fare per casa F e F ) 49Lezione 7 - 04/04/2023NOTA BENE: questi appunti sono COMPLEMENTARI alle dispense caricate sul portale.Necessitano infatti di un continuo confronto con le notazioni/calcoli fatti sulle dispense.Tensore "Gradiente di deformazione"−1 TIn maniera analoga a quanto è stato fatto per F , scriviamo F . Ricordando il formalismoche stiamo utilizzando, quando io fisso un coppia X, t, allora F prende vettori dallo spaziodei vettori tangenti a B nel punto X, dove ci sarà uno spazio di vettori che partono tuttiR 3da questo punto X e l’insieme di tutto questo spazio di vettori è isomorfo a e dunque perRdescriverlo è necessario fissare una base costituita da tre vettori linearmente indipendenti,eventualmente ortonormali ma non necessariamente) e questa base genera tutto lo spazioS,T B e il vettore viene trasformato di T dove x è il moto della fase solida valutato inX R xX, t. Tutto questo in formule si traduce in: → SF (X, t)

T B TX R xx = χ(X, t)−1 −1

In maniera speculare, se calcolo F , questo F è velutao in x, t e quindi prende vettori diST e li trasforma in vettori di T B :x X R−1 S →F (x, t) : T T Bx X R−1X = [χ̂(·, t)] (x) = Ξ(x, t)

Nota 31 La mappa χ̂ è invertibile poichè restrizione all’immagine (ovvero a tempo fissato).Per scrivere bene questa mappa, introduciamo Ξ che dfiniamo come moto inverso.T TOvviamente, la stessa cosa vale per F ; quindi quando scrivo F , anch’esso è calcolatoin x, t quindi bisogna fare attenzione: la trasposizione di un tensore non significa ‘scambiareTrighe con colonne’, ma significa scambiare gli spazi di partenza e di arrivo. In realtà Fnecessiterebbe di passare attraverso la dualizzazione degli spazi, ma siccome noi non stiamoutilizzando il formalismo covariante, noi scriviamo:T S →F (x, t) : T T Bx X R−T → SF (X, t) : T B TX R x

Grazie a queste definizioni abbiamo

Nota 32 In realtà F si chiama 'gradiente', ma non è un gradiente, è lo Jacobiano di χ e quindi le componenti ∂χ/∂a (X, t)F (X, t) = [Dχ(X, t)] = aA aA A∂X50F si chiama a due punti perché parte da X e arriva in x, quindi è un tensore a due punti; prende X e non solo lo ruota, lo allunga o lo accorcia, ma gli cambia anche punto di applicazione con la mappa del moto. 'Moto' in realtà è una parola impropria, questo è un embedding, un conficcamento, dal piazzamento di riferimento alla porzione di spazio in cui la miscela è all'istante di tempo t.

Come si fa a scrivere F? Attenzione che le componenti di F (è vero che sono Aa) sono calcolate in (x, t), dunque significa che le sto calcolando nell'x che

composizione e F non andrà composto perché ‘sta già dove deve stare. Possiamo definire allora DEF 25 (Tensore di stretch di Cauchy-Green) → C(X, t) : T B T BX R X RTC(X, t) = F (χ(X, t), τ (X, t))F (X, t) Questo è un tensore perché esso prende un vettore di T B e restituisce un vettore di T B . X R X R Nota: begli appunti c’è anche il tensore metrico che per noi, se non utilizziamo il formalismo covariante, li supponiamo come identità. Il tensore C ha la proprietà di prendere un tensore da T B , ruotarlo, allungarlo o accor-X R ciarlo e poi moltiplicarlo scalarmente per la stessa cosa. Quindi questo tensore misura le lunghezze, riportate alla configurazione di riferimento dei vettori sottoposti a deformazioni. DEF 26 (Tensore di strain di Green-Lagrange) 1 - [C(X, t) t)]E(X, t) = I(X, 2 51 L’identità è l’identità materiale, cioè quella associata a B e a rigore devo dare i punti I R perché l’identità è costante in tempo che

significa che≡∂ 0Itin generale però dipende da X nel senso che l’identità è attaccata allo spazio tangente in cui mi muovo.

Nota 33 (L’identità materiale) L’identità è attaccata allo spazio tangente in cui mi muovo.

In geometria c’è questa grande libertà: siccome, in genrale, quando io perdo la struttura dispazio euclideo (o ce l’ho, ma non la voglio utilizzare per mantenermi generale) questa iden-tità è il tensore metrico; il tensore metrico non è costante punto per punto perchè il puntoin cui mi metto lo fa cambiare.

Pensiamo, ad esempio, alle coordinate cilindriche in cui il tensore metrico è diagonale con2diagonale (1, r , 1), dove r è la componente radiale. Allora il tensore metrico in questo casonon è l’identità e non è neanche dimensionalmente omogeneo (le sue componenti non sonodimensionalmente omogenee) perchè i tensori di base non sono normalizzati e quindi hannodimensioni fisiche diverse. Nella

La nostra geometria la metrica non dipende dal tempo (ma esistono geometrie in cui, invece, le metriche possono dipendere dal tempo). Se facciamo l'esempio in cui supponiamo di voler studiare un moto su di una superficie (che è una varietà); la superficie può essere ferma immobile oppure può essere una specie di medusa che nuota e quindi ho una componente di moto che dipende dal moto della superficie. In quel caso la metrica cambia nel tempo esplicitamente perché è data dal moto della medusa (e quindi cambia la normale nel tempo, cambia la curvatura, la torsione etc.). Siccome noi non siamo covarianti, ma il non essere covarianti si fa perdonare quando siamo cartesiani. Allora, cartesianamente l'identità è costante anche nello spazio; quindi è vero che la devo pensare volta per volta attaccata a spazi diversi, però è anche vero che: ∂IAB ∀A,= 0 B, C∂X CDEF 27 (Forma Lagrangiana) × T →f : B R|Kt dove indica uno spazio normato qualsiasi.

Potrei dover restringere perché devo garantire che l'immagine della funzione più interna stia nel dominio della funzione più esterna, per poter concatenare e quindi ho una restrizione del dominio della funzione f. Ma noi qui stiamo supponendo che tutto l'immagine di χ e τ stia nel dominio di f, quindi posso fare la composizione). Attenzione che nel momento in cui la supposizione non fosse possibile, in generale dovrei trovare un sottoinsieme di B e un sottinsieme di un prodotto cartesiano, in generale, non è un prodotto cartesiano.

Derivate

Supponendo che tutte le operazioni successive siano possibili si ha: ∘ ◦ ∂f = [gradf (χ, τ)]χ̇ + [∂f (χ, τ)] τ̇t t |{z}=1 ∘∂f (X, t) = gradf (x, t)v̄ (x, t) + ∂f (x, t) = Df (x, t)t s t s ≡ dove v̄ = χ̇(X, t) ∂ χ(X, t)s t

Ora, per la chain rule si ha che: ∘ ∂τ ∂f ∂χ ∂f ∂f a ◦◦ (χ, τ) = ∂χ ∂τ

τ )= (χ, τ ) + =∂X ∂x ∂X ∂t ∂XA a A A| {z }=0 perchè τ è proiezione ∂f ∂fT◦ ◦ ◦= (χ, τ ) F = [F (χ, τ )] (χ, τ ) =aA Aa∂x ∂xa a ∂fT ◦ (χ, τ )= (F )Aa ∂x adove utilizziamo sempre la notazione di Einstein sugli indici risommati per cui se c’è unindice ripetuto devo intendere una sommatoria, se non specificato altimenti. Inoltre dallaseconda riga ho che se io voglio conoscere una grandezza Lagrangiana, devo conoscere F .Questa scrittura mi piace tanto perchè la composizione di funzione, quando i domini deiprodotti sono uguali (e lo devono essere per forza perchè il prodotto di due funzioni è definito× Tnell’intersezione dei domini delle due funzioni, ce qui è banale: B , per semplicità).tLa composizione inoltre è distributiva rispetto al prodotto (questo spiega l’uguaglianza dalsecondo al terzo rigo). Questa scrittura allora mi piace