Appunti Meccanica applicata alle macchine

T AN T AN T AN 2

· ·

F =

F = + tanh θ = (1 + tan θ)

2

cos θ cos θ cos θ

In fine avremo: Q p

T AN 2

· 1 + tan θ

F = 2

cos θ

5.10 Ruote coniche

Le vengo utilizzate quando l’albero motore e l’albero dell’utiliz-

ruote coniche

zatore non sono paralleli, ma i loro assi sono incidenti.

Per spiegare come avviane la trasmissione tra due ruote coniche, supponiamo di

avere l’asse del motore e l’asse dell’utilizzatore incidenti in un punto O, forman-

do un angolo Allo stesso modo, fatto per le ruote di frizione, supponiamo

Ψ.

di avere due coni a contatto che ruotano l’uno sull’altro senza strisciare. I due

coni hanno in come la retta detta retta generatrice del cono:

s,

Poiché rotolano senza strisciare l’uno con l’altro, i punti di contatto appartenenti

alla retta avranno tutti la stessa velocità. Allora possiamo scrivere, la velocità

s

del punto P generico della retta come:

s ·

V = ω r

P 1 1

·

V = ω r

P 2 2

Definendo gli angoli cioè l’angolo che i rispetti assi formano con la retta

φ, s,

possiamo scrivere i raggi come: ·

r = OP sin φ

1 1

155

·

r = OP sin φ

2 2

Allora il rapporto di trasmissione tra le due ruote, lo possiamo definire come:

ω sin φ

r OP sin φ

2 1

1 1

τ = =

= = OP sin φ

ω r sin φ

2

1 2 2

Possiamo osservare allora che in fase di progettazione, per avere un determi-

nato rapporto di trasmissione , devo ricavare e dal seguente sistema di

τ φ φ

1 2

equazioni: ® Ψ = φ + φ

1 2

sinφ

τ = 1

sin φ

5.10.1 Geometria delle ruote coniche

Il profilo di una dente di una ruota conica è analogo a quello di una denti

dritti, cioè caratterizzati dal profilo ad evolvente. L’unica differenza è che nelle

ruote a denti dritti, avevano un cilindro fondamentale su cui veniva poggia il

piano generatore che generava il profilo, in questo caso invece abbiamo un cono

fondamentale su cui viene poggia il piano generatore:

Possiamo osservare come, a causa del carrista geometrica del cono, i denti avran-

no un altezza che diminuisce con il diminuire della distanza dal vertice Poiché

O.

l’altezza del dente è variabile, anche le altre grandezze che caratterizzano i denti

variano. Allora si è deciso di assumere come grandezze caratteristiche, le gran-

dezze che si misurano alla base del cono (parte più esterna). Inoltre il dente ,

viene il dente viene delimitato da un cono (cono che ha ge-

complementare)

neratrici perpendicolari a quelli del cono primitiva, per cui avrà angolo rispetto

all’asse della ruota π − φ:

2 156

5.10.2 Numero minimo di denti

Come per le ruote elicoidali, vogliamo trovare il modo per ottenere un equiva-

lenza tra le ruote a denti dritti e le ruote coniche.

Se osservo l’intorno di ingranamento di due ruote coniche in direzione della retta

generatrice, posso approssimare l’accoppiamento tra due ruote coniche a ruote

a denti dritti:

Allora posso individuare il piano perpendicolare alla retta generatrice, e divi-

derlo in due ed ottenere le corrispondenti ruote dentate a denti dritti per le due

ruote coniche: 157

Il raggio delle due ruote a denti dritti può essere individuato come:

r

1

∗

r =

1 cos φ 1

r

2

∗

r =

2 cos φ 2

Allora il rapporto di trasmissione associato alle corrispondenti ruote a denti

dritti vale: ∗

r r cos φ cos φ

1 2 2

∗ 1 · ·

τ = = = τ

∗

r r cos φ φ

2 1 1

2

Dove è riferito alle ruote a denti dritti, mentre è quello delle ruote coniche.

∗

τ τ

Allo stesso modo, possiamo ricavarci il numero di denti minimo per l’ingrana-

mento di due ruote coniche. Sapendo che il numero minimo di denti ∗

∗ (τ ; θ)

z

M IN

per le ruote a denti dritti, lo possiamo scrivere come:

z

∗

z M IN = cos φ

Da cui ricaviamo il numero effettivo di denti per le ruote coniche:

ef f ∗ ·

z = z cos φ

M IN

M IN

Dove l’angolo è riferito alla ruota conica più piccola.

φ

5.10.3 Forze scambiate

Sappiamo che durante l’accoppiamento tra due denti dritti, si genera un for-

za inclinata dell’angolo di pressione, che possiamo scomporre in una direzione

radiale e un tangenziale C = Q r

1 21 1

R = Q tan θ

21 21

158

Per le ruote coniche, allora, in corrispondenza del piano immaginario ipotizzato

approssimato all’accoppiamento di due ruote a denti dritti, avremo la presenza

della componente radiale lungo il piano e quella tangenziale sarà entrante o

∗

R

uscente a seconda del verso di rotazione.

A questo punto, avremo che la forza può essere scomposta in una componente

∗

R

assiale e radiale

Nota la coppia agente sulla ruota conica 1, possiamo scrivere:

∗ ∗

F = R = Q tan θ

a 12

Osserviamo come la forza assiale e quella radiale agente sulle ruote coniche tende

ad allontanare le ruote. Allora ci adopera al montaggio di cuscinetti assiali.

5.11 Rotismo ordinario

Dal punto di vista cinematica, è possibile rappresentare l’accoppiamento tra due

ruote utilizzando solo le circonferenze primitive:

159

Per il rapporto di trasmissione, oltre a tenere conto delle velocità angolari delle

due ruote, devo tener presente anche del segno. nell’immagine precedente, avre-

mo che la ruota motrice gira in senso orario, per cui farà muovere l’altra ruota

in senso opposto. Per cui segno sarà negativo:

r z

ω 1 1

2 − −

= =

τ = ω r z

1 2 2

Un’altra semplificazione che possiamo fare, questa dal punto di vista grafico, è

quella di utilizzare lo Cioè guardare le due ruote dall’alto.

schema unifilare.

Per cui avremo nel nostro caso:

Se avremo un accoppiamento con ruote dentate interne, avremo:

In questo caso però la trasmissione ha segno positivo, poiché le due ruote girano

nello stesso verso. In definitiva, avremo che la trasmissione sarà positiva se l’ac-

coppiamento avviene tra due ruote con denti esterni. Positiva se il rotolamento

160

avviene internamente. , e di ipotizzare grazie al

Supponiamo ora di avere un accoppiamento 1

τ = 100

proporzionamento modulare un numero di denti per la ruota 1 di 18. Per cui

avremo per la ruota 2. A questo punto, ci possiamo

·

z = 100 18 = 1800

2

calcolare la circonferenza fondamentale per la ruota uno:

·

mz 10 1800

2

r = = = 9000mm = 9m

2 2 2

E’ facile intuire che sarebbe impossibile utilizzare una ruota di queste grandezze

per ottenere una trasmissione.

Allora risulta impossibile trasmettere un rapporto elevato attraverso l’ausilio di

due sole ruote. Per questo motivo dobbiamo utilizzare più ruota dentate accop-

piate. Il meccanismo di trasmissione attraverso l’ausilio di più ruote dentate

prende il nome di (trasmissione tra due ruote prende il nome di

rotismo in-

granaggio).

Sulla base di quanto detto, supponiamo ora di avere 4 ruote che ingranano una

di seguito all’altro, posizionate tutte e 4 alberi differenti:

Avremo per ogni coppia di ruote, i seguenti rapporti:

ω z

2 1

−

τ = =

12 ω z

1 2

ω z

3 2

−

τ = =

23 ω z

2 3

ω z

4 3

−

τ = =

34 ω z

3 4

Se facessi il prodotto tra i rapporti ottenere il rapporto di trasmissione

che vale:

globale ω ω ω ω z

2 3 4 4 1

· · · · −

τ = τ τ τ = = =

globale 12 23 34 ω ω ω ω z

1 2 3 1 2

Per cui possiamo osservare come il problema della trasmissione non è stato ri-

solto, poiché dipenderà sempre dalla ruota iniziale e quella finale. Per cui se

vogliamo ottenere un rapporto di trasmissione elevato, questo tipo di accoppia-

mento non va bene perché avremo che la ruota finale di elevata grandezza. Per

cui le ruote che si trovano in mezzo prendono il nome di poiché servono

oziose,

solo a cambiare il verso di rotazione. 161

Per avere un rapporto di trasmissione elevato senza che quest’ultimo dipenda

solo dalla ruota iniziale e quella finale, dobbiamo calettare (collegare) le diverse

ruote agli stessi alberi:

Possiamo allora definire il quel tipo di rotismo in cui le

rotismo ordinario,

ruote sono calettare ad alberi fissi.

Facile intuire che ruote dentate collegate allo stesso albero, avranno stessa

velocità: ω = ω

2 3

ω = ω

4 5

Per cui il rapporto di trasmissione per le coppie di ruote sarà:

ω z

2 1

−

τ = =

12 ω z

1 2

ω z

4 3

−

τ = =

34 ω z

3 4

ω z

6 5

−

τ = =

56 ω z

5 6

Il rapporto globale riferito alle sole velocità risulta essere dipendete sempre dalla

ruota iniziale e quella finale: ω ω ω ω

4

2 6 6

· ·

τ = =

globale ω ω ω ω

1 3 5 1

Ma se considero i denti ottengo che non si cancella niente, per cui il rapporto

dipenderà anche dal rapporto tra le altre ruote:

z z z

1 3 5

− ·− ·−

τ =

globale z z z

2 4 6

Per cui se voglio ad esempio , posso dividere questo valore tra le varie

1

τ = 125

coppie di ruote: 1 1

7−→ −

τ = τ = τ = τ =

12 34 56 globale

5 125

162

Possiamo osservare che all’aumentare del rapporto di trasmissione, aumenta

anche il raggio delle ruote (per l’ipotesi di rendimento unitario):

ω r 1

2 1 7−→ ·

τ = = = r = 5 r

12 2 1

ω r 5

1 2

Ma all’aumentare del rapporto aumenterà anche la coppia trasmessa:

ω C 1

2 1 7−→ ·

τ = = = C = 5 2

12 2

ω C 5

1 2

Per cui in fine, l’ultima ruota avrà una coppia 125 volte più grande della pri-